§ 3. Частные случаи общей интерполяционной задачи

Обозначения предыдущего параграфа сохраняются при рассмотрении всех приводимых далее частных случаев. Кроме того, условия разложения в интерполяционные ряды, которые будут получены в дальнейшем, во всех рассматриваемых случаях будут не только достаточными, но по теореме V и необходимыми.

1. Заданы числа F(n), n = 0, 1, 2,...

Так как

то функцией и для данной задачи будет

Найдем общий вид области однолистности функции Пусть — однозначная, непрерывная и определенная для всех значений кривая, где А и В — любые числа, причем

Рассмотрим область границей которой будут кривые . В этой области функция будет однолистна. Поэтому мы получаем теорему: если функция регулярная в бесконечности, имеет все особенности внутри области те функция однозначно определяется числами причем, если при этом условии то

Если заданы числа то это значит, что заданы числа

Но

Полагая и замечая, что а также, что и однолистна в любой полосе, ограниченной прямыми мы можем считать доказанной как частный случай теоремы VII теорему: если индикатриса целой функции удовлетворяет неравенствам , то эта функция представляется рядом многочленов

равномерно сходящимся во всякой конечной части плоскости

Действительно, так как

с помощью функции полоса, ограниченная прямыми , переходит в круг . Так как опорная функция этой полосы будет то наша теорема как частный случай теоремы VII доказана.

Положим Тогда

и мы получаем, что если то представляется рядом этих многочленов.

Функция отображает конформно область, ограниченную контуром на круг Обратно, переводит круг до в бесконечную выпуклую область ограниченную кривой в плоскости С. Опорной функцией этой выпуклой области

мы на основании теоремы VII получаем уже ранее доказанную теорему: если целая функция не выше первого порядка

нормального типа о имеет индикатрису удовлетворяющую неравенствам

то она представляется рядом многочленов равномерно сходящимся во всякой конечной части плоскости

Этот ряд есть интерполяционный ряд Ньютона.

2. Заданы числа ...

Так как

то функцией и будет Функция конформно отображает область в плоскости С, ограниченную кривой на разрезанную от точки — вдоль отрицательной части действительной оси до бесконечности плоскость

Область поэтому есть максимальная область единственности функции и Область кроме того, выпукла. Ее опорная функция являющаяся индикатрисой единственности, может быть записана в параметрической форме:

при

В частности, при

Область с помощью функции

конформно отображается на круг

Мы приходим, таким образом, к теореме: если индикатриса целой функции первого порядка и нормального типа а удовлетворяет неравенству где определена соотношениями (99), то разлагается в ряд многочленов, равномерно сходящийся в любой конечной части плоскости

где определена неявно соотношением (100), или

Если при этих предположениях относительно функции

В частности, так как мы получаем теорему, что при выполнении неравенства

и условий

Функция конформно отображает выпуклую область с границей, даваемой в неявной форме уравнением на Круг Опорная функция кривой пересекающей в точке ось под углом в неявной форме будет иметь вид

и при Поэтому мы получаем

теорему: если то целая функция разлагается в ряд

Ряд этот есть ряд Абеля.

3. Заданы числа ...

Так как

то и

Функция конформно отображает выпуклую область с границей в плоскости С на плоскость разрезанную вдоль отрицательной части действительной оси от точки до минус бесконечности. Так как — максимальная выпуклая область, то будет индика трисой единственности. Опорной функцией выпуклой области будет

и при . С помощью функции

мы конформно отображаем нашу область на круг

Таким образом, мы получаем теорему: если индикатриса целой функции подчинена неравенствам

то представляется равномерно сходящимся рядом:

причем при выполнении неравенства (106) числа могут быть приближены с любой степенью точности линейными формами от чисел с коэффициентами, не зависящими от функции . В частном случае, когда функция тождественно равна нулю.

Так как то если только

Функция однолистна в выпуклой области переходящей в круг . Эта область будет максимальной среди областей, конформно отображаемых функцией на круги Поэтому мы будем иметь теорему: если где определяется в неявной форме соотношениями

то разлагается в равномерно сходящийся в любой конечной части плоскости ряд многочленов

или в явной форме

4. Заданы числа ...

В этом случае так как

Функция конформн о отображает область с границей на круг Область выпукла, и граница ее имеет в развернутой форме уравнение

Так как эта кривая состоит из двух симметричных относительно обеих осей дуг, пересекающихся в точках под углом у, то опорная функция области будет иметь вид

Функция будет иметь вид

Поэтому мы получаем теорему: если индикатриса целой функции удовмтворяет неравенству , то представляется всюду сходящимся рядом многочленов:

где имеют вид

Этими четырьмя примерами, естественно, не исчерпываются приложения теорем IV — VII. Но существует ряд задач, которые непосредственно не получаются в качестве частных случаев теорем IV этим задачам мы и переходим в следующем параграфе.