§ 2. Линейные уравнения первсго порядка
1. Однородное линейное уравнение.
Рассмотрим линейное разностное уравнение первого порядка
Это уравнение будем называть однородным, если
неоднородным — в противном случае. Однородное линейное разностное уравнение имеет вид
Нам предстоит найти решения уравнений (2) и (3). Рассмотрим сначала уравнение (3). Замечая, что
уравнение (3) запишем следующим образом:
Мы решаем уравнение (3) только для целых значений х, т. е. определяем
для х целого. Давая в уравнении (4) независимому переменному значения
получим следующие равенства:
Перемножая почленно написанные равенства, после сокращения на произведение
получим искомое решение для любого целого положительного х в виде
Величина
есть начальное значение функции
и является произвольной постоянной, которая получается и при решении аналогичной задачи интегрирования однородного дифференциального уравнения первого порядка.