6. Аналитические свойства многочленов Бернулли.
Познакомившись с основными свойствами чисел Бернулли, мы изучим теперь некоторые свойства многочленов Бернулли. Последние порождались функцией
Разложение ее в ряд было нами выше записано в виде
где, следовательно,
или в символической записи:
Первое основное свойство многочленов Бернулли нами уже указывалось — это свойство заключается в равенстве
Вернемся к соотношению (49). Дифференцируя по х обе части этого соотношения и замечая, что при этом для нахождения
производной от ряда, стоящего в правой части, можно продифференцировать его почленно, находим
Очевидно, что функция, стоящая в левой части равенства (51), отличается от функции, стоящей в левой части равенства (49), только множителем
а потому
или, что то же самое,
В силу единственности разложения из соотношений (51) и (52) находим
Заменим, наконец, в сумме (49) х на
тогда получим
или, так как
[см. 49)], то