§ 2. Линейные уравнения первсго порядка

1. Однородное линейное уравнение.

Рассмотрим линейное разностное уравнение первого порядка

Это уравнение будем называть однородным, если

неоднородным — в противном случае. Однородное линейное разностное уравнение имеет вид

Нам предстоит найти решения уравнений (2) и (3). Рассмотрим сначала уравнение (3). Замечая, что

уравнение (3) запишем следующим образом:

Мы решаем уравнение (3) только для целых значений х, т. е. определяем для х целого. Давая в уравнении (4) независимому переменному значения

получим следующие равенства:

Перемножая почленно написанные равенства, после сокращения на произведение

получим искомое решение для любого целого положительного х в виде

Величина есть начальное значение функции и является произвольной постоянной, которая получается и при решении аналогичной задачи интегрирования однородного дифференциального уравнения первого порядка.