Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 3. Частные случаи общей интерполяционной задачиОбозначения предыдущего параграфа сохраняются при рассмотрении всех приводимых далее частных случаев. Кроме того, условия разложения в интерполяционные ряды, которые будут получены в дальнейшем, во всех рассматриваемых случаях будут не только достаточными, но по теореме V и необходимыми. 1. Заданы числа F(n), n = 0, 1, 2,...Так как
то функцией и для данной задачи будет Найдем общий вид области однолистности функции Пусть — однозначная, непрерывная и определенная для всех значений кривая, где А и В — любые числа, причем Рассмотрим область границей которой будут кривые . В этой области функция будет однолистна. Поэтому мы получаем теорему: если функция регулярная в бесконечности, имеет все особенности внутри области те функция однозначно определяется числами причем, если при этом условии то Если заданы числа то это значит, что заданы числа
Но
Полагая и замечая, что а также, что и однолистна в любой полосе, ограниченной прямыми мы можем считать доказанной как частный случай теоремы VII теорему: если индикатриса целой функции удовлетворяет неравенствам , то эта функция представляется рядом многочленов
равномерно сходящимся во всякой конечной части плоскости Действительно, так как
с помощью функции полоса, ограниченная прямыми , переходит в круг . Так как опорная функция этой полосы будет то наша теорема как частный случай теоремы VII доказана. Положим Тогда
и мы получаем, что если то представляется рядом этих многочленов. Функция отображает конформно область, ограниченную контуром на круг Обратно, переводит круг до в бесконечную выпуклую область ограниченную кривой в плоскости С. Опорной функцией этой выпуклой области
мы на основании теоремы VII получаем уже ранее доказанную теорему: если целая функция не выше первого порядка нормального типа о имеет индикатрису удовлетворяющую неравенствам
то она представляется рядом многочленов равномерно сходящимся во всякой конечной части плоскости
Этот ряд есть интерполяционный ряд Ньютона. 2. Заданы числа ...Так как
то функцией и будет Функция конформно отображает область в плоскости С, ограниченную кривой на разрезанную от точки — вдоль отрицательной части действительной оси до бесконечности плоскость Область поэтому есть максимальная область единственности функции и Область кроме того, выпукла. Ее опорная функция являющаяся индикатрисой единственности, может быть записана в параметрической форме:
при В частности, при Область с помощью функции
конформно отображается на круг Мы приходим, таким образом, к теореме: если индикатриса целой функции первого порядка и нормального типа а удовлетворяет неравенству где определена соотношениями (99), то разлагается в ряд многочленов, равномерно сходящийся в любой конечной части плоскости
где определена неявно соотношением (100), или
Если при этих предположениях относительно функции В частности, так как мы получаем теорему, что при выполнении неравенства
и условий Функция конформно отображает выпуклую область с границей, даваемой в неявной форме уравнением на Круг Опорная функция кривой пересекающей в точке ось под углом в неявной форме будет иметь вид
и при Поэтому мы получаем теорему: если то целая функция разлагается в ряд
Ряд этот есть ряд Абеля. 3. Заданы числа ...Так как
то и Функция конформно отображает выпуклую область с границей в плоскости С на плоскость разрезанную вдоль отрицательной части действительной оси от точки до минус бесконечности. Так как — максимальная выпуклая область, то будет индика трисой единственности. Опорной функцией выпуклой области будет
и при . С помощью функции
мы конформно отображаем нашу область на круг Таким образом, мы получаем теорему: если индикатриса целой функции подчинена неравенствам
то представляется равномерно сходящимся рядом:
причем при выполнении неравенства (106) числа могут быть приближены с любой степенью точности линейными формами от чисел с коэффициентами, не зависящими от функции . В частном случае, когда функция тождественно равна нулю. Так как то если только Функция однолистна в выпуклой области переходящей в круг . Эта область будет максимальной среди областей, конформно отображаемых функцией на круги Поэтому мы будем иметь теорему: если где определяется в неявной форме соотношениями
то разлагается в равномерно сходящийся в любой конечной части плоскости ряд многочленов
или в явной форме
4. Заданы числа ...В этом случае так как
Функция конформн о отображает область с границей на круг Область выпукла, и граница ее имеет в развернутой форме уравнение
Так как эта кривая состоит из двух симметричных относительно обеих осей дуг, пересекающихся в точках под углом у, то опорная функция области будет иметь вид
Функция будет иметь вид
Поэтому мы получаем теорему: если индикатриса целой функции удовмтворяет неравенству , то представляется всюду сходящимся рядом многочленов:
где имеют вид
Этими четырьмя примерами, естественно, не исчерпываются приложения теорем IV — VII. Но существует ряд задач, которые непосредственно не получаются в качестве частных случаев теорем IV этим задачам мы и переходим в следующем параграфе.
|
1 |
Оглавление
|