2. Неоднородное линейное уравнение.
Перейдем теперь к уравнению (2). В этом случае будем искать неизвестную функцию 
в виде произведения
где функции и 
пока произвольные. Из соотношения (6) находим
Уравнение (2) принимает вид
или
Выберем 
так, чтобы член в квадратных скобках обратился в нуль:
для этого на основании формулы (5) следует положить
где 
— произвольная постоянная. После такого выбора и 
уравнение (7) принимает вид
или
(
— произвольная постоянная) и позволяет определить функцию 
. В самом деле, перед нами — простейшее разностное уравнение, разобранное в главе IV Так как мы желаем из написанного уравнения определить решения 
только для целых х, то, суммируя 
пределах от 
до 
мы определим
Здесь 
— произвольная постоянная, так как, рассматривая только целые значения х, мы, очевидно, не можем различать произвольную периодическую функцию и произвольное постоянное.
Соотношения (8) и (9) определяют согласно (6) решение уравнения (2) следующим образом:
Нетрудно подметить, что написанное решение по форме напоминает соответствующую формулу, дающую решение неоднородного линейного дифференциального уравнения. Мы видим, что решение опять зависит от одной произвольной постоянной. Если взять вместо единицы приращение 
то в пределе при 
соотношение (10) обратится в упомянутую формулу решения дифференциального уравнения. Закончив исследование решения линейного разностного уравнения первого порядка, перейдем к общей теории линейных разностных уравнений любого порядка.
