3. Разложение аналитических функций в ряд Ньютона.

Ряд Ньютона с коэффициентами, отличными от нуля, в отличие от ряда Тэйлора может представлять в полуплоскости своей сходимости функцию, тождественно равную нулю. Для исследования этого обстоятельства займемся вопросом единственности определения аналитической функции, регулярной в полуплоскости по ее значениям при целых положительных значениях аргумента, т. е. в точках .

Мы докажем теорему, дающую в известном смысле необходимые и достаточные условия, при которых аналитическая функция, регулярная в некоторой полуплоскости, может быть единственным образом определена по ее значениям в точках, образующих арифметическую прогрессию. Эта теорема представляет достаточно большой интерес также и с функциональной точки зрения.

Теорема VII. Если функция регулярная в полуплоскости непрерывная на мнимой оси и удовлетворяющая в этой полуплоскости неравенству

где — любая действительная и непрерывная на сегменте функция, обращается в нуль при всех целых и положительных значениях аргумента, т. е. то она должна быть тождественно равна нулю.

Доказательство. Допустим, что существует функция удовлетворяющая всем условиям нашей теоремы и не обращающаяся в нуль тождественно. Рассмотрим тогда функцию

Эта функция, рассматриваемая как функция комплексного переменного будет регулярна в полуплоскости и непрерывна на прямой так как нули числителя и знаменателя будут совпадать, причем знаменатель имеет однократные нули только в целых рациональных точках. По теореме Коши, считая х действительным числом, имеем

где С — замкнутый контур, состоящий из отрезка мнимой оси и полуокружности причем где сколь угодно большое целое положительное число. Положим Тогда подынтегральная функция при действительном и будет на мнимой оси удовлетворять неравенству

где не зависит от так как при имеем а на полуокружности - неравенству

где также от и не зависит, так как при

Вследствие того что — непрерывная функция на сегменте и можно найти такое число что и что при всяком будет выполнено неравенство Положив и считая, что — действительное число, мы Сразу увидим, что неравенство (93) перейдет в неравенство

так как на интервале мы будем иметь а на двух сегментах аналогичным образом

Из этого последнего неравенства непосредственно следует, что часть интеграла (91), взятая по дуге стремится к нулю, если стремится к бесконечности. Поэтому, устремляя к бесконечности, мы получим из соотношения (91), что

Интеграл, стоящий в левой части (94), сходится абсолютно при всяком комплексном и, лежащем в плоскости комплексного переменного и в полосе — Это следует из неравенства (92). Значит, левая часть соотношения (94), рассматриваемая как функция и, есть регулярная аналитическая функция и и в полосе Правая же часть соотношения (94) есть целая функция . Поэтому равенство (94), установленное нами до сих пор только для действительных должно быть справедливо по теореме единственности аналитических функций и для всякого и в полосе — и .

Считая теперь и действительным и положительным, мы получим из равенства (94) неравенство

Так как это неравенство имеет место при всяком сколь угодно большом положительном и, а интеграл в правой части от и не зависит, то отсюда следует, что Мы таким образом доказали, что при всяком действительном и положительном х. Отсюда следует, что регулярная в правой полуплоскости функция должна быть равна нулю тождественно.

Перейдем теперь к вопросу существования рядов Ньютона с коэффициентами, отличными от нуля, сходящихся в некоторой полуплоскости и представляющих в этой полуплоскости тождественно равную нулю функцию.

Рассмотрим ряд Ньютона

Абсциссы его сходимости X и определяются по теоремам IV и V, и мы получаем, что Из теоремы IV следует, что регулярна в полуплоскости и рост ее в этой

полуплоскости определяется неравенством при всяком как угодно малом Но при всяком целом положительном

а значит, по теореме VII должна быть тождественно равна нулю.

Совершенно так же ряд при целом и положительном

имеющий абсциссами сходимости числа и представляющий поэтому в полуплоскости регулярную функцию, представляет в этой полуплоскости тождественно равную нулю функцию.

