ГЛАВА IV. СУММИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ. ЧИСЛА И МНОГОЧЛЕНЫ БЕРНУЛЛИ

§ 1. Постановка задачи. Случаи элементарного суммирования

1. Связь между задачами суммирования и нахождения функции по заданной разности.

Эта глава посвящена одной важной задаче теории конечных разностей — задаче суммирования функций. Задача эта ставится так.

Нам дана некоторая функция Наити в конечном виде, точно или приближенно, сумму

при фиксированных и и большом если известны некоторые аналитические свойства

Трудность этой задачи состоит не в том, чтобы найти значение этой суммы при каждом фиксированном а в том, чтобы исследовать ее поведение как функции от при неограниченно растущих, как часто говорят, исследовать асимптотическое поведение

В дальнейшем мы для удобства всегда будем считать Это, естественно, не повлияет на общность наших рассуждений, так как, положив мы получим, что

Итак, наша задача, грубо говоря, состоит в нахождении суммы

как функции от . Мы сейчас покажем, что эта задача может быть сведена к такой задаче: дана функция найти функцию такую, что (В формулировке этой задачи выражение «найти» можно понимать, конечно, по-разному, и это может привести нас к другим интересным задачам, но для применения к задаче суммирования «найти» следует понимать

в том же смысле, в каком мы говорили о «нахождении» как функции

Действительно, пусть мы нашли такую, что [по-прежнему равно тогда

Складывая эти равенства, получим

а это и есть решение нашей задачи о суммировании функции

Полной эквивалентности этих задач нет, так как определена лишь для целых значений но если мы умеем найти не только а и сумму

при любом х, то мы можем найти и . В самом деле, тогда мы можем определить следующим образом: при Найдем

т. e. , определенная таким образом, будет решением уравнения

Можно провести далеко идущую аналогию между этими задачами теории конечных разностей и интегральным исчислением. Если считать, что операция взятия конечной разности соответствует взятию производной, то решение уравнения как операция, обратная взятию конечной разности, соответствует нахождению первообразной, т. е. неопределенному интегрированию, а задача суммирования функции соответствует задаче нахождения определенного интеграла. Формула (1) есть прямой аналог формулы Ньютона — Лейбница, выражающей связь между первообразной и определенным интегралом. Как в интегральном исчислении неопределенное интегрирование служит лишь средством для нахождения определенного интеграла, так и в теории конечных разностей (по крайней мере в тех задачах, о которых мы сейчас говорим) отыскание функции по заданной разности является лишь средством для решения задачи о суммировании функции. (Речь идет, конечно, о роли этих задач в приложениях; с точки зрения теории оба вида задач совершенно равноправны.)

2. Случаи элементарного суммирования.

Если функция является какой-то комбинацией элементарных функций, то можно по аналогии с интегральным исчислением пытаться привести задачу суммирования функции к суммированию, так сказать, «табличных функций», т. е. к суммированию функций, суммы для которых нам известны. В интегральном исчислении для этой цели служат табличные интегралы, т. е. таблица интегралов от простейших элементарных функций, и огромное количество всяких приемов. Мы продемонстрируем этот метод на небольшом числе примеров, так как метод элементарного суммирования в теории конечных разностей играет значительно меньшую роль, чем в интегральном исчислении, как из-за меньшей применимости, так и из-за другого характера задач.

Из определения конечной разности мы с помощью несложных вычислений легко получим формулы:

Обращая эти формулы, легко получаем формулы:

Таких формул можно было бы привести очень много, но уже из приведенных видно, что формулы суммирования являются более громоздкими и менее удобными в обращении, чем формулы интегрального исчисления. Так, например, формула суммирования Обычной степени, которую мы получим несколько ниже, имеет уже очень громоздкий вид.

