4. Свойства частных решений линейного однородного уравнения.

Рассмотрим теперь некоторые свойства частных решений линейного однородного уравнения.

Пусть будут различных решений уравнения

Подставляя в это уравнение мы получим систему уравнений:

Решая эту систему относительно мы получим соотношение

Обозначив по-прежнему

мы получим, очевидно, соотношение

Отсюда следует, что если

то и вообще

Итак, если хотя бы для одного значения х

то и и значит, с помощью этой системы решений можно построить по теореме II общее решение однородного уравнения.

Введем понятие линейно независимых решений. Назовем функции линейно независимыми решениями, если они принимают конечные и определенные значения при всех целых удовлетворяют при тех же значениях нашему уравнению

и если соотношение

при любых постоянных одновременно не равных нулю, хотя бы для одного значения не выполняется.

Относительно линейно независимых решений нашего уравнения легко доказать лемму:

Определитель системы линейно независимых решений разностного уравнения порядка не может быть тождественно равен нулю, т. е. равенство

невозможно.

Допустим, что оно выполнено. Рассмотрим тогда систему уравнений:

Так как определитель системы равен нулю, то можно подобрать такие постоянные , не все равные нулю, которые дают решение этой системы уравнений.

Значит, при найденных

Но, взяв соотношение

умножив его на и просуммировав равенства для мы получим

откуда, принимая во внимание ранее написанную систему равенств (24), получим

Идя таким, же образом дальше, мы получим, что и вообще, при выбранной системе постоянных к

т. е. тождественно. Мы пришли к противоречию с предположением линейной независимости решений. Теперь мы можем дать другую формулировку теореме II.

Теорема II. Если линейно независимые решения уравнения

то всякое другое решение этого уравнения, принимающее конечные и определенные значения при может быть представлено в виде

где — постоянные.

Рассмотрим опять соотношение (22),

Из него непосредственно следует, что

т. е. если мы имеем систему линейно независимых решений и при то и при Но если то из этого соотношения следует, что

при всяком Значит, в этом случае всякая система из решений, имеющих конечные и определенные значения на всем интервале оказывается системой линейно зависимых решений на интервале Давая в этом случае значения такие, что

мы получим, очевидно, решение, имеющее конечные и определенные значения во всем промежутке и обращающиеся в бесконечность при Итак, мы получили решение, которое не представляется никакой линейной комбинацией решений линейно независимых и имеющих конечные значения при Но, рассматривая промежуток мы можем, полностью используя вышеизложенные рассуждения, построить систему линейно независимых решений при и представить всякое другое решение, имеющее конечное и определенное значение при в виде

В случае, когда при всякое решение, имеющее конечные и определенные значения при может быть продолжено и налево от т. е. имеет конечные и определенные значения и для