Если мы захотим выяснить, какова должна быть в самом общем случае структура ряда Ньютона, представляющего тождественно равную нулю функцию, то мы придем к теореме: Теорема VIII. Если ряд Ньютона

сходящийся в полуплоскости представляет в этой полуплоскости тождественно равную нулю функцию, то X должно быть целым положительным числом, а сам ряд Ньютона может быть представлен в виде

где — произвольные постоянные.

Доказательство. Обозначим через максимальное целое число, не большее X. Тогда . В силу тождественного равенства нулю нашей функции мы получим, что

Пользуясь обозначениями конечных разностей, имеем

и, обратно,

Поэтому из формулы (98) мы можем получить, что

так как

Числа можно считать произвольными постоянными ввиду того, что функция налево от абсциссы сходимости не определена, и мы получим формулу (97), вставив вместо коэффициентов ряда Ньютона (96) их выражения из равенства (99). Из этого равенства следует также, что X должно быть целым числом, а также и что так как при , значит,

Существование подобных разложений, носящих название нулевых разложений, на первый взгляд затрудняет определение абсциссы сходимости ряда Ньютона, представляющего данную функцию так как эта функция может иметь бесчисленное множество различных представлений ее рядом Ньютона. Но если регулярна в полуплоскости а абсцисса сходимости ряда Ньютона, представляющего эту функцию, будет то при или X, не равном целому положительному числу, мы никаким образом не можем изменить эту абсциссу сходимости вычитанием из членов данного ряда членов ряда нулевого разложения, так как ряд, являющийся нулевым разложением, имеет целочисленную и притом положительную абсциссу сходимости. Если же то мы можем заранее допустить, что

для всякого целочисленного при котором функция будет регулярна. Такие ряды мы будем называть приведенными рядами Ньютона. Конечно, коэффициенты разложения функции в приведенный ряд Ньютона будут не всегда однозначно определены, так как к этому приведенному разложению может быть можно будет прибавить нулевые разложения, имеющие абсциссами сходимости числа такие, что в точке не имеет определенного значения.

Так как понятия приведенного разложения естественно вводить для случая то абсцисса сходимости X в подобном случае определяется равенством

Но благодаря нашим условиям, накладываемым на приведенное разложение, мы будем иметь по теореме VIII относительно нулевых разложений

где есть максимальное целое число, не большее а (а — абсцисса регулярности функции), есть коэффициенты нулевого разложения [см. равенство (97)].

Так как

то

где положено

Итак, в случае абсцисса сходимости приведенного ряда Ньютона определяется равенством (100) однозначно. Эта формула справедлива, как легко проверить, и в случае

Докажем теорему, дающую условия разложения аналитической функции в ряд Ньютона.

Теорема IX. Пусть регулярна в полуплоскости непрерывна на прямой и в этой полуплоскссти

удовлетворяет неравенству

где стремится к нулю при стремящемся к бесконечности равномерно на всем сегменте изменения Тогда может быть разложена в ряд Ньютона

абсцисса сходимости которого не может превышать наибольшего из чисел .

Доказательство. Для упрощения допустим, что а не есть целое число. Если бы а было целым числом, то его можно было бы заменить числом где как угодно мало, и, так как оценка роста даваемая неравенством (101), оставалась бы верной при замене а на то можно было бы доказать, что X не превышает чисел так как это верно при всяком то верно и при

Воспользовавшись тождеством

мы можем умножить его на , предполагая, что проинтегрировать обе части полученного равенства по любому замкнутому пути лежащему в полуплоскости и содержащему внутри себя точку и все целые и положительные числа, большие а и меньшие или равные Тогда мы получим

где

Для тех значений для которых ряд Ньютона (102) будет сходящимся. Поэтому, если мы установим, что для некоторого ряд (102) сходится, то его абсцисса сходимости X не может быть больше, чем действительная часть этого числа

Положим и заменим в выражении под знаком интеграла х на Тогда мы будем иметь, что

или, воспользовавшись функциональным уравнением

где — замкнутый контур, лежащий в полуплоскости и содержащий внутри себя точки и — наименьшее целое число, большее а.

