§ 5. Интерполяционный процесс при треугольной таблице

1. Постановка задачи и основные формулы.

В этом параграф мы займемся решением одной общей интерполяционной задачи Эта задача заключается в следующем.

Дана треугольная таблица произвольных чисел, конечная ил, бесконечная:

определяющая последовательность разделенных, разноспи функции

Построить многочлен степени, не превосходящей удовлетворяющий условию: разделенные разности для равны соответствующим разделенным

разностям для исследовать поведение разности

Для доказательства того, что

мы будем делать те или иные предположения об аналитическом характере

Введем обозначения:

и

где — любые точки комплексной плоскости.

Тогда, как мы уже видели, точка С не выходит за пределы области являющейся наименьшей замкнутой выпуклой областью, содержащей точки будет некоторым многоугольником, который в частных случаях может свестись к отрезку прямой или даже к точке. Введем величину которую, пользуясь обозначением (60), запишем в виде

Производя интегрирование мы получим соотношение

Заметим, что

и что (см. стр. 42)

Положим теперь

Продифференцируем раз по Мы непосредственно получаем, что

Отсюда следует, что — многочлен степени относительно со старшим коэффициентом, равным единице.

После этих замечаний мы можем записать соотношение (62) в виде

Из этого соотношения, верного при любом принимая во внимание, что уже непосредственно следует, что

или

где есть многочлен степени не выше относительно . Возьмем разделенную разность от функции в точках Пользуясь известным нам представлением разделенной разности, мы будем тогда иметь, что для функции

так как интеграл от до может быть разбит на интегралы от до нуля и от нуля после чего можно заменить , и весь наш интеграл будет равен разности тождественно совпадающих интегралов. Отсюда следует, что разделенные разности при с узлами интерполяции для функции и многочлена совпадают. Итак, мы пришли к теореме.

Теорема. Если задана треугольная таблица узлов интерполяции

и функция имеет конечные значения в этих точках (причем если совпадают точек с одинаковыми вторыми индексами, то мы требуем существования в соответствующей точке производных до порядка), то мы всегда можем построить с помощью формулы (66) единственный многочлен значения разделенных разностей которого совпадают с теми же разделенными разностями Если же имеет в наименьшей замкнутой выпуклой области содержащей все точки и ограниченную производную, то остаточный член имеет вид

где и внешние интегралы в правой части равенства имеют ранее установленный смысл.

Доказательство. Заметим прежде всего, что два многочлена степени не выше имеющие одинаковые разделенные разности должны совпадать тождественно. Действительно, их разность, которую мы предположим отличной от нуля, будет многочленом степени имеющим соответствующие разделенных разностей, равных нулю. Возьмем разделенную разность этого многочлена. Она по условию должна быть равна нулю С другой стороны, как мы знаем, она равна где — коэффициент при старшей степени этого многочлена. Итак, степень нашего многочлена меньше и мы пришли к противоречию.

Наше основное представление (68) было доказано при предположении ограниченности в области Допустим теперь, что мы не делаем никаких предположений об аналитическом характере в и считаем только, что она сама и, в случае совпадений точек с одинаковыми вторыми индексами, ее производные

в нужном числе определены в этих точках Тогдо можно по формуле Эрмита построить многочлен степени не выше совпадающий ее производными, если совпадают в точках

Для этого многочлена представление (68) справедливо, так как его производная безусловно ограничена в Но коэффициенты зависят только от другими словами, от значений

Соответствующие разделенные разности, как мы ранее доказали, совпадают. С другой стороны, они совпадают по построению Этим наша теорема полностью доказана.

Рассмотрим частные случаи общей задачи. Пусть

Тогда мы будем иметь простейшую интерполяционную задачу об Определении по ее значениям в точках и в этом случае, хотя бы в силу единственности,

и

другими словами, мы получаем интерполяционный многочлен в форме отрезка интерполяционного ряда Ньютона.

Пусть теперь

- Воспользовавшись представлением (65) многочлена и принимая во внимание, что в этом случае и тем самым С — постоянные, мы получаем, что

откуда следует, что

Мы получили решение задачи о построении многочлена степени не выше которого заданы значения последовательных

производных в точках другими словами,

Этот многочлен есть отрезок обобщенного интерполяционного ряда Абеля — Гончарова.

В частности, когда мы можем найти более простое выражение для Вычислим в этом случае интеграл

Делая последовательно замену переменных и полагая мы получаем соотношение

Положив мы получаем, интегрируя, что

Так как то мы нашли, пользуясь методом полной индукции, вид . В этом случае

Подобный ряд, распространенный от нуля до бесконечности, носит название интерполяционного ряда Абеля. Исследованием сходимости этого ряда при известных предположениях относительно аналитического поведения мы займемся позднее.