2. Случай конечного числа предельных точек последовательности узлов интерполяции на конечной части плоскости.

Займемся теперь случаем, когда последовательность узлов интерполяции имеет конечное число предельных точек Мы докажем две теоремы, одна из которых относится к сходимости подпоследовательности частных сумм ряда Ньютона, другая — к сходимости самого ряда. Для того чтобы несколько облегчить доказательство этих теорем, мы выделим предварительные рассуждения и условимся о некоторых обозначениях.

Возьмем настолько малым, чтобы круги

лежали вне друг друга. Для любых определим число а&т. как отношение числа точек из попавших в круг Будем рассматривать чисел как координаты точки в -мерном пространстве. Обозначим точки этого пространства через

При фиксированных точки лежат внутри -мерного единичного куба, так как Как всякое ограниченное бесконечное множество, множество точек имеет предельные точки. Множество этих предельных точек обозначим Как нетрудно убедиться, оно не зависит от и е. Для каждой точки этого множества существует последовательность такая, что т. е. при Заметим, далее, что если — точка этого множества, то

Изучим теперь множества — множества точек, удовлетворяющих неравенству

Как нетрудно убедиться, состоит не более чем из областей, каждая из которых содержит внутри себя по меньшей мере одну из точек Далее, если то лежит строго внутри Естественно также ввести такое обозначение и заданы):

Введем еще одно обозначение. Пусть нам дана некоторая область Обозначим через верхнюю грань чисел таких, что лежит внутри

Теперь мы легко сформулируем и докажем первую из теорем. Теорема II. Пусть — функция, аналитическая внутри области — последовательность узлов интерполяции, имеющая конечное число предельных течек причем как сами узлы интерполяции, так и их предельные точки лежат строго внутри — точка множества соответствующая этой течке псследовательнссть. Тогда для принадлежащих множеству

где интерполяционный многочлен Ньютона.

Доказательство. Как нам уже известно, остаточный член ряда Ньютона можно записать в виде

контур С лежит внутри и содержит внутри себя все точки и точку

Оценим Зададимся произвольно малыми и В и выберем так, чтобы

Введем обозначения: — диаметр области; — наименьшее расстояние отточек до контура С; Теперь нужную нам оценку провести легко. Имеем

( — длина С). Но

Далее, при

Согласно определению

положим теперь Тогда при

и, следовательно,

Таким образом, при

Перейдем к оценке числителя. Предположим для простоты, что Обозначим

Совершенно аналогично предыдущему получим

Точно так же при

Отсюда

Но по условию значит, можно выбрать контур С так близко к границе области чтобы , а так как и можно выбрать сколь угодно малыми, то отсюда следует, что

Это доказано нами для точек не совпадающих ни с одной из точек

Если лежит внутри то мы можем взять, окружность на которой равномерно по стремится к нулю. Но по принципу максимума стремится к нулю равномерно и по всем внутри круга .

Это и доказывает наше утверждение в общем случае.

Вторая теорема несколько сложнее и потребует от нас более тщательного изучения множеств .

Отметим прежде всего такое свойство множеств : если то содержит внутри себя круг — радиус этого круга — удовлетворяет уравнению

Действительно, если то, так как

Заметим, что если то также стремится к бесконечности. Из этого немедленно следует, что если — некоторая замкнутая область, отличная от всей плоскости, любая точка то числа ограничены в совокупности.

Пусть теперь — общая часть всех множеств где — любая точка — некоторое фиксированное число. состоит не более чем из замкнутых областей. Соответствующие открытые множества будем обозначать Из отмеченного выше свойства множеств следует, что если взять достаточно большим, то будет содержать любую конечную часть плоскости. Отметим некоторые свойства множеста непосредственно следующие из свойств и из замкнутости

1. Если

2. Если то для любого

3. Если то найдется такое, что Введем в рассмотрение множества устроенные следующим образом. Пусть дана область возьмем область с и содержащую строго внутри все точки Положим

Из построения легко убедиться, что — замкнутая область, обладающая свойствами:

Границу обозначим

Теперь мы можем сформулировать и доказать теорему о сходимости ряда Ньютона.

Теорема II. Если последовательность узлов интерполяции имеет конечное число предельных точек и — область регулярности функции содержит внутри себя все течки и их предельные точки то ряд Ньютона сходится в каждой точке множества

Доказательство. Определим множество для любого следующим образом. Если — точка множества то все точки с координатами удовлетворяющими неравенствам

принадлежат Так как при любых фиксированных множество есть множество предельных точек то найдется такое зависящее от , что при

Рассмотрим остаточный член

(С лежит внутри и содержит точки ). Зададимся и выберем и ттакие, что

Совершенно аналогично тому, что делалось при доказательстве теоремы II, получим при

или

Ho поэтому в силу свойств 2 и 3 найдется такое что

( от не зависит). Возьмем и выберем за контур интегрирования границу Согласно свойству 3

от не зависит). Следовательно, при

Так как и фиксированные числа, а и 8 могли быть выбраны сколь угодно малыми, то отсюда следует, что

т. е. в каждой точке множества ряд Ньютона сходится. Это и доказывает нашу теорему.

В частном случае, когда множество состоит только из одной точки ), областью сходимости ряда (115) будет множество Действительно, по теореме ряд (115) будет сходиться в точках множества Допустим теперь, что ряд (115) сходится в точке лежащей вне множества и что не совпадает ни с одной из точек Тогда

и ряд

будет равномерно сходиться в точках множества

так как в силу его сходимости при

и

при

Так как ряд многочленов, равномерно сходящийся в области должен сходиться к регулярной в этой области функции, то должна быть регулярна в что противоречит максимальности области Значит, ряд (115) не может сходиться ни в одной точке дополнения к не совпадающей с каким-либо узлом интерполяции или, может быть, предельной точкой узлов интерполяции. В другом частном случае, когда область будет кругом на границе которого должна лежать хотя бы одна особая точка

В этом случае ряд (115) ведет себя так же, как ряд Тейлора.