Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 3. Сходимость интерполяционного процесса Лагранжа и теорема С. Н. Бернштейна.Интерполяционный процесс Ньютона характеризуется заданием последовательности узлов интерполяции
расположенных на каком-либо отрезке
Одну оценку [см. (18)] для разности между
Теорема III. Если
интерполяционные многочлены
то интерполяционные многочлены равномерно сходятся к Доказательство. Заметим, что для многочлена наилучшего приближения степени не выше
так как многочлен степени не выше
Отсюда следует неравенство
где Верхнюю границу для
то многочлены
откуда вследствие (150) и следует (151). В качестве примера рассмотрим интерполяционный процесс при
другими словами, интерполяционный процесс, когда матрица (146) составлена из узлов, которые являются корнями многочленов Чебышева. С. Н. Бернштейну принадлежит замечательное неравенство, именно он установил, что в этом случае
Мы докажем менее точное неравенство, дающее тот же порядок роста границы для взять
где положено
то при
откуда, если положить
следует, что
Положить
Пользуясь неравенствами (152) и (153), мы получаем для
Отсюда следует, что при
При
Итак, мы получили неравенство
Из соотношения (151) следует теперь условие сходимости интерполяционного процесса, если матрица узлов составлена из корней чебышевских многочленов, именно
где
мы получим, что
Оси этого эллипса совпадают с осями координат, длины осей Пусть и [см. (23)]
Поэтому
Допустим теперь, что
где С — замкнутый контур, содержащий внутри все точки
где Мы можем теперь доказать важную теорему о наилучших приближениях, принадлежащую С. Н. Бернштейну. Теорема IV. Если приближения от
Доказательство. Пусть
где
Допустим, что
Тогда при
Рассмотрим функцию
Так как не выше
Если
то в силу (156) имеют место неравенства
Из этих неравенств следует, что и
Отсюда следует, что все коэффициенты ряда Фурье для
Эта функция будет непрерывной на рядом тригонометрических многочленов
Значит,
откуда и следует
Этим мы полностью доказали теорему С. Н. Бернштейна. В случае равномерного распределения узлов интерполяции на отрезке
на
Пусть
Воспользовавшись формулой Стирлинга
Функция
Кроме того,
Поэтому, для того чтобы по теореме III на
другими словами, по теореме С. Н. Бернштейна, если
Если же
при произвольно большом
|
1 |
Оглавление
|