2. Случай кратных корней.

Рассмотрим случай кратных корней. Пусть у нас имеется корень кратности . В этом случае из ряда (35) нельзя получить полного числа линейно независимых решений по крайней мере, одно из решений этого ряда будет тождественно совпадать с некоторыми другими и, следовательно, отпадает.

Нужно поэтому как-то использовать кратность корня построив новые решения, не совпадающие с найденными в ряде (35) и пополняющие число недостающих решений из-за кратности корня Поступим так же, как и в теории дифференциальных уравнений. Мы сначала построим решения уравнения (32), дополняющие их число (ввиду кратности корней) до полного числа , а затем докажем их линейную независимость.

Будем искать новые решения в виде

где неизвестная функция; ее мы определим несколько ниже. Подставляя вместо в уравнение (32), приведем его к виду

, или (сокращая на

Для того чтобы можно было использовать кратность корня, мы преобразуем последнее уравнение, заменив разложением по формуле Ньютона через конечные разности:

Умножим первое из написанных тождеств на X, второе на третье на до последнего, которое, следовательно, умножим на Затем полученные равенства сложим почленно. Очевидно, в левой части полученного тождества будет стоять левая часть уравнения (38). Поэтому уравнение (38) будет эквивалентно тому уравнению, которое получится, если мы правую часть полученного таким образом тождества приравниваем нулю. Проделав указанные преобразования и замечая, что столбец соотношений (39) при почленном сложении дает выражение, равное

где через Р (X) обозначена левая часть характеристического уравнения, мы получим уравнение

равносильное уравнению (38). Этот вид уравнения удобен тем, что он, как мы сейчас увидим, легко позволяет использовать кратность корней характеристического уравнения. В самом деле, пусть есть корень кратности тогда

но

и уравнение (38) обращается в следующее:

Сразу видно, что ему можно удовлетворить, выбирая в качестве функции любой многочлен степени ниже

В частности, любая из степеней

будет удовлетворять написанному уравнению, следовательно, и уравнению (38). Вспоминая, что произведение дает решение уравнения (32), мы можем утверждать, что если X есть корень характеристического уравнения кратности то функции

будут решениями уравнения (32).