§ 3. Формула Эйлера

1. Предварительные соображения.

Возвратимся к задаче суммирования функций. Здесь мы выведем так называемую формулу Эйлера, позволяющую во многих случаях дать приближенное решение задачи суммирования, отвечающее тем условиям, о которых мы говорили в начале главы. Формула Эйлера является обобщением формулы (22) и отличается от нее наличием остаточного члена. Перед тем как дать строгий и точный вывод формулы Эйлера, мы дадим ее вывод не строгий, но чрезвычайно простой и изящный. Эту задачу будем решать, как и для многочлена, в неопределенной форме, т. е. находить не сумму в целочисленных

пределах, а решать уравнение

Будем рассматривать символ взятия конечной разности как оператор. Этот оператор, очевидно, линейный, потому что

Условимся обозначать символом оператор, действие которого на рассматриваемую функцию заключается в прибавлении к ее аргументу единицы, так что

Связь оператора с оператором устанавливается равенством (глава I, § 3, п. 2).

Последовательное приложение операторов определяется как их произведение.

Будем решать разностное уравнение (56) с точки зрения нахождения оператора, обратного [т. е. такого оператора, который, будучи приложен к («умножен» на ), давал бы (давал бы в произведении единицу)]. Этот оператор естественно обозначать

Оператор как мы сейчас увидим, сложнее, чем операторы и и представляет собой уже некоторый дифференциальный оператор. Найдем связь операторов и с оператором взятия производной.

Разлагая по степеням единицы, получим

или, вводя в рассмотрение оператор взятия производном, т. е.

Это разложение можно записать в виде рассматривая выражение в скобках как некоторый дифференциальный оператор, действие которого на всякую функцию

заключается в том, что мы получаем функцию, изображаемую рядом

равную на основании соотношения Оператор

условно можно записать следующим образом:

подразумевая под правой частью формальное ее разложение в ряд Маклорена.

Таким образом, получаем

или

Следует еще раз отметить, что написанное равенство верно только для тех функций, которые могут быть разложены в ряд Тейлора, сходящийся и изображающий . В этом смысле справедливо равенство

Итак, мы установили связь оператора с оператором дифференцирования Так как

то

Нахождение оператора, обратного приводится, таким образом к нахождению оператора, обратного Таким образом, обозначая оператор, обратный рассматриваемому, делением единицы на него, - получаем

«Умножая» обе части этого равенства на получим,

До этого времени наше изложение носило вполне строгий х рактер, и все написанные равенства в известном смысле представляли собою по существу тривиальные тождества. Мы видим, что в правой части стоит «функция», порождающая числа Бернулл Разлагая ее формально в ряд, получим

Прилагая к левой части уравнения (56) оператор а к правой — только что введенный, получим

откуда

где Н — произвольная периодическая функция с периоде единица.

Полученная формула и есть искомая формула Эйлера, дает в виде ряда функцию суммирующую заданную известно, в таком случае

поэтому

Полученный ряд мало удобен для практических приложений потому что совершенно неясна сходимость ряда, стоящего в правой части. На практике мы, конечно, должны будем воспользоваться некоторым конечным числом членов, а так как величны остаточного члена остается при этом неясной, то теряется пра

тическая полезность полученного ряда. Поэтому мы дадим иной вывод формулы Эйлера, вполне строгий. При этом мы получим не бесконечный ряд, а некоторую конечную сумму и остаточный член.