5. Обобщения понятия периода функции.

Мы рассмотрим здесь приложения теории уравнений бесконечного порядка к некоторым задачам теории целых функций.

Хорошо известно, что целая функция не может иметь двух периодов линейно независимых в рациональном поле, если она не сводится к постоянной. Другими словами, целая функция, не равная постоянной, не может быть решением одновременно двух функциональных уравнений:

если отношение иррационально. В самом деле, при этом условии характеристические функции операторов и

не имеют общих нулей за исключением причем является нулем первого порядка обеих функций. Можно дать обобщение этого факта.

Теорема VI. Если целая функция есть решение двух уравнений:

— нормальные операторы с характеристическими функциями не имеющими общих нулей, кроме, может быть, точки где имеет нуль порядка — порядка то может быть только многочленом, степень которого не превышает наименьшего из чисел

Доказательство. По теореме II последовательность функций когда по некоторой последовательности значений уходит в бесконечность, равномерно сходится к удовлетворяющей уравнению

Из формулы (98) следует, что

где в круге находится только один нуль Итак, состоит из суммы величин

где — кратность нуля — постоянные, зависящие от .

Покажем, что если есть также решение уравнения и а не является нулем . С помощью формулы (94) мы получаем, что при

а применяя формулу (106), которая остается верной при замене пути интегрирования на что

Делая последнее преобразование, заменяя С на мы получаем новое выражение для

Так как

вследствие возможности менять порядки интегрирования и дифференцирования с суммированием в силу аналитичности функции и равномерной сходимости ряда оператора Но простое вычисление дает

откуда следует так как а степени других членов ниже степени Это и доказывает нашу теорему, так как функции , соответствующие операторам и сводятся к многочленам степеней не выше и Так как эти функции не зависят от и должны сходиться к то и будет многочленом степени не выше наименьшего из чисел Если же или будет нулем, то

Как нетрудно заметить, доказана не только теорема VI, но и несколько более общая теорема. Именно, если имеют конечное число нулей, то есть сумма конечного числа произведений многочленов на показательные функции.

Из теоремы VI, например, следует, что делая периодическая функция с периодом единица не может удовлетворять никакому уравнению

если все — рациональные, алгебраическое иррациональное число. Это утверждение связано с тем, что — число трансцендентное и, значит, уравнения

не имеют общих корней.

Дж. Уиттекер ввел понятие асимптотического периода целой функции. Он называет число асимптотическим периодом целой функции конечного порядка с, если разность

имеет порядок

В качестве примера рассмотрим целую функцию второго порядка:

Покажем, что она действительно имеет второй порядок. Для этой функции записывается весьма просто:

Пусть Тогда

и

Функция имеет своим асимптотическим периодом любое число где - рациональное число. Действительно,

откуда следует, что имеет порядок не выше первого. Множество асимптотических периодов этой функции всюду плотно на мнимой оси. Можно легко указать целую функцию конечного порядка, имеющую несчетное множество асимптотических периодов на прямой. Возьмем последовательность целых положительных чисел

и определим функцию рядом

Найдем порядок этой функции. Для этой функции при

и при

Поэтому порядок — второй. Всякое число если а представимо рядом

будет асимптотическим периодом Множество этих чисел а, очевидно, несчетно. Действительно, так как - целые числа при , то

где — целое число, и

Поэтому

Предполагая, что находится в интервале мы получаем отсюда неравенство

другими словами, что порядок не превышает у.

Асимптотические периоды целой функции обладают тем свойством, что любая линейная форма с целыми рациональными коэффициентами от конечного числа периодов есть также асимптотический период. Это непосредственное следствие того обстоятельства, что сумма любого конечного числа целых функций, порядки которых меньше а, есть целая функция, порядок которой также меньше а. Мы рассмотрим возможную структуру множества асимптотических периодов целой функции. Во всех дальнейших рассмотрениях мы будем предполагать, что не является постоянной. Пусть порядок целой функции будет меньше единицы. Тогда целые функции будут принадлежать к первому классу по нашей прежней классификации, и порядок вследствие теоремы III не может быть больше порядка Поэтому целая функция порядка меньшего единицы, не может иметь асимптотических периодов. Если порядок есть единица — асимптотический период, то порядок меньше единицы и по теореме III существует целая функция удовлетворяющая уравнению

имеющая тот же порядок, что и меньший единицы. Функция имеющая также порядок единица, так как — порядка, меньшего единицы, будет удовлетворять уравнению

другими словами, будет периодической функцией. Пусть будет любой другой асимптотический период . Тогда целая функция будет иметь это число своим асимптотическим периодом, так как

и порядки меньше единицы. Но вследствие (145)

откуда по теореме I мы можем утверждать, что равна постоянной, так как порядок меньше единицы. Поэтому

откуда уже по теореме VI или постоянная, или функции должны иметь хотя бы один общий нуль кроме В первом случае должна отличаться только многочленом первой степени от функции порядка, меньшего единицы, что противоречит условию. Значит, должны иметь общий нуль, кроме Нули этих функций будут

откуда следует, что — должно быть рациональным числом. Но -целая функция, неравная постоянной и Значит, среди чисел где и — целые, должно быть наименьшее по модулю число а все остальные суть целые кратные где Мы пришли, таким образом, к теореме:

Теорема VII. Если порядок меньше единицы, то не имеет асимптотических периодов. Если же порядок равен единице, то все ее асимптотические периоды, если она их имеет, должны образовывать арифметическую прогрессию, где — наименьший по модулю период. Все эти периоды могут лежать только на одной прямой в комплексной плоскости.

Для дальнейшего нам понадобится вспомогательное предложение, относящееся к теории целых функций.

Теорема VIII. Если — целая периодическая функция с периодом порядка то будет однозначной, регулярной в плоскости всюду, кроме, может быть, точек функцией и

Доказательство. Пользуясь хорошо известным представлением коэффициентов мы будем иметь, что при

Оценивая по модулю правую часть при принимая во внимание, что при любом целая функция порядка а удовлетворяет неравенству

мы получаем неравенство

верное при и любом Далее, если при

то существует такая постоянная что

Заменяя на мы получаем отсюда

где Поэтому

Неравенства (148) и (150) доказывают предельное соотношение теоремы VIII.

Следствие из теоремы VIII. Если — целая периодическая с периодом функция порядка то существует бесконечная последовательность целых положительных или отрицательных чисел такая, что существует предел

откуда при любом

Докажем теперь общую теорему относительно возможной структуры множества асимптотических периодов целой функции конечного порядка.

Теорема IX. Если целая функция конечного порядка имеет асимптотические периоды, то эти периоды обладают следующими свойствами:

1. Отношение любых двух периодов должно быть действительным числом.

2. Множество всех асимптотических периодов не может иметь меру, отличную от нуля.

3. Отношение двух любых периодов будет или рациональным или трансцендентным числом.

Первые два утверждения доказаны Дж. Уиттекером, а последнее принадлежит автору книги.

Доказательство. Допустим, что — асимптотические периоды и их отношение есть комплексное число. Построим тогда на плоскости параллелограмм с вершинами в точках Это будет основной параллелограмм периодов.

Всякую точку комплексной плоскости можно представить в виде суммы где есть точка основного параллелограмма, а — целые рациональные числа. Из элементарных геометрических соображений следует, что если , а число y зависит только от . Положим

Опять из простейших геометрических соображений следует, что

где X зависит только от .

Имеет место тождество

Отсюда

Но порядки функций ниже порядка и мы пришли к противоречию, доказывающему первое утверждение нашей теоремы.

Пусть — два любых асимптотических периода. Их отношение действительно. Рассмотрим уравнение

Пусть будет максимум модуля По теореме V, каковы бы ни были найдется решение уравнения (153), причем будет выполняться неравенство

Так как порядок меньше а, то и порядок

совпадающий вследствие этого неравенства с порядком будет меньше а. Поэтому функция будет по-прежнему иметь порядок а и

другими словами, — периодическая функция с периодом . Так как

и обе функции имеют порядки, меньшие а, то множества всех асимптотических периодов функций совпадают. Функции — периодические с периодом т. Рассмотрим ряды

Так как

то

По теореме VIII, так как имеет порядок для любого будет выполняться неравенство

и по той же теореме [неравенства (152)] будет существовать такая последовательность что при любом

Из этих двух неравенств следует при что

так как

Допустим, что а иррационально. Тогда из неравенств (158), левая часть которых будет отлична от нуля, непосредственно следует существование последовательности целых чисел таких, что

Как показывает неравенство Лиувилля (171) главы II, § 3, п. 4, при неравенства (159) служат достаточным признаком трансцендентности иррационального числа а. Наконец, как хорошо известно из метрической теории диофантовых приближений, мера множества чисел, для которых справедливы неравенства (159), начиная с некоторого, может быть только нулевой. Докажем это предложение в более общей формулировке. Рассмотрим множество всех чисел отрезка [0,1], для которых, начиная с некоторого будут справедливы неравенства

где фиксировано. Всякое а, принадлежащее отрезку [0, 1] и удовлетворяющее неравенствам (159), будет безусловно удовлетворять и неравенствам (160). Поэтому мера множества чисел не меньше меры множества чисел а на отрезке [0, 1]. Покажем, что мера множества чисел равна нулю. Фиксируя мы построим интервалы около каждой точки отрезка [0, 1]. Общая длина этих неперекрывающихся интервалов будет Обозначим совокупность этих интервалов Всякая точка начиная с некоторого будет точкой множества Поэтому мера множества не больше, чем мера множества произвольном Но мера множества Г может быть оценена сверху. Действительно,

Так как может быть взято сколь угодно большим, то мера множества чисел не превосходящая величины должна быть равна нулю. Значит, и множество чисел а на [0, 1] имеет

меру нуль. Но так как сумма счетного множества множеств, имеющих меру нуль, сама имеет нулевую меру, то мера множества всех чисел а должна быть равна нулю. Заметим, что все результаты относительно асимптотических периодов могут быть обобщены как в направлении расширения понятия асимптотического периода, так и в направлении расширения класса функций, для которых вводится определение асимптотического периода. Для мероморфных функций при прежнем определении асимптотического периода ряд результатов был получен Дж. Уиттекером.