3. Остаточный член формулы Эйлера.

Теперь мы дадим несколько различных выражений остаточного члена в формуле (66) и соответственно с этим в формуле (67). Для этого рассмотрим выражение

Допустим, что есть число четное; тогда

может быть упрощено на основании того соображения, что функция

в промежутке интегрирования знака не меняет.

Применяя к интегралу правой части формулы (70) обобщенную теорему о среднем значении, получим

Нетрудно видеть, что

поэтому

Остаточный член в формуле Эйлера может быть записан в случае в виде

или, что то же, в виде

где есть среднее значение между , а , вообще говоря, зависит от х.