4. Линейные неоднородные уравнения.

При изучении поведения частных решений уравнения

нам удобно разбить на подклассы класс целых функций, которому мы будем предполагать принадлежащей функцию

Рассмотрим предел

где — максимум модуля Мы будем говорить, что целая функция принадлежит к первому, второму или третьему классу в зависимости от того, будет ли или т. е. к первому классу принадлежат функции, имеющие рост не выше минимального типа первого порядка, ко второму — функции нормального типа первого порядка, а к третьему — все более быстро растущие функции.

Теорема III. Если целая функция принадлежит к первому классу, то существует частное решение уравнения принадлежащее к тому же классу, представляющееся равномерно сходящижя в любой конечной части плоскости рядом

где — связанные с многочлены, определяемые равенствами (121) и

а постоянная не зависит от Всякое другое решение уравнения принадлежащее тоже к первому классу, может отличаться от только многочленом степени не выше

Доказательство. То, что — решение уравнения , легко проверяется, значит, для доказательства первой части теоремы остается убедиться, что удовлетворяет неравенству (130). В неравенстве (126) число можно брать произвольным, и С в этом неравенстве не будет тогда зависеть от и Положим

Тогда неравенство (126) дает нам

при

и

Но если то с помощью формулы Стирлинга получаем неравенство

Заметим также, что

Поэтому

— постоянная, не зависящая от Ряд, представлякнци сходится, так как минимального типа первого порядка и, следовательно, (см. главу II, § 1. п. 4).

Итак, первая часть теоремы доказана. Вторая часть доказь вается совсем просто. В самом деле, пусть — другое реше ние уравнения (127), принадлежащее также к первому классу тогда разность будет также принадлежать к первом; классу и удовлетворять уравнению Но мы уже знаем что если растет медленнее, чем функция первого порядк; типа и является решением уравнения она может быть только многочленом степени не выше Таким образом, теорема III полностью доказана.

В последующих теоремах обозначения теоремы III будут сохранены

Теорема IV. Если принадлежит ко второму классу, другими словами, целая функция первого порядка нормального типа то существует частное решение уравнения (127):

где в столь мало, что в кольце нет нулей причем ряд (131) равномерно сходится в любой конечной части плоскости и — также функция первого порядка и нормального типа

Доказательство. Для того чтобы доказать сходимость ряда (131) и оценить рост достаточно использовать неравенство (125) и вспомнить, что при О (см. главу II, § 1, п. 4)

где зависит только от

Воспользовавшись тем, что в неравенстве (125) можно брать любым из промежутка так как величина от этого не меняется, и положив мы получаем, что

где зависит только от Это и доказызает нашу теорему, так как можно взять сколь угодно близким к .

Теорема V. Если — целая функция третьего класса максимумом модуля то, каковы бы ни были постоянные всегда существует решение уравнения (127):

подобраны так, чтобы ряд (132) равномерно сходился в любой конечной части плоскости и выполнялось неравенство

Доказательство. Воспользуемся хорошо известным

нераверным при любом в котором положим мы получим тогда, что

Из теоремы § 1 главы III следует, что в промежутке

найдется такое значение что целая функция растущая не скорее показательной, на окружности будет удовлетворять неравенству

где X и не зависят от Мы можем записать это выбранное нами значение в виде

Выбрав для любого из неравенства (125), взяв произвольным, но так, чтобы на окружности мы получаем оценку

где не зависят от Но

Поэтому

где — конечная постоянная, так как ряд сходится.

Заметим теперь, что тахя достигается при и что функция

будет неограниченно растущей, монотонно неубывающей функцией х. Поэтому при

что и доказывает нашу теорему.

Если — целая функция порядка и конечного типа с, то и неравенство (133) дает

Более точные вычисления в этом случае дают неравенство

откуда следует, что теорема V может быть уточнена. За дальнейшими сведениями о решениях неоднородного уравнения мы снова отсылаем читателя к монографии А. Ф. Леонтьева.

Заметим, что благодаря соотношению (101) и неравенству (125) теоремы типа II и V могут быть доказаны и для определенных классов аналитических функций, регулярных в конечных областях.