3. Теорема Перрона.
Уточнением теоремы Пуанкаре служит теорема Перрона, которая утверждает, что если для уравнения
условия теоремы Пуанкаре выполнении, кроме того, 
ни для какого целого х в нуль не обращается, то существует 
решений
этого уравнения, для каждого из которых
при всех 
от единицы до 
Доказательства этой теоремы мы приводить не будем. Отметим только, также без доказательства, что решения (66) будут линейно независимыми. В этом случае можно построить решение заданного уравнения, исходя из следующих соображений.
Из соотношения (67) следует, что
где 
когда 
Полагая в соотношении (68) последовательно 
получим следующий ряд равенств:
перемножение которых дает
откуда
Произведение
можно заменить произведением равных биномов
где 
есть некоторое среднее значение между 
и, следовательно, также стремится к нулю при возрастании аргумента. Обозначая еще 
через 
получим
так что общее решение заданного уравнения в силу линейной независимости частных решений изобразится в виде
Таким образом, теорема Перрона, дополняющая доказанную теорему Пуанкаре, позволяет выяснить поведение решения линейного однородного уравнения с переменными коэффициентами, и в этом — смысл и значение обеих теорем.
