ГЛАВА I. ЗАДАЧА ИНТЕРПОЛЯЦИИ

§ 1. Общая постановка проблемы интерполяции

1. Понятие разделенных разностей.

Обратимся непосредственно» к первой задаче — интерполяции. Даны значений функции в заданных точках, лежащих внутри интервала Эти точки мы будем обозначать через а значения функции, им соответствующие, — через

Числа считаем заданными, функцию - искомой. Это может быть либо просто неизвестная функция, либо известная, но значения которой можно получать или из слишком сложного опыта, или из слишком сложного аналитического выражения.

Задача интерполяции заключается в том, чтобы построить, функцию, вообще говоря, отличную от функции но принимающую в точках значения те же самые, что наша функция, т. е.

В такой общей постановке эта задача имеет, конечно, неединственное решение. Мы займемся сейчас гораздо более частной: задачей: определить многочлен степени не выше принимающий в точках значения

Для решения этой задачи введем ряд условных обозначений. Будем обозначать прямыми скобками с буквой х между ними: — значение самой функции в этой точке х, тогда

Далее, символом мы будем обозначать частное от деления разности на символом — частное от деления разности на Введенные

выражения, составленные из значений функции в заданных точках и значений независимого переменного в этих точках, будем называть разделенными разностями функции На интервале для рассматриваемых точек возможно образование следующих разделенных разностей:

Постараемся теперь из-за рекуррентных соотношений (3) найти явное выражение разделенной разности через и значения функции Для этого нужно последовательно вычислять наши разделенные разности, и закон составления разделенной разности станет сразу ясным. Доказать же его можно будет методом индукции.

Очевидно, имеем

Воспользовавшись определением третьей разделенной разности [соотношения (3)] и полученным уже выражением для разделенной разности второго порядка, легко найдем

Полученную дробь разобьем на три дроби, выписав отдельно члены, содержащие тогда получим

что после сокращений легко приводится к следующему виду:

Соотношение (6) позволяет предположить, что разделенная ность порядка может быть выражена через значения зависимого переменного и значения функции в этих точках в следующем виде:

Это, действительно, легко доказывается по индукции, но делать этого мы не будем, так как несколько ниже доказательство будет получено более коротким путем.