Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
3. Интерполяционный процесс Ньютона в случае, когда узлы интерполяции имеют точку накопления только в бесконечности.Выше мы рассматривали случай нескольких предельных точек у последовательности узлов интерполяции, причем эти предельные точки были внутренними точками области регулярности интерполируемой функции. Теперь мы рассмотрим слуай одной предельной точки, являющейся особой точкой интерполируемой функции Прежде всего докажем общую теорему III. Теорема III. Если
при некотором фиксированном равенства (142) будут выполнены для любого Доказательство. Оценим величину
Положим
так как
так как
вследствие того, что при любом М. В. Келдыш и И. И. Ибрагимов, доказавшие эту теорему в несколько иной формулировке, построили пример, показывающий, что константу Прямым следствием теоремы III является теорема IV. Теорема IV. Пусть Доказательство. Мы знаем (см. § 1, п. 7), что Возьмем последовательность При
для любого
то при
для любого фиксированного Следующая далее теорема V значительно точнее теоремы III, но менее наглядна и проста. Эта теорема относится только к сходимости ряда (115). Теорема V. Пусть
каково бы ни было Доказательство. Если воспользоваться формулами
получаемыми интегрированием на интервалах
где
Полагая
мы и получаем теорему V. Следующая теорема показывает, что условие (148) теоремы V, вообще говоря, не может быть существенно ослаблено, если мы: характеризуем рост Теорема VI. Если целая функция
где Доказательство. Если ряд (115) сходится при любом, действительном х, то, положив
имеем при любом
Но
Отсюда непосредственно следует, что
так как
мы видим, что максимум в правой части неравенства (155) достигается при
Из этого неравенства, если воспользоваться формулами (149) следует неравенство (153) теоремы VI. Рассмотрим одно следствие из теоремы V. Пусть
при любом Пусть также последовательность
Тогда имеет место теорема VII. Теорема VII. Пусть выполнены условия (156) и (157) относительно целой функции
причем это неравенство нельзя заменить более слабым без изменения остальных условий теоремы. Доказательство. Эта теорема является простым следствием теоремы V. В самом деле, возьмем
Согласно (156) при любом фиксированном
Отсюда
В силу Далее, границу для о в теореме VII нельзя увеличить в случае сходимости ряда (115) в любой точке действительной оси, так как, взяв в качестве последовательности узлов интерполяции
откуда следует предельное соотношение
Неравенство (162) показывает, что при любом построить сколько угодно целых функции порядка
которые не могут быть разложены в сходящийся в любой конечной точке действительной оси ряд (115). В качестве примера найдем условие разложимости целой функции
Если этот ряд сходится хотя бы в двух точках, не совпадающих с целыми числами, то, как мы уже знаем (см. стр. 179), он будет сходиться при любом конечном значении
Так как Итак, условия разложимости
Обозначая через условия разложимости
Из этого неравенства следует, что неравенство
будет достаточным условием представимости Рассмотрим еще один пример на получение достаточных условий представимости
Из Этого неравенства при
Отсюда следует достаточное условие сходимости ряда Ньютона к
Если предположить, что
где Полагая
мы видим, что максимум модуля функции
Полагая
Рост
|
1 |
Оглавление
|