3. Линейная зависимость и независимость функций.

Теорема IV. Если функции линейно зависимы, т. е. для имеет место соотношение

где - постоянные, не равные нулю одновременно, то определитель

равен нулю при всех значениях х. Обратно.. если

а

то наши функции линейно зависимы и действительно входит в соотношение т. е. .

Доказательство. Первая часть теоремы доказывается непосредственно.

Возьмем определитель

и допустим, что что действительно входит в соотношение Умножим первый столбец нашего определителя на и прибавим к нему все другие умноженные на соответствующие постоянные

Тогда мы получим, что

Но так как все элементы первого столбца — нули, то определитель равен нулю и, значит,

Вследствие того, что мы получаем

Докажем теперь вторую часть нашей теоремы. По предположению

Разложим этот определитель по элементам первой строки. Мы получим тождество

где — алгебраические дополнения элементов первой строки.

Заменим первую строку второй, третьей и, наконец, строкой. Мы получим, очевидно, определителей, равных нулю тождественно. Разлагая их по элементам первой строки и замечая, что миноры первой строки у всех определителей одинаковы, мы получим равенств, а вместе с первым, уже написанным, равенств:

Но

ни при каком х по условию второй части теоремы.

Поэтому, разделив все наши равен на и положив

мы получим систему тождеств:

Давая в первом тождестве х значение и вычитая из него второе, во втором тождестве заменяя х через

читая из него третье и так далее, получим систему тождеств:

Эту систему можно рассматривать как систему уравнений относительно Ди! Определитель этой системы будет, очевидно,

по условию теоремы.

Значит, система не имеет отличных от нуля решений, и откуда и следует, что будут постоянными.

Теперь мы видим, что тождество

и будет искомой линейной зависимостью между функциями

Доказанная нами теорема, как нетрудно убедиться из простых примеров, оказывается неверной, если отказаться от предположения, что

для всех значений

Пользуясь этой теоремой, можно доказать другое интересное предложение.

Теорема V. Для того чтобы имеющая конечное и определенное значение при удовлетворяла при этих значениях х разностному уравнению с постоянными коэффициентами порядка, необходимо и достаточно, чтобы

при , кроме того,

хотя бы для одного значения

Доказательство. Из теории определителей известно соотношение, связывающее этого типа определители (см., например, Г. Полиа и Г. Сеге, Задачи и теоремы из анализа, т. II, стр. 109, ОНТИ, М. — Л., 1938), а именно, что

откуда, положив для сокращения записи

мы получим соотношение

По условию теоремы значит,

Но если для то из этого соотношения следует, что и для всех значений а это находится в противоречии с условиями теоремы.

Итак, ни для какого Мы видим, что в этом случае выполнены условия теоремы IV и поэтому между функциями существует линейная зависимость с постоянными коэффициентами, в которую действительно входят как так и так как минорами этих элементов в детерминанте служат всюду отличные от нуля детерминанты

Мы доказали достаточность наших условий. Их необходимость очевидна из первой части теоремы IV.

Если условия теоремы V выполняются, начиная с то и функции связаны линейной зависимостью при .

Эта теорема имеет большое значение при изучении рядов Тейлора с точки зрения распределения особенностей представляемых ими функций в комплексной области.