Большую роль в теории конечных разностей играет известная нам обобщенная степень целое). Для обобщенной степени формулы суммирования выглядят очень просто. Как мы уже знаем,

поэтому

Аналогично можно определить обобщенные отрицательные степени — целое положительное число):

Найдем

Отсюда получим соответствующую формулу

Из приемов элементарного суммирования отметим только преобразование Абеля — аналог интегрирования по частям. Преобразованием Абеля называется тождество

Для доказательства этого тождества заметим, что

или

Суммируя от до получаем (7).

С помощью преобразования Абеля можно просуммировать, например, функцию Положим и тогда До поэтому

Пока мы действовали по аналогии с интегральным исчислением, но эта аналогия прекращается, как только мы сталкиваемся со случаем, когда среди элементарных функций нельзя найти такую функцию чтобы Такие случаи встречаются уже для самых простых функций Например, уравнения не имеют решения среди элементарных функций. Специфика задачи суммирования функций не позволяет нам в таких случаях пойти по пути интегрального исчисления, т. е. составить с помощью приближенных вычислений таблицу значений такой функции и пользоваться ею по мере надобности. Задача суммирования требует знания поведения суммы как функции от числа слагаемых, когда оно неограниченно возрастает, а такого знания таблица значений дать не может. Решением этой «неэлементарной» задачи суммирования мы и займемся в дальнейшем.

Мы уже видели, что задача о суммировании функции решается легко, если найдено решение уравнения Поэтому мы в дальнейшем будем заниматься решением уравнения

причем, хотя решение задачи о суммировании будет нашей основной целью, мы будем иногда говорить и о других возможных постановках задачи о решении уравнения

3. Общие замечания о решении уравнения ...

Сейчас мы несколько отвлечемся от того, что решение уравнения нам нужно лишь для решения задачи о суммировании функции и выясним следующие вопросы.

1. Всегда ли уравнение имеет хотя бы одно решение, если — непрерывная функция.

2. Какова степень неопределенности решения уравнения Первый вопрос уже был решен нами в положительном смысле настоящего параграфа. Там мы показали, что функция при где

является решением уравнения Очевидно, что если непрерывна, то и определенная таким образом, также непрерывна в любой нецелой точке.

Для решения второго вопроса предположим, что у нас есть два решения: Положим Тогда получим

отсюда

— периодическая функция с периодом, равным единице. Итак, если мы имеем два решения уравнения то они могут отличаться лишь на периодическую функцию с периодом, равным единице.

С другой стороны, если решение уравнения то функция где любая периодическая функция, с периодом единица, также будет решением уравнения так

Из этих двух замечаний мы можем сделать вывод: общее решение уравнения можно представить в виде где какое-нибудь решение нашего уравнения, а произвольная периодическая функция с периодом, равным единице.

Для того чтобы из всех решений уравнения выделить какое-нибудь одно, очевидно, нужно задать его значения на целом интервале длиной единица.

Такая задача, конечно, большого интереса не представляет. Выделять из всех решений одно можно и другими способами. Например, можно искать монотонное или выпуклое решение или решение, стремящееся к нулю при Обычно, накладывая такие условия, мы находим решение или единственное, или с точностью до произвольной постоянной. Из задач такого рода мы немного остановимся лишь на одной. Эта задача состоит в следующем: — многочлен; найти многочлен удовлетворяющий уравнению В § 7 главы V мы столкнемся с обобщением этой задачи. Там мы будем предполагать не многочленом, а целой аналитической функцией, да и уравнения будут иметь более сложный вид.

4. Решение уравнения ... для случая, когда ... — многочлен.

Целью этого пункта является подробное исследование решения задачи, состоящей в следующем: дан многочлен найти многочлен такой, что

Эта задача имеет и самостоятельный интерес, но, кроме того, мы на ее примере постараемся найти те пути, которые позволили бы нам подойти к решению задачи о суммировании функций.

Как нетрудно видеть, многоч решающий поставленную задачу, может быть определен с точностью до произвольной постоянной. В самом деле, если — два многочлена, удовлетворяющих условию то их разность — также многочлен и удовлетворяет условию Рассмотрим Имеем

следовательно, т. е.

