Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
3. Интерполяционный процесс Ньютона в случае, когда узлы интерполяции имеют точку накопления только в бесконечности.Выше мы рассматривали случай нескольких предельных точек у последовательности узлов интерполяции, причем эти предельные точки были внутренними точками области регулярности интерполируемой функции. Теперь мы рассмотрим слуай одной предельной точки, являющейся особой точкой интерполируемой функции Прежде всего докажем общую теорему III. Теорема III. Если
при некотором фиксированном равенства (142) будут выполнены для любого Доказательство. Оценим величину
Положим
так как
так как
вследствие того, что при любом М. В. Келдыш и И. И. Ибрагимов, доказавшие эту теорему в несколько иной формулировке, построили пример, показывающий, что константу Прямым следствием теоремы III является теорема IV. Теорема IV. Пусть Доказательство. Мы знаем (см. § 1, п. 7), что Возьмем последовательность При
для любого
то при
для любого фиксированного Следующая далее теорема V значительно точнее теоремы III, но менее наглядна и проста. Эта теорема относится только к сходимости ряда (115). Теорема V. Пусть
каково бы ни было Доказательство. Если воспользоваться формулами
получаемыми интегрированием на интервалах
где
Полагая
мы и получаем теорему V. Следующая теорема показывает, что условие (148) теоремы V, вообще говоря, не может быть существенно ослаблено, если мы: характеризуем рост Теорема VI. Если целая функция
где Доказательство. Если ряд (115) сходится при любом, действительном х, то, положив
имеем при любом
Но
Отсюда непосредственно следует, что
так как
мы видим, что максимум в правой части неравенства (155) достигается при
Из этого неравенства, если воспользоваться формулами (149) следует неравенство (153) теоремы VI. Рассмотрим одно следствие из теоремы V. Пусть
при любом Пусть также последовательность
Тогда имеет место теорема VII. Теорема VII. Пусть выполнены условия (156) и (157) относительно целой функции
причем это неравенство нельзя заменить более слабым без изменения остальных условий теоремы. Доказательство. Эта теорема является простым следствием теоремы V. В самом деле, возьмем
Согласно (156) при любом фиксированном
Отсюда
В силу Далее, границу для о в теореме VII нельзя увеличить в случае сходимости ряда (115) в любой точке действительной оси, так как, взяв в качестве последовательности узлов интерполяции
откуда следует предельное соотношение
Неравенство (162) показывает, что при любом построить сколько угодно целых функции порядка
которые не могут быть разложены в сходящийся в любой конечной точке действительной оси ряд (115). В качестве примера найдем условие разложимости целой функции
Если этот ряд сходится хотя бы в двух точках, не совпадающих с целыми числами, то, как мы уже знаем (см. стр. 179), он будет сходиться при любом конечном значении
Так как Итак, условия разложимости
Обозначая через условия разложимости
Из этого неравенства следует, что неравенство
будет достаточным условием представимости Рассмотрим еще один пример на получение достаточных условий представимости
Из Этого неравенства при
Отсюда следует достаточное условие сходимости ряда Ньютона к
Если предположить, что
где Полагая
мы видим, что максимум модуля функции
Полагая
Рост
|
1 |
Оглавление
|