3. Интерполяционный процесс Ньютона в случае, когда узлы интерполяции имеют точку накопления только в бесконечности.

Выше мы рассматривали случай нескольких предельных точек у последовательности узлов интерполяции, причем эти предельные точки были внутренними точками области регулярности интерполируемой функции. Теперь мы рассмотрим слуай одной предельной точки, являющейся особой точкой интерполируемой функции Мы ограничимся при этом рассмотрением только целых функций.

Прежде всего докажем общую теорему III.

Теорема III. Если -функция плотности последовательности узлов интерполяции — целая функция с максимумом модуля и неравенства

при некотором фиксированном будут выполняться для последовательности неограниченно растущих значений то последовательность многочленов будет при неограниченном росте равномерно сходиться к в любом круге конечного радиуса. Если же

равенства (142) будут выполнены для любого то в любом круге конечного радиуса ряд Ньютона (115) будет равномерно сходиться к

Доказательство. Оценим величину при взяв за контур интегрирования С в представлении (123) окружность Положив получим

Положим Из неравенства (144) мы придем при к неравенству

так как Неравенство (145) и доказывает первую часть нашей теоремы. Для доказательства второй ее части выбираем число из интервала , что можно сделать, так как по условию нашей теоремы , и полагаем при мы получим из (144) неравенство

так как

вследствие того, что Но в неравенстве так как . Значит, неравенство (146), справедливое

при любом доказывает равномерную сходимость в круге

М. В. Келдыш и И. И. Ибрагимов, доказавшие эту теорему в несколько иной формулировке, построили пример, показывающий, что константу нельзя, вообще говоря, брать из интервала

Прямым следствием теоремы III является теорема IV. Теорема IV. Пусть — целая функция порядка не выше — показатель сходимости последовательности Если то существует последовательность такая, что многочлены равномерно сходятся к в круге при любом фиксированном Если же где — нижняя плотность последовательности торяд (115) равномерно сходится к в любом конечном круге.

Доказательство. Мы знаем (см. § 1, п. 7), что

Возьмем последовательность по которой достигается этот верхний предел. Можно считать, что

При мы будем иметь неравенство

для любого т. е. будут выполнены условия первой части теоремы III. Далее, если

то при

для любого фиксированного Последние неравенства показывают, что в этом случае выполнены условия второй части теоремы III.

Следующая далее теорема V значительно точнее теоремы III, но менее наглядна и проста. Эта теорема относится только к сходимости ряда (115).

Теорема V. Пусть максимум модуля целой функции - последовательность узлов интерполяции Пусть, далее, функция плотности последовательности Тогда, если

каково бы ни было может быть представлена рядом (115), равномерно сходящижя в любой конечной части плоскости

Доказательство. Если воспользоваться формулами

получаемыми интегрированием на интервалах [на этих интервалах постоянна], и неравенством (144), то мы получим для неравенства

где произвольно, так как при

Полагая и принимая во внимание, что

мы и получаем теорему V.

Следующая теорема показывает, что условие (148) теоремы V, вообще говоря, не может быть существенно ослаблено, если мы: характеризуем рост функцией

Теорема VI. Если целая функция представляется рядом (115), сходящимся при любом действительном то ее рост, вдоль положительной части действительной оси в точках где любое число, а узлы интерполяции, подчиняется условию

где не зависит от -функция плотности последовательности

Доказательство. Если ряд (115) сходится при любом, действительном х, то, положив

имеем при любом неравенство где — некоторая постоянная. Произведя преобразование Абеля, получим, что

Но , поэтому

Отсюда непосредственно следует, что

так как зависит только от Полагая и принимая во внимание, что

мы видим, что максимум в правой части неравенства (155) достигается при откуда и следует неравенство

Из этого неравенства, если воспользоваться формулами (149) следует неравенство (153) теоремы VI.

Рассмотрим одно следствие из теоремы V. Пусть — максимум модуля функции — удовлетворяет неравенству

при любом другими словами, пусть — целая функция порядка не выше -1 с типом, не превышающим .

Пусть также последовательность удовлетворяет условиям

Тогда имеет место теорема VII.

Теорема VII. Пусть выполнены условия (156) и (157) относительно целой функции и последовательности узлов интерполяции Тогда представляется рядом Ньютона (115), если имеет место неравенство

причем это неравенство нельзя заменить более слабым без изменения остальных условий теоремы.

Доказательство. Эта теорема является простым следствием теоремы V.

В самом деле, возьмем Согласно при Рассмотрим выражение

Согласно (156) при любом фиксированном

Отсюда

В силу при при любом фиксированном По теореме V ряд Ньютона сходится к равномерно в любой конечной части плоскости.

Далее, границу для о в теореме VII нельзя увеличить в случае сходимости ряда (115) в любой точке действительной оси, так как, взяв в качестве последовательности узлов интерполяции последовательность мы получим по теореме VI, что

откуда следует предельное соотношение

Неравенство (162) показывает, что при любом можно

построить сколько угодно целых функции порядка и типа а, где

которые не могут быть разложены в сходящийся в любой конечной точке действительной оси ряд (115).

В качестве примера найдем условие разложимости целой функции в ряд Стирлинга:

Если этот ряд сходится хотя бы в двух точках, не совпадающих с целыми числами, то, как мы уже знаем (см. стр. 179), он будет сходиться при любом конечном значении Из этого следует, что вопрос о представимости рядом (163) эквивалентен вопросу о представимости двух функций

Так как четные функции, то и будут целыми функциями, если — целая или ряд (163) сходится в двух точках, так как тогда будет также целой функцией.

Итак, условия разложимости совпадают с условиями разложимости двух функций

Обозначая через максимумы модулей мы по теореме VII будем иметь в качестве достаточного

условия разложимости неравенство

Из этого неравенства следует, что неравенство

будет достаточным условием представимости рядом Стирлинга. Теорема VII показывает также, что увеличить постоянную в условии (167) нельзя.

Рассмотрим еще один пример на получение достаточных условий представимости рядом Ньютона. Пусть Для оценки остаточного члена ряда в этом случае удобнее всего воспользоваться непосредственно неравенством (144):

Из Этого неравенства при следует, что

Отсюда следует достаточное условие сходимости ряда Ньютона к при узлах интерполяции именно:

Если предположить, что

где — любая сколь угодно медленно растущая функция, то условие (168) будет выполнено и неравенство (169) является условием разложимости в ряд Ньютона с узлами интерполяции

Полагая

мы видим, что максимум модуля функции на окружности достигается при поэтому

Полагая мы будем иметь, так как

Рост для целой функции показывает, что условие разложимости (169), налагаемое на рост нельзя ослабить, так как, если бы могла быть представлена рядом Ньютона с узлами интерполяции то мы имели бы тождество вследствие обращения в нуль всех коэффициентов ряда Ньютона.