3. Сходимость интерполяционного процесса Лагранжа и теорема С. Н. Бернштейна.

Интерполяционный процесс Ньютона характеризуется заданием последовательности узлов интерполяции причем -й интерполирующий многочлен строится по узлам интерполяции . В интерполяционном процессе Лагранжа мы имеем дело с треугольной таблицей узлов интерполяции:

расположенных на каком-либо отрезке причем многочлен интерполяции строится по узлам Для упрощения рассуждений мы будем рассматривать здесь случай при одном и том же Интерполирующий многочлен будет, как нам уже известно, иметь вид

Одну оценку [см. (18)] для разности между когда имеет ограниченную производную, мы уже вывели. Для получения аналогичных оценок только при предположении непрерывности на введем некоторые вспомогательные, характеристики расположения узлов интерполяции. Считая, что узлы расположены на положим

Теорема III. Если — величина отклонения на от ее многочлена наилучшего приближения степени определяется соотношениями (148), то при условии

интерполяционные многочлены сходятся к в точке х Если же

то интерполяционные многочлены равномерно сходятся к на

Доказательство. Заметим, что для многочлена наилучшего приближения степени не выше имеет место равенство

так как многочлен степени не выше единственным образом определяется своими значениями в точках. Поэтому если интерполирующий многочлен Лагранжа для то

Отсюда следует неравенство

где определяется равенствами (148), откуда и следует наша теорема.

Верхнюю границу для дает теорема II. Из теоремы II и III мы, в частности, получаем следствие, если имеет на модуль непрерывности и

то многочлены равномерно сходятся к Действительна в этом случае теорема II дает неравенство

откуда вследствие (150) и следует (151). В качестве примера рассмотрим интерполяционный процесс при

другими словами, интерполяционный процесс, когда матрица (146) составлена из узлов, которые являются корнями многочленов Чебышева. С. Н. Бернштейну принадлежит замечательное неравенство, именно он установил, что в этом случае

Мы докажем менее точное неравенство, дающее тот же порядок роста границы для В качестве в нашем случае можно

взять так как в формуле без изменения правой части можно умножать на любую постоянную С, не равную нулю. При таком выборе получим

где положено меняется в интервале [0, 1]. Заметим, что так как, заменив на на мы получим то же выражение для Поэтому при оценке сверху достаточно рассматривать только Так как имеют место элементарные неравенства

то при

откуда, если положить

следует, что

Положить мы имеем право, так как, давая значения в этих пределах и изменяя на мы можем придать любое значение из отрезка Далее,

Пользуясь неравенствами (152) и (153), мы получаем для неравенство

Отсюда следует, что при

При

Итак, мы получили неравенство

Из соотношения (151) следует теперь условие сходимости интерполяционного процесса, если матрица узлов составлена из корней чебышевских многочленов, именно

где — модуль непрерывности на Предположим теперь, что аналитична в каждой точке отрезка Для того чтобы получить условие сходимости вне отрезка, рассмотрим поведение при комплексных и больших Если то, положив

мы получим, что есть точка эллипса:

Оси этого эллипса совпадают с осями координат, длины осей и фокусы этого эллипса находятся в концах отрезка

Пусть есть точка эллипса параметра Тогда

и [см. (23)]

Поэтому

Допустим теперь, что регулярна в замкнутой области, границей которой является эллипс, определенный уравнением (155) при некотором фиксированном Обозначим этот эллипс буквой С. Пользуясь интегральным представлением в комплексной плоскости остаточного члена интерполяционной формулы Лагранжа:

где С — замкнутый контур, содержащий внутри все точки и предполагая, что С есть эллипс (155) в плоскости не выходит за пределы такого же эллипса с параметром мы получаем в нашем случае, что

где — длина эллипса, максимум Это неравенство показывает, что если регулярна в замкнутой области с границей С, другими словами, в эллипсе не выходит за пределы эллипса то интерполяционные многочлены с чебышевскими узлами интерполяции равномерно сходятся к в этом эллипсе.

Мы можем теперь доказать важную теорему о наилучших приближениях, принадлежащую С. Н. Бернштейну.

Теорема IV. Если — аналитическая функция, регулярная внутри эллипса причем параметр имеет при условии регулярности максимальное значение, а — отклонение на многочлена наилучшего

приближения от то

Доказательство. Пусть регулярна внутри эллипса где имеет максимальное значение. Тогда — интерполяционный многочлен Лагранжа с узлами в корнях многочлена Чебышева — при будет удовлетворять вследствие (156) неравенству

где есть эллипс — максимум модуля на этом эллипсе, — длина эллипса, минимум расстояния точек отрезка от этого эллипса. Так как не может приближать на лучше многочлена наилучшего приближения степени сколь угодно близко к то

Допустим, что

Тогда при и значит, для всякого существует многочлен степени такой, что

Рассмотрим функцию определенную рядом

Так как есть тригонометрический многочлен степени

не выше на интервале ортогонален к

Если не выходит за пределы эллипса

то в силу (156) имеют место неравенства

Из этих неравенств следует, что и представляется равномерно сходящимся в эллипсе с параметром рядом многочленов, и, значит, внутри этого эллипса и — регулярная аналитическая функция. Но из определения следует, что

Отсюда следует, что все коэффициенты ряда Фурье для равны нулю. Покажем, что это обстоятельство имеет следствием обращение в нуль функции непрерывность которой следует из непрерывности Действительно, пусть в точке а на . В силу непрерывности будет существовать отрезок на котором так как без нарушения общности можно считать Рассмотрим функцию

Эта функция будет непрерывной на , и значит, она может быть приближена равномерно сходящимся к ней на

рядом тригонометрических многочленов Так как ортогональна к любому многочлену то

Значит,

откуда и следует Итак, и на отрезке а значит, которая была регулярной на отрезке будет регулярной и внутри эллипса с параметром Но по условию эллипс с параметром был максимальным эллипсом этого рода, в котором регулярна, т. е. предположение, что неверно, и

Этим мы полностью доказали теорему С. Н. Бернштейна.

В случае равномерного распределения узлов интерполяции на отрезке когда

на приходится накладывать более сильные ограничения, чем в случае чебышевских узлов, для того чтобы интерполяционный процесс Лагранжа сходился. Это связано с тем обстоятельством, что относительно велико. Действительно, в этом случае

Пусть Очевидно, что любое х на можно представить в этом виде. Можно также для определенности считать, что так как Тогда мы будем иметь неравенство

Воспользовавшись формулой Стирлинга [см. стр. 116], мы получаем, что

Функция — четная и монотонно растет с ростом модуля так как при

Кроме того, Отсюда следует, что

Поэтому, для того чтобы по теореме III на интерполяционные многочлены равномерно сходились к функции достаточно выполнения условия

другими словами, по теореме С. Н. Бернштейна, если будет регулярна в эллипсе при . В силу теорем III и IV, если регулярна в эллипсе с параметром то интерполяционные многочлены с узлами будут сходится к на отрезке, определяемом неравенством

Если же — целая функция, то прямо из интегрального представления остаточного члена интерполяционной формулы Лагранжа мы будем иметь, что

при произвольно большом откуда и следует равномерная сходимость в любом конечном круге. Можно также показать, что достаточные условия сходимости интерполяционного процесса при равноотстоящих узлах интерполяции существенно не могут быть улучшены.