3. Общее решение и линейная независимость частных решений.

Если характеристическое уравнение, кроме корня кратности имеет еще корни кратности выше единицы, то можно также указать функции вида (41) соответственно числу, выражающему кратность корня, которые являются решениями уравнения (32). Так, в случае кратных корней удается восстановить число решений до порядка уравнения. Остается только показать, что эти решения независимы. Тогда общее решение уравнения (32)

нам удастся найти и в случае, если среди корней характеристического уравнения встречаются кратные; всякому корню кратности будет соответствовать сумма вида

а общее решение составится из сумм подобного типа, причем в случае, если некоторый корень простой, соответствующее слагаемое будет, как и выше, вида

Итак, покажем, что найденные нами решения в случае кратных корней будут линейно независимы.

Положим, что характеристическое уравнение (34) имеет различных корней кратностей соответственно Очевидно, что

Тогда нам надо доказать невозможность соотношения

При отличных от нуля в совокупности.

Конечно, это обстоятельство можно было бы выяснить и из непосредственного рассмотрения определителя этой системы:

где

определяются из условий

здесь этот путь доказательства линейной независимости наших функций представляет некоторые технические трудности. Поэтому мы докажем линейную независимость наших функций другим путем.

Без нарушения общности можно предположить, