Переходя в этом соотношении к пределу при
и делая про стые преобразования, мы найдем теперь выражение для
именно:
что и доказывает формулу (13), так как благодаря аналитичности правых и левых частей этого соотношения оно верно не только на интервале
, но и всюду. В частности, при
мы получаем из этого соотношения, что
другими словами, — новое доказательство равенства (10).
Найдем теперь представление
в виде бесконечного произведения.
Докажем прежде всего, что при
Для этого рассмотрим разность
Так как
то эта разность неотрицательна и
монотонно возрастает на интервале
Отсюда
так как
Далее имеет место очевидная оценка
Из этих двух оценок уже непосредственно следует, что
другими словами, что при
выполняется предельное соотношение (14). Вычислим интеграл
интегрированием но частям. Мы будем иметь.
Мы уже знаем, что
значит,