§ 4. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

1. Однородное линейное уравнение. Характеристическое уравнение.

Перейдем к рассмотрению линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Это — наиболее важный частный случай общей теории. В этом случае можно непосредственно найти

нужное число линейно независимых решений, а к этому, как мы видели, и сводится задача решения линейного разностного уравнения. Итак, пусть дано однородное линейное уравнение с постоянными коэффициентами:

Будем искать решение в виде

где число X подлежит определению. Подставляя в уравнение (32) функцию взятую из соотношения (33), получим уравнение

или

или, наконец,

так как

Уравнение (34) будем называть характеристическим уравнением для конечно-разностного уравнения (32). Корни уравнения (34), естественно, могут быть как однократные, так и многократные. Рассмотрим все возможные случаи.

Пусть корни уравнения (34) — все простые. В этом случае, можно указать различных решений уравнения (32)

где суть корни характеристического уравнения. Можно утверждать, что в этом случае решений (35) линейно независимы. В самом деле, составив из этих решений определитель получим

Вынося из каждого столбца номера за знак определителя

получим

Не нарушая общности, можно считать каждое из чисел X, - отличным от нуля, или, что то же самое, отличным от нуля произведение

В самом деле, если бы было (но ), то наше уравнение имело бы следующий вид:

и, следовательно, было бы порядка так как, не нарушая общности, можно было бы х заменить через и перейти к уравнению

Итак, если мы имеем разностное уравнение типа (32) порядка то мы должны считать свободный член а этого уравнения отличным от нуля, а следовательно, отличными от нуля и все корни характеристического уравнения (34).

Возвращаясь к определению мы видим, что первый сомножитель, т. е.

тождественно в нуль не обращается, ибо мы указали, что можно считать Таким образом, вопрос сводится к исследованию величины определителя

Последний же определитель есть определитель Вандермонда и, как известно, равен произведению

распространенному на все значения из ряда

Так как все по предположению различны между собой, то ни одна из таких разностей, а следовательно, и определитель (36) в нуль не обращаются. Поэтому решения (35) будут действительно линейно независимы, и общее решение уравнения (32) изобразится следующим образом:

Если среди корней есть комплексные и все корни X,- различны, но мы все же желаем определить действительные решения, то предполагая числа в соотношении (37) комплексными и вспоминая, что комплексные корни встретятся в сопряженных парах — действительны), мы сумму

где

сможем преобразовать к виду

и считать действительными. Таким образом, общее решение составится в этом случае в виде линейной комбинации из выражений вида

Таким образом, в случае, если корни характеристического уравнения простые, решение находится просто.