§ 2. Ряд Ньютона с узлами интерполяции 1, 2, 3,...

1. Абсцисса сходимости.

Аналогично тому как для степенного ряда в комплексной плоскости границей области сходимости служит окружность, радиус которой называется радиусом сходимости степенного ряда, для ряда Ньютона

подобную роль играет прямая, параллельная мнимой оси, причем это число X называется абсциссой сходимости ряда Ньютона.

Прежде чем исследовать сходимость ряда Ньютона, мы докажем сейчас одну вспомогательную теорему, имеющую большое значение при исследовании сходимости рядов.

Теорема I. Пусть произвольные числа удовлетворяют следующим двум условиям:

Тогда сходится и ряд .

Доказательство. Обозначим через через . С помощью преобразования Абеля мы можем преобразовать величину к следующему виду:

Так как ряд

сходится и притом абсолютно на основании условий а) и б) нашей теоремы, на основании тех же условий имеют

конечные и определенные пределы, то очевидно, что имеет предел при стремящемся к бесконечности. Этим и доказывается наша теорема I.

Перейдем к исследованию ряда Ньютона

Допустим, что этот ряд сходится при Докажем, что он будет сходиться и при всяком х, таком, что Для доказательства этого, заметив, что ряд (57) можно переписать в форме

мы положим

Предположив, что мы покажем сейчас, что числа удовлетворяют условиям теоремы (1). Действительно,

Далее, совершив простые преобразования, мы получим

Так как произведение, как мы уже знаем [см. формулу (15)],

при будет сходиться к конечному значению, а число будет оставаться ограниченным при стремлении к бесконечности, то мы, очевидно, можем написать

неравенство

где не зависит от и положительно.

Воспользовавшись тем, что

и вспомнив, что мы можем с помощью неравенства (62) еще упростить неравенство (61):

откуда следует, что при нашем предположении для чисел действительно выполнены условия теоремы I.

Значит, действительно, ряд (57), сходящийся при сходится и при всяком другом х, для которого

Итак, всегда существует такое конечное или бесконечное число X, что при ряд сходится, а при ряд расходится.

Из неравенства (63) также вытекает следующая основная Теорема II. Если ряд Ньютона (57) имеет конечную абсциссу сходимости X, то он равномерно сходится в области определяемой неравенствами

при любом сколь угодно малом и любом сколь угодно большом и тем самым его сумма будет регулярной аналитической функцией комплексного переменного х в любой конечной части полуплоскости

Доказательство. Пусть где выбрано так, чтобы число не было целым. Пусть теперь величины определяются соотношениями (58). Тогда ряд будет сходящимся, так как X — абсцисса сходимости, а лежит правее этой абсциссы сходимости. Заметим также, что число в неравенстве (63)

зависит, как это непосредственно следует из соотношений (59) и (60), только от и если комплексное переменное х не выходит за пределы области Положив опять и заметив, что

где В зависит только от и если х не выходит за пределы области так как произведения в правой части сходящиеся.

Рассмотрим теперь сумму

Отсюда следует в силу неравенства (63) и ограниченности чисел неравенство

где С зависит только от и если х принадлежит области Но это неравенство, как хорошо известно из анализа, и доказывает равномерную сходимость ряда (57) в области Ряд (57) есть ряд многочленов и тем самым регулярных в любой конечной области функций. Ряд же регулярных аналитических функций, равномерно сходящихся в конечной области, имеет своей суммой аналитическую же функцию. Этим наша теорема II полностью доказана.

Ряд Ньютона, сходящийся при некотором значении х, может сходиться, естественно, и не абсолютно. Более того, если ряд

Ньютона сходится при то из этого еще не следует, что он будет абсолютно сходиться при Как мы увидим из дальнейшего, для ряда Ньютона существует кроме абсциссы сходимости и абсцисса абсолютной сходимости, которая, очевидно, не может быть меньше абсциссы сходимости.

Для того чтобы это показать, мы покажем, что существует связь между сходимостью ряда Ньютона (57) и сходимостью ряда Дирихле

Рассмотрим опять ряд (57), записав его в форме

Положим

Тогда с помощью простых преобразований мы получим неравенство

где будет постоянной, не зависящей от потому что произведение

будет, очевидно, сходящимся.

Если мы теперь допустим, что ряд

при данном значении х будет сходиться, то числа будут подчинены условиям теоремы I и, значит, при этом значении х окажется сходящимся и ряд (57).

Итак, из сходимости ряда (65) следует сходимость ряда (57).

Обратно, предположив сходимость ряда (57) при данном х, мы тем же самым приемом можем доказать сходимость ряда (65), так как числа при

удовлетворяют неравенствам

Итак, ряды (65) и (57) сходятся и расходятся при одних и тех же значениях х за исключением

Будем теперь дальше преобразовывать ряд (65). Запишем его в форме

И ПОЛОЖИМ

Допустим теперь, что ряд

при данном значении х сходится. Покажем теперь, что числа удовлетворяют условию б) теоремы I. Действительно,

Отсюда непосредственно следует неравенство

где — константа, не зависящая от так как выражение

при растущем ограничено по абсолютной величине.

Таким образом, при сделанном предположении о сходимости ряда (67) оказались выполненными условия а) и б) теоремы I, и

значит, при том же значении х ряд (65) будет также сходящимся.

Обратно, записав ряд (67) в форме

и положив

мы можем заключить, что эти числа удовлетворяют неравенствам

Допустив теперь, что сходится ряд (65), мы получим опять, что числа подчиняются условиям теоремы I, иначе говоря, что сходится ряд (67).

Мы установили, что ряды (65) и (67) сходятся и расходятся при одних и тех же значениях х.

Из этого следует, что ряд Ньютона (57) сходится или расходится одновременно с рядом Дирихле (67).

Переходя к вопросу об абсолютной сходимости ряда Ньютона, можно заметить, что ряд Ньютона (57) абсолютно сходится также одновременно с рядом Дирихле (67). Действительно, из представления (57) непосредственно следует, что

или, так как произведение

при сходится к конечному и отличному от нуля числу, что ряд Ньютона (57) абсолютно сходится или расходится одновременно с рядом

Но этот ряд в свою очередь сходится или расходится одновременно с рядом

так как величина

стремится к конечному отличному от нуля пределу при стремящемся к бесконечности. Но ряд (68) есть не что иное как ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда Дирихле (67). Мы уже видели, что для ряда (67) существует число X такое, что ряд (67) сходится или расходится в зависимости от того, будет ли или Поэтому для ряда (68) существует такое что при этот ряд сходится, а при ряд расходится. Это число мы и будем называть абсциссой абсолютной сходимости ряда (67).

По доказанному это же число будет обладать тем свойством, что при будет абсолютно сходиться ряд (57), а при он не будет абсолютно сходиться.

Итак, мы можем считать доказанной теорему:

Теорема III. Ряд Ньютона

и ряд Дирихле

имеют одни и те же абсциссы сходимости и абсолютной сходимости.

Допустим теперь, что ряд (64) сходится при и расходится при Отсюда следует, что иначе говоря, что абсолютная величина удовлетворяет неравенству не зависит от Но если это неравенство выполнено, то при ряд Дирихле (64) будет сходиться абсолютно, так как его члены по абсолютной величине будут меньше членов сходящегося ряда

Иначе говоря, должно быть выполнено неравенство где абсцисса абсолютной сходимости ряда Дирихле (67). Так как это неравенство будет верно при любом сколь угодно махом то мы окончательно получим неравенство, связывающее абсциссы сходимости и абсолютной сходимости ряда Дирихле (67), а значит, по теореме III и ряда Ньютона

Пользуясь теоремой III, мы можем свести задачу определения абсцисс сходимости и абсолютной сходимости ряда Ньютона к аналогичной задаче для ряда Дирихле, задаче, решающейся для ряда Дирихле значительно более просто, чем для ряда Ньютона. Теорема IV. Абсцисса сходимости ряда Ньютона

определяется равенством

если и равенством

если

Для того чтобы узнать, какую из этих формул нужно применить при нахождении абсциссы сходимости ряда Ньютона, доста точно проверить, будет ли сходиться ряд

или нет. Если он будет сходиться, то для определения абсциссы сходимости нужно взять формулу (70), а если он будет расходиться, то абсцисса сходимости будет даваться формулой (69).

Докажем, что формулами (69) и (70) определяется абсцисса сходимости ряда Дирихле (67). Этим мы и докажем нашу теорему IV, так как по теореме III абсциссы сходимости рядов Дирихле и Ньютона совпадают.

Рассмотрим сначала случай Если X есть абсцисса сходимости ряда (67), то ряд

будет сходиться при всяком Обозначим теперь через величины

Тогда мы будем иметь с помощью преобразования Абеля следующее выражение для

откуда мы получим неравенство

так как ряд (71) сходится и, значит, где В — положительная константа, не зависящая от Это неравенство может быть теперь сразу переписано в форме предельного соотношения

Так как это неравенство справедливо при всяком то оно справедливо и при Мы показали, что абсцисса сходимости X не может быть меньше величины, даваемой формулой (69), Обратно, если величина X определяется равенством

где

будет сходящимся при всяком

Действительно,

Отсюда, так как на основании условий для всякого , кроме того, где константы не зависят от мы получим неравенство

которое легко упрощается и с помощью замены суммы интегралом преобразуется в неравенство

где не зависит от и .

Это последнее неравенство позволяет утверждать, что ряд (73) сходится.

Таким образом, мы Гдоказали нашу теорему IV для случая

Рассмотрим теперь случай, когда Положим что возможно, так как в этом случае ряд сходится, и где столь мало, что продолжает быть меньше нуля. Тогда мы будем иметь совершенно аналогично предыдущим рассуждениям, что

откуда, допустив, что ряд (67) имеет абсциссой сходимости число , значит, где не зависит от мы получим, перейдя к пределу при стремящемся к бесконечности, что

или что

Обратно, допустив, что

где мы сразу получим, что удовлетворяет неравенству

для всякого

Далее, имеем, что

или, упрощая это неравенство,

откуда окончательно с помощью легких оценок, аналогичных тем, которые служили нам для перехода от неравенства (74) к неравенству (75), мы получим неравенство

где не зависит от что и доказывает сходимость ряда (67) при и любом

Мы доказали таким образом, что когда то формула (70) дает величину, которая не может быть ни больше, ни меньше

абсциссы сходимости, т. е. мы показали, что формула (70) действительно дает эту абсциссу сходимости при

Итак, теорема IV доказана полностью.

Теперь мы докажем теорему V, дающую величину абсциссы абсолютной сходимости ряда Ньютона.

Теорема V. Абсцисса абсолютной сходимости ряда Ньютона дается формулой

если и формулой

если

Доказательство. По теореме III абсцисса абсолютной сходимости ряда Дирихле (67), очевидно, совпадает с абсциссой сходимости ряда

Но по теореме IV величина абсциссы сходимости ряда (78) как раз и записывается выражениями (76) и (77), так как она совпадает с абсциссой сходимости ряда Ньютона

Рассмотрим пример, показывающий, что абсцисса абсолютной сходимости действительно может отличаться от абсциссы сходимости на любое число, меньшее единицы. Пусть будет любое число, находящееся в интервале Составим последовательность действительных чисел которые мы определим последовательно из соотношений

Из этих соотношений определяется не одна последовательность чисел а бесчисленное множество таких последовательностей. Мы возьмем какую-нибудь из них. Положим теперь и составим ряд Ньютона

Этот ряд будет иметь абсциссой сходимости число а, так как по теореме IV

и абсциссой абсолютной сходимости число так как по теореме V

То, что - тривиальное следствие преобразования Абеля.