2. Формула Лагранжа.

Одного построения разделенных разностей достаточно для получения так называемой интерполяционной формулы Лагранжа, позволяющей построить многочлен Р принимающий значения при , и позволяющей при достаточно хорошем поведении функции (в аналитическом смысле) оценить разность Для вывода этой формулы развернем разделенную разность Воспользовавшись соотношением (7), получим

Введем в рассмотрение функцию определяемую равенство

Очевидно, — многочлен степени с нулями

Нетрудно видеть, что в правой части соотношения (8) в знаменателе первой дроби стоит а в знаменателе остальных дробей — произведение в самом деле, из

соотношения (9) легко найдем

Предполагая, что мы в левой части получим производную в точке в правой же части х нужно будет заменить через и мы получим

а это и есть как раз знаменатель дроби в формуле (8). Таким образом, соотношение (8) принимает следующий вид:

или

Из написанного соотношения определится в виде

Посмотрим теперь, из каких выражений составлена функция в соотношении (11). Так как разность для любого от 0 до входит в множителем, то сумма

представляет собой многочлен степени. Выражение мы будем называть остаточным членом. Займемся сначала Исследованием свойств многочлена определяемого соотношением (12).

Докажем, что при

В самом деле, при подстановке вместо х обратятся в нуль все слагаемые, кроме так как в них Разность входит в числитель, но не входит в знаменатель. Значение слагаемого

не определено. Поэтому надо наити, к чему стремится выражение стремится к х. Очевидно, что когда то отношение стремится к , следовательно, последнее выражение стремится к Итак,

Таким образом, многочлен степени удовлетворяет условию, что значение этого многочлена в точках есть для всякого от 0 до .

Теперь перед нами стоит другая задача. Нам нужно оценить, если возможно, степень погрешности, т. е. степень приближения на данном интервале где расположены значения Иначе говоря, надо определить величину погрешности, которую мы допустим, если заменим функцию многочленом

Формально многочлен, принимающий в точках значения нами построен, но сказать, насколько этот многочлен приближается к функции в других точках, не совпадающих с нельзя. Для того чтобы узнать степень приближения, нужно сделать некоторые дополнительные предположения о поведении функции в рассматриваемом интервале изменения х. Предположим, что искомая функция имеет все производные до включительно в рассматриваемом интервале изменения независимого переменного.

Возьмем внутри этого интервала, заключающего точки точку х, не совпадающую ни с одной из этих точек

При предположении, что функция имеет все производные до включительно, мы можем оценить разность между многочленом и функцией на всем рассматриваемом интервале

Найденное нами выражение этой разности, равное в данном случае бесполезно, потому что в эту разность входит именно, входит в разделенную разность, про величину которой мы ничего не можем сказать.

Поэтому мы постараемся дать другое выражение остаточного члена. Для этого рассмотрим функцию

Ясно, что эта функция обращается в нуль в точках потому что в этих точках значение совпадает со значением

для указанных значений независимвго переменного обращается в нуль.

Пусть есть некоторая постоянная величина, выбранная таким образом, чтобы эта разность обращалась в нуль, кроме точек еще в одной точке, а именно в некоторой фиксированной точке, выбранной нами. Обозначим эту точку для отличия от независимого переменного через х. Постараемся найти такое чтобы это условие выполнялось.

Прежде всего очевидно, что такое всегда можно выбрать, потому что не имеет других нулей, кроме а по предположению х не совпадает ни с одной из точек Таким образом, и уравнение

всегда разрешимо относительно

Пусть имеет значение, определенное уравнением (13). Рассмотрим тогда функцию Эта функция в интервале имеет нуля. Производная и имеет в этом же интервале от а до нулей не меньше чем ибо и обращается в нуль в точках а по теореме Ролля и должна обращаться в нуль по меньшей мере один раз в каждом из интервалов

таких же интервалов будет Также очевидно, что имеет не меньше чем нулей. Точно так же мы можем идти дальше и сказать, что имеет не менее чем два нуля в интервале , наконец, имеет в интервале не менее одного нуля.

Допустим теперь, что этот нуль производной функции будет .

Найдем Воспользовавшись соотношением (13) и тем, что производная функция существует, легко получим

По доказанному существует такое число , для которого обращается в нуль. Это число лежит, очевидно, в интервале, заключающем точки Подставляя это значение в полученном для выражении, найдем

откуда

Уравнение (11) теперь может быть записано следующим образом:

Так как х произвольно, то последнее соотношение можно записать и так:

Таким образом, предполагая, что функция имеет производную, мы получили уравнение (11) в новой форме, с помощью которой мы можем оценить и погрешность, которую мы делаем при замене через Величина этой погрешности, очевидно, зависит от того интервала, в котором лежат их. Возьмем для иллюстрации простой пример.

Пусть имеется функция (Мы берем функцию аналитическую, вычислять значения которой достаточно просто.)

Пусть у нас имеется интервал . Внутри этого интервала заданы точки: — Итак, нам задано точек. Значения функции в этих точках нам известны (предположим их вычисленными хотя бы приближенно).

Перед тем, как построить многочлен мы, задавшись точностью, с которой желательно приближение найдем число точек, делящих интервал на равные части.

Формула (15) дает сразу возможность записать величину погрешности при замене через именно

откуда

Предполагая х лежащим внутри интервала и замечая, что при этом каждый множитель меньше единицы, мы получим следующее неравенство:

лежит, как и х, в интервале , кроме того,

поэтому оценка модуля разности годная для практических подсчетов, получает следующий вид:

Выбирая, например, во всяком случае для любого х, лежащего в интервале , будем иметь

т. е. вычислив значения функции в точках мы могли бы для любого х вычислять значения с точностью

0,00005 с помощью многочлена

Полученную формулу Лагранжа мы будем записывать так:

где