3. Остаточный член формулы Эйлера.
Теперь мы дадим несколько различных выражений остаточного члена в формуле (66) и соответственно с этим в формуле (67). Для этого рассмотрим выражение
Допустим, что
есть число четное; тогда
может быть упрощено на основании того соображения, что функция
в промежутке интегрирования знака не меняет.
Применяя к интегралу правой части формулы (70) обобщенную теорему о среднем значении, получим
Нетрудно видеть, что
поэтому
Остаточный член в формуле Эйлера может быть записан в случае
в виде