Мы дадим три способа решения поставленной задачи.

I способ. Разложим в ряд по обобщенным степеням. По формуле Ньютона (см. главу I, § 3)

Оператор — линейный, т. е.

Поэтому, если — решение уравнения то решением уравнения

будет функция

Но мы знаем, что многочлен является решением уравнения

Отсюда многочлен, удовлетворяющий уравнению может быть записан в виде

Это решение, несмотря на его внешнюю простоту, не очень удобно, так как нахождение чисел требует довольно больших вычислений, причем для каждого эти вычисления приходится проделывать заново.

Для обобщения на классы функций, более широкие, чем многочлены, этот способ мало пригоден, так как мы знаем (см. главу II),

что ряд Ньютона сходится лишь для целых аналитических функций с сильными ограничениями на рост, причем даже в случае сходимости ряда Ньютона он не может быть использован для исследования поведения представляемой им функции при больших х, так как, где бы мы его ни оборвали, следующий член будет иметь при более высокий порядок, чем все предыдущие.

Перейдем ко второму способу, который хотя бы в одном отношении будет более удобен.

II способ. Пусть Пользуясь первым способом, мы можем для любого найти многочлен удовлетворяющий условиям

Такой многочлен определяется единственным образом. В силу линейности задачи многочлен удовлетворяющий уравнению можно записать в виде

Второй способ несколько лучше первого тем, что многочлены подсчитываются раз навсегда. Кроме того, мы увидим дальше, что соответствующий ряд сходится для целых функций несколько более широкого класса. Что же касается последнего недостатка, то второму способу он присущ в той же степени, что и лервому.

Естественно, что многочлены, получающиеся в первом и во втором способах, одинаковы и отличаются лишь иной группировкой слагаемых. Третий способ, конечно, тоже не дает в этом смысле ничего нового, но мы сгруппируем слагаемые так, чтобы самую высокую степень имел первый, а не последний многочлен.

III способ. Рассмотрим функцию Эта функция относительно целая функция, а относительно может иметь особенности. в точках так как в этих точках знаменатель обращается в нуль. Легко убедиться, что точка регулярная точка для .

Разложим эту функцию в ряд по степеням

Посмотрим, что представляют собой функции Напишем

Согласно правилу о коэффициентах степенного ряда, являющегося произведением двух степенных рядов, получим, что

или

Найдем Для этой цели рассмотрим выражение

С другой стороны,

Сопоставляя (15) и (16), получим

Сравнивая коэффициенты при придем к соотношению

Это соотношение показывает, что — многочлен, удовлетворяющий условиям

где определяются разложением (12).

Многочлены называются многочленами Бернулли, а числа — числами Бернулли. Функцию мы будем называть производящей функцией многочленов Бернулли, а функцию — производящей функцией чисел Бернулли. Метод изучения, свойств чисел или многочленов посредством изучения свойств соответствующей производящей функции имеет большое значение во многих областях анализа.

Вернемся к решению нашей задачи. Согласно второму способу, если многочлен удовлетворяющий уравнению можно записать в виде

Подставляя вместо его выражение из (14), получим

Соберем члены с одинаковыми

Но

Сравнивая (20) и (21), придем к новому выражению для

Выражение (22) избавлено от того недостатка, которым страдали выражения (8) и (10), поэтому в дальнейшем мы будем искать решение задачи о суммировании в обобщении формулы (22) на случай произвольной функции Для этого нам потребуется хорошо изучить свойства чисел и многочленов Бернулли. Этим мы и займемся в следующем параграфе, а сейчас удовлетворимся тем, что напишем формулу суммирования функции

Мы уже знаем, что Поэтому в силу соотношения (1)

Подставляя выражение из (14), получим

В следующем параграфе мы займемся изучением чисел и многочленов Бернулли, причем результаты, которые мы получим, представляют интерес независимо от задачи о суммировании.