При заданном мы можем взять в качестве контура окружность так как при достаточно большом все нужные нам точки попадут внутрь этой окружности.

Пусть Тогда уравнение контура можно записать в виде или также Оценим величину

при фиксированном, неограниченно растущем, пользуясь формулой Стирлинга для Мы будем иметь

где не зависит ни от ни от х.

Мы легко можем получить оценки всех величин, стоящих в числителе и знаменателе неравенства (104), причем величины

которые будут входить в неравенства (105) — (108), не будут зависеть ни от ни от х. Прежде всего имеем

Далее, так как

Наконец, мы получим

откуда, полагая

Вставляя оценки (105), (106) и (108) в неравенство (104), мы получим

Возвратимся к Благодаря неравенствам (101) и (109) и формуле (103) придем к оценке

или, так как

для всякого сколь угодно малого большего нуля, где зависит только от .

Но интеграл в правой части (110) (так как подынтегральная функция — четная) после замены на равен

где не зависит от так как

и

Из неравенств (110) и (111) получим окончательно, что

откуда следует, что при Так как можно было взять сколь угодно малым, то мы можем утверждать, что и при

Теорема IX может быть непосредственно использована для доказательства одного теоретико-числового предложения.

Теорема X. Если функция регулярна в полуплоскости удовлетворяет в этой полуплоскости неравенству

где и целочисленна при — целые числа при всех целых то она должна быть многочленом.

Доказательство. Рассмотрим функцию и Эта функция регулярна в полуплоскости в этой полуплоскости она удовлетворяет неравенству

где

По теореме IX функция и может быть разложена в ряд Ньютона (57), абсцисса сходимости которого не может быть больше максимального из чисел

Итак, абсцисса сходимости ряд» Ньютона (57), представляющего нашу функцию и должна быть отрицательна. Значит, ряд Ньютона для функции и должен сходиться при т. е. ряд должен бцть сходящимся. Но мы знаем, что откуда следует, что все должны быть целыми числами, так как по условию нашей теоремы числа целые рациональные. Поэтому ряд раз он сходится, должен обрываться, т. е. при и

т. е. функция — многочлен.

Так функция будет четной, растущей на сегменте и принимающей при свое минимальное значение а при — максимальное значение взяв произвольную функцию регулярную в правой полуплоскости и удовлетворяющую

там неравенству

где непрерывна на сегменте и умножив ее мы можем по теореме IX при действительном и достаточно большом и разложить функцию в ряд Ньютона (57), так как при достаточно большом и будет выполнено неравенство

Но коэффициенты ряда Ньютона (57) для функции должны иметь вид

Коэффициенты эти, так как и — известное постоянное число, будут зависеть только от значений функции в точках и значит, с помощью ряда Ньютона (57) мы получили решение задачи о представлении аналитической функции, регулярной в полуплоскости по ее значениям в точках если в этой полуплоскости рост рассматриваемой функции ограничен неравенством (114). Эта задача, задача представления функции по ее значениям в точках, образующих арифметическую прогрессию, решается с помощью ряда Ньютона при слишком узких предположениях относительно роста аналитической функции в полуплоскости ее регулярности. В самом деле, ограничения (114), накладываемые на рост функции достаточные, а в силу теоремы VI и необходимые, для разложимости функции в ряд Ньютона, значительно жестче ограничений, накладываемых на рост теоремой VII. Но при выполнении условий теоремы VII задача о нахождении целой функции по ее значениям в целых точках решается единственным образом при любых ограничениях, достаточных для единственности функции, хотя ряд Ньютона может и не давать нам этого решения.

Мы вернемся к этой задаче в дальнейшем и дадим ее решение при ограничениях теоремы VII.