2. Свойства функций, представляемых рядом Ньютона.

Мы уже знаем, что функция представленная рядом Ньютона

с абсциссой сходимости X будет правильной в правой полуплоскости

Докажем теорему, дающую рост этой функции в полуплоскости

Теорема VI. Пусть а — действительное число, Тогда функция

регулярная в полуплоскости где X есть абсцисса сходимости ряда Ньютона, представляющего в этой полуплоскости функцию будет удовлетворять неравенству

где

Доказательство. Приведем с помощью преобразования Абеля ряд (79) к виду

если ряд расходится, и к виду

если ряд сходится.

В обоих случаях мы будем иметь по теореме IV

что даст нам неравенство

Благодаря этому неравенству мы можем оценить члены ряда (79) и написать неравенство

Из этого неравенства следует далее, что удовлетворяет неравенству

или в окончательной форме неравенству

где от и не зависит и — сколь угодно малое положительное число.

Найдем теперь максимум, стоящий в правой части неравенства (82).

Так как простой заменой можно перейти от абсциссы сходимости X к абсциссе сходимости 0, именно положив и записав соотношение

так как [см. § 1, (3)],

, а произведение, как нетрудно видеть, будет сходящимся и ограниченным при больших то мы будем для простоты вычислений в дальнейшем рассматривать случай и при этом предположении искать максимум (82). Положим где и произвольно, а . Введем также обозначение

Рассмотрим величину характеризующую изменение при переходе от

В зависимости от того, будет ли эта величина больше или меньше единицы, будут соответственно справедливы неравенства или Для определения дающего максимум рассмотрим уравнение

Это уравнение есть уравнение окружности с центром в точке и радиуса Рассмотрим точки пересечения такой

окружности с прямой действительное число. Из уравнения окружности мы найдем, что откуда, делая простые вычисления, мы получаем соотношения

или, далее, так как

Отсюда следует, что

при Итак, мы можем утверждать, что наши окружности , не пересекаются в полуплоскости и разбивают полуплоскость на ряд областей границами которых будут окружности и прямая Если находится в области то по свойству уравнения окружности

Эти неравенства показывают, что для каждого в полуплоскости целое число дающее максимум однозначно определяется. Далее, отсюда следует, что корень уравнения (85), отличается от меньше чем на единицу:

Найдем оценку для величины корня уравнения (85). Это уравнение можно переписать в форме

или подробнее

откуда

Но значит, Отсюда прямо следует, что и

Далее, из этого выражения для следует, что

Это соотношение позволяет получить важное следствие. Именно:

откуда следует, что

Из уравнения (85) непосредственно следует также, что

Из соотношения (86) мы, логарифмируя, получим, что

Так как то будем считать в дальнейших вычислениях, что , кроме того, так как что Другими словами, . Для оценки величины воспользуемся представлением (83) и оценками [см. § 1 формула (18)].

Мы получим тогда

Перегруппируя члены в последней сумме и отделяя действительные части, мы получим, что

так как

Далее, продолжая вычисление, получим, что

Производя дальнейшие сокращения и применяя соотношения (87), (88) и (89), придем к результату

так как функция при ограничена.

Последнее неравенство, ограничивающее может теперь быть записано в форме

причем зависит только от и а при произвольно малом.

Это последнее неравенство и доказывает полностью нашу теорему.