2. Гамма-функция, ее определение и основные свойства.

Гамма-функцией мы будем называть функцию

определенную сначала этим интегралом при комплексных в по луплоскости так как в этой полуплоскости наш интег абсолютно сходится. Разбивая этот интеграл на два, разлагая в первом интеграле в ряд Тейлора и интегрируя почленно, мы будем иметь, что

Так как интеграл вместе со своей производной по в этом представлении абсолютно и равномерно сходится в любом конечном круге а подынтегральная функция является целой аналитической функцией , то этот интеграл есть также целая функция является функцией комплексного переменного , имеющей особенности только в точках . В этих точках имеет полюсы первого порядка с вычетами

Интегрируя по частям, мы из представления (11) получаем функциональное уравнение для именно:

или

Это уравнение, которое нами было получено вначале лишь при условии верно в силу аналитичности всюду, кроме точек

Функция связана с функцией соотношением

Для доказательства тождества (13) мы предположим сначала, что действительно и Тогда мы можем написать, что

Все эти преобразования возможны в силу абсолютной сходимости интегралов при

Рассмотрим область плоскости комплексного переменного граница которой состоит из окружности и отрезка действительной оси от 0 до В этой области функция будет однозначной. Она будет регулярной всюду внутри кроме точки Будем считать, что эта функция принимает действительные значения. Так как по теореме Коши интеграл в положительном направлении по замкнутому контуру, являющемуся границей должен равняться вычету точке умноженному на то

Очевидная оценка

приводит нас, таким образом, к соотношению

Переходя в этом соотношении к пределу при и делая про стые преобразования, мы найдем теперь выражение для именно:

что и доказывает формулу (13), так как благодаря аналитичности правых и левых частей этого соотношения оно верно не только на интервале , но и всюду. В частности, при мы получаем из этого соотношения, что

другими словами, — новое доказательство равенства (10).

Найдем теперь представление в виде бесконечного произведения.

Докажем прежде всего, что при

Для этого рассмотрим разность

Так как

то эта разность неотрицательна и монотонно возрастает на интервале Отсюда

так как

Далее имеет место очевидная оценка

Из этих двух оценок уже непосредственно следует, что

другими словами, что при выполняется предельное соотношение (14). Вычислим интеграл интегрированием но частям. Мы будем иметь.

Мы уже знаем, что значит,

откуда непосредственно следует при что

Но в многосвязной замкнутой области , определяемой неравенствами где сколь угодно мало, сколь угодно велико, имеют место неравенства

откуда и следует равномерная сходимость к пределу в области интеграла Но в области регулярная функция, значит, имеет в области своим пределом также регулярную функцию, которая в этой области совпадает с вследствие соотношения (15), верного при Итак, доказали равномерную сходимость в области Тем самым нами установлена равномерная сходимость в области