6. Аналитические свойства многочленов Бернулли.

Познакомившись с основными свойствами чисел Бернулли, мы изучим теперь некоторые свойства многочленов Бернулли. Последние порождались функцией

Разложение ее в ряд было нами выше записано в виде

где, следовательно,

или в символической записи:

Первое основное свойство многочленов Бернулли нами уже указывалось — это свойство заключается в равенстве

Вернемся к соотношению (49). Дифференцируя по х обе части этого соотношения и замечая, что при этом для нахождения

производной от ряда, стоящего в правой части, можно продифференцировать его почленно, находим

Очевидно, что функция, стоящая в левой части равенства (51), отличается от функции, стоящей в левой части равенства (49), только множителем а потому

или, что то же самое,

В силу единственности разложения из соотношений (51) и (52) находим

Заменим, наконец, в сумме (49) х на тогда получим

или, так как

[см. 49)], то