3. Обобщенные функции Бернулли, порождаемые оператором L(F).

Для решения неоднородного уравнения (75) мы введем функции

которые, как мы сейчас докажем, служат решениями уравнения

если характеристическая функция оператора . В частности, когда при будут совпадать с многочленами Бернулли. Итак, пусть на окружности нет нулей функции Мы займемся изучением

Как нетрудно заметить, при любом будет целой функцией Пусть в круге нет нулей кроме, может быть, когда

Тогда, заменяя контур на и вычисляя вычеты подынтегральной функции в кольце получим новое представление

где степень строго меньше кратности — многочлен степени так как функция регулярна в круге и

т. е. является суммой многочлена и функции решения уравнения удовлетворяющей условию при Покажем теперь, что для функций имеет место соотношение (118). Действительно, при любом

так как

Функция.

будет производящей функцией многочленов Если модуль ближайшего к началу нуля будет то радиус сходимости ряда (123) будет и мы приходим к важному предельному соотношению, справедливому при любом

В общем случае при мы из (119) непосредственно получаем неравенство

В частности, при

где — постоянная, не зависящая от и