Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 5. Интерполяционный процесс при треугольной таблице1. Постановка задачи и основные формулы.В этом параграф мы займемся решением одной общей интерполяционной задачи Эта задача заключается в следующем. Дана треугольная таблица произвольных чисел, конечная ил, бесконечная:
определяющая последовательность разделенных, разноспи Построить многочлен разностям Для доказательства того, что
мы будем делать те или иные предположения об аналитическом характере Введем обозначения:
и
где Тогда, как мы уже видели, точка С не выходит за пределы области
Производя интегрирование
Заметим, что
и что (см. стр. 42)
Положим теперь
Продифференцируем
Отсюда следует, что После этих замечаний мы можем записать соотношение (62) в виде
Из этого соотношения, верного при любом
или
где
так как интеграл от Теорема. Если задана треугольная таблица узлов интерполяции
и функция имеет конечные значения в этих точках (причем если совпадают
где Доказательство. Заметим прежде всего, что два многочлена степени не выше Наше основное представление (68) было доказано при предположении ограниченности в нужном числе определены в этих точках Для этого многочлена представление (68) справедливо, так как его Соответствующие разделенные разности, как мы ранее доказали, Рассмотрим частные случаи общей задачи. Пусть
Тогда мы будем иметь простейшую интерполяционную задачу об Определении
и
другими словами, мы получаем интерполяционный многочлен в форме отрезка интерполяционного ряда Ньютона. Пусть теперь
- Воспользовавшись представлением (65) многочлена
откуда следует, что
Мы получили решение задачи о построении многочлена степени не выше производных в точках
Этот многочлен В частности, когда
Делая последовательно замену переменных и полагая
Положив
Так как
Подобный ряд, распространенный от нуля до бесконечности, носит название интерполяционного ряда Абеля. Исследованием сходимости этого ряда при известных предположениях относительно аналитического поведения
|
1 |
Оглавление
|