§ 2. Проблема моментов в комплексной области для целых функций не выше первого порядка нормального типа

Ряд задач на определение целых функций по заданным элементам в классе единственности данной задачи может быть сведен к решению некоторой проблемы моментов.

Если — целая функция первого порядка нормального типа, — ассоциированная с ней по Борелю функция

то, как мы уже знаем, регулярна вне круга и эти функции связаны соотношением

где Из этого соотношения следует, например, что

Поэтому, если заданы числа то определение целой функции при таких заданиях может быть сведено к решению проблем моментов в комплексной области, заданных соотношениями (54) при Мы в дальнейшем

рассмотрим проблему моментов типа (54) в общем случае. В дальнейшем будет целой функцией не выше первого порядка нормального типа, функция, ассоциированная с по Борелю.

Допустим, что заданы связанные с функционалы

где - регулярная в конечной или бесконечной области функция, причем все особые точки функции являются внутренними точками а замкнутый контур С лежит внутри и содержит внутри себя все особенности

Пусть — односвязная содержащаяся в область, в которой функция и будет не только регулярна, но и однолистна. Предположим также, что область содержит внутри все особенности

Пусть область переходит в плоскости комплексного переменного при отображении в односвязную область С помощью функции мы можем конформно отобразить область в плоскости на круг в плоскости Т.

Докажем теперь основную теорему, дающую представление функции с помощью чисел

Теорема IV. Пусть — целая функция не выше первого порядка нормального типа и пусть заданы числа

где — регулярная в бесконечности функция, регулярна в области однолистна и регулярна в конечной или бесконечной области для которой точка является внутренней точкой, а замкнутый контур С содержит внутри себя все особенности функции и сам находится внутри области

Тогда, если все особенности функции лежат внутри функция представляется сходящимся для всякого конечного

значения рядом многочленов

где конформно отображает область в плоскости получающуюся из области с помощью отображения на круг причгм существуют числа Орт, не зависящие от такие, что

Непосредственным следствием этой общей теоремы является следующая теорема о единственности целой функции:

Теорема IV. Если при выполнении всех условий теоремы IV то равна нулю тождественно.

Другим следствием теоремы IV является теорема связанная с разложением функции в обычные интерполяционные ряды:

Теорема Пусть выполнены все условия теоремы IV и, кроме того, функция и отображает область на круг Тогда в теореме IV можно взять равным и мы получим, что

Доказательство теоремы IV. Заметим прежде всего, что все особенности лежат внутри области

Рассмотрим интегральное представление функции

где удовлетворяют условиям теоремы IV, есть точка замкнутого контура в плоскости комплексного переменного содержащего внутри точку и все особые точки

функции и переходящего в плоскости в контур Г, содержащий внутри точку и находящийся внутри круга есть односвязный и замкнутый контур в плоскости С, в который переходит окружность при отображении Очевидно, что находится внутри области и все точки контура лежат внутри контура IV При этих условиях представление (60) функции следует из однолистности функции внутри области

Из представления (60) непосредственно получается разложение функции в ряд, именно

где

Если — точка контура — точка контура то по условию выбора этих контуров [и Отсюда следует, что должно быть выполнено неравенство

где К не зависит от

Далее, вследствие отсутствия внутри нулей у функции мы получаем, что

как это непосредственно видно, есть многочлен степени относительно

Умножим обе части равенства (61) на Имея в виду, что мы после интегрирования по контуру в плоскости получим

Но так как при находящемся в любой ограниченной области плоскости комплексного переменного находящемся на контуре имеем где К зависит только от но не от и то

где опять зависит только от D и, значит,

На основании сделанных замечаний можно утверждать, что ряд (66) равномерно сходится к функции если только находится в некоторой ограниченной области плоскости комплексного переменного Область в плоскости переходит в область в плоскости при отображении с помощью функции Контур лежащий внутри и содержащий внутри себя контур перейдет при этом конформном преобразовании в контур который будет лежать внутри области и содержать внутри себя все точки контура в который при этом же конформном преобразовании перейдет контур Функция по условию будет регулярна в области Так как все точки будут внутренними точками области то всегда можно, как мы уже знаем (см. п. 5 § 6 главы I), найти такой многочлен степени что будет выполнено неравенство

для всякого находящегося в замкнутой области границей которой является контур произвольного и некоторого не зависящего от .

Но контур обладает тем свойством, что все его точки являются внутренними точками области Значит, воспользовавшись неравенством (67), мы можем получить неравенство

или неравенство

для всякого большего , не зависящего от .

Этим теорема IV доказана полностью. Более того, мы установили и характер сходимости нашего разложения функции Действительно [см. равенство (63)], выполняются неравенства

где от не зависят и зависит от

Многочлены можно представить в более простой форме, чем это сделано равенствами (63). Так как определяются с помощью равенств

где — любой замкнутый контур, содержащий внутри начало, лежащий в области однолистности функции то, вводя обратную функцию мы можем представить многочлены в форме

где С — замкнутый контур, содержащий внутри начало, в который перейдет контур при отображении или в форме

Из этого последнего представления многочленов следует, что они будут порождаться функцией т. е.

и, далее, что должно выполняться неравенство

где радиус круга сходимости ряда причем равенство должно иметь место почти для всех

Возникает вопрос, будет ли условие теоремы IV, требующее, чтобы все особенности функции находились внутри области однолистности функции и в общем случае естественным? Иначе говоря, можно ли дать более широкие условия для расположения особенностей функции в общем случае, такие, что при выполнении их функция будет определяться единственным образом при задании чисел

Ответ на этот вопрос дает теорема V.

Теорема V. Пусть функция и регулярна в области содержащей внутри начало. Пусть также точки или будут внутренними точками области причем в этих точках выполняться соотношения и или и Тогда

где С — контур в области внутри которой лежат и или если — функция, ассоциированная по Борелю соответственно с функцией или

Доказательство. Если то , а если то . В первом случае при имеем

а во втором случае при имеем

Теорема V показывает, что условия теоремы IV существенным образом расширены быть не могут.

Теоремы IV и V показывают, что если для возможности единственного решения интерполяционной задачи определения функции по заданным числам

накладывать ограничения на область, в которой находятся особенности то необходимым и достаточным условием однозначной разрешимости этой интерполяционной задачи будет условие существования конечной и односвязной области однолистности и содержащей все особенности При выполнении этого условия интерполяционная задача решается единственным образом в классе рассматриваемых функций с помощью процесса, данного теоремой IV.

Так как рост функции иначе говоря, ее индикатриса связан однозначно только с наименьшей выпуклой областью особенностей то, накладывая ограничения на рост вообще говоря, можно получить только некоторые достаточные условия разрешимости рассматриваемой интерполяционной задачи. Это утверждение станет очевидным, если взять невыпуклую область однолистности функции не являющуюся частью какой-либо выпуклой области однолистности

Теорема VI. Если функция представлена рядом многочленов

где — регулярная в круге функция, конформно отображающая этот круг на область далее, при то должна быть целой функцией, все особенности функции ассоциированной по Борелю с должны лежать внутри а индикатриса должна удовлетворять неравенству

Доказательство. Так как то благодаря неравенству (75) ряд (77) будет сходиться равномерно в любой конечной части плоскости комплексного переменного и поэтому будет представлять целую аналитическую функцию

Пусть число находится в интервале Рассмотрим функцию

где контур Г есть окружность Эта функция регулярна для всякого лежащего вне конечной односвязной области в которую перейдет круг при отображении Действительно, если находится в области все точки которой будут внешними точками для области причем все точки этой

области будут отстоять от точек области на величину, не меньшую то для всех таких ряд (79) будет сходиться равномерно, как это следует из неравенства

Поэтому мы можем, умножив обе части равенства (79) на проинтегрировать их по замкнутому контуру в плоскости содержащему область внутри; тогда мы получим

Меняя в каждом члене последнего равенства порядок интегрирования, мы приходим к равенству (77) и тем самым устанавливаем, что функция регулярная вне конечной области находящейся внутри области будет ассоциированной по Борелю с целой функцией

Далее, мы будем иметь из равенства (77) и условия нашей теоремы неравенство

Оценивая максимум, стоящий в правой части неравенства (80), мы получим

или, полагая

Но может быть взято сколь угодно близким к Значит, объединяя неравенства (80) и (81) и полагая мы получим, что

Из теорем IV и VI следуют при некоторых ограничениях на функцию необходимые и достаточные условия представления целой функции рядами типа (77), накладываемые на рост этой функции.

Теорема VII. Пусть функция и регулярна и однолистна в конечной или бесконечной выпуклой

области для которой точка является внутренней точкой. Отображая эту область с помощью функции конформно на круг мы предположим, что на окружности лежит хотя бы одна особая точка функции Обозначим опорную функцию области через

Тогда необходимым и достаточным условием представимости целой функции не выше первого порядка и нормального типа с индикатрисой рядом многочленов

будет выполнение неравенства

Доказательство. Достаточность условия доказывает теорема IV, так как из него следует, на основании теоремы I § 1 главы II, что все особенности функции лежат внутри Необходимость его может быть непосредственно установлена с помощью теоремы VI. Из теоремы VI следует неравенство

Но выпуклая область переходит конформно в круг с помощью функции Значит, круг с помощью функции перейдет в область обязательно конечную и лежащую внутри области Так как всякую конечную область находящуюся внутри выпуклой области можно считать частью конечной и выпуклой области точки которой будут внутренними точками области то. обозначая опорную функцию выпуклой области через мы получим неравенство

По теореме I § 1 главы II так как с и граница области не имеет общих точек с границей области Значит,

Если область однолистности функции и будет максимальной, иначе говоря, не будет существовать никакой другой выпуклой области с в которой функция и была бы однолистна, то мы будем называть ее областью единственности.

В частности, это будет иметь место, если функция будет отображать область на плоскость разрезанную вдоль любых непересекающихся кривых. Если, кроме того, область будет выпуклой, то будем называть опорную функцию этой области индикатрисой единственности.

Если же — максимальная выпуклая область однолистности функции и конформно отображающаяся с помощью функции на круг то опорную функцию этой области мы будем называть индикатрисой интерполяции. Совершенно естественно, что индикатрис единственности может быть бесчисленное множество.

Для дальнейшего будет полезно привести общие условия выпуклости области и аналитическое определение опорной функции выпуклой области.

Если функция где -однолистная в области функция, конформно отображает круг на область то область будет тогда и только тогда выпукла, когда для всех значений

или же, записывая этот критерий выпуклости так, чтобы в нега входила функция когда при

Действительно, если то, давая приращение другими словами, двигая по окружности в положительном направлении, мы получим, что величина

характеризует величину и направление изменения вектора в плоскости С. Величина есть угол поворота приращения, — его величина.

Как известно из дифференциальной геометрии, кривизна кривой определяется как

где есть изменение длины дуги, очевидно, равное Для того чтобы кривизна была неотрицательной, что и соответствует выпуклости кривой очевидно, необходимо выполнение неравенства (87).

Опорная функция выпуклой области на которую конформно отображается круг с помощью функции может быть определена как

если только при Действительно, если — вектор в плоскости приращение этого вектора то угол между вектором и его приращением, другими словами, угол между отрезком, соединяющим начало с точкой С и касательной к кривой в точке С, будет, как нетрудно видеть,

Проектируя С на перпендикуляр к касательной, мы получим длину этой проекции

Если есть угол перпендикуляра к касательной к кривой в точке С с положительным направлением оси х, то

В том случае, когда выпуклая область имеет угловые точки, состоит из дуг окружностей, построенных, как на диаметрах, на отрезках, соединяющих эти угловые точки с началом, и дуг кривой даваемой уравнениями (89), находящихся вне кругов, порождаемых угловыми точками.

Переписывая уравнения (89) так, чтобы в них входила функция мы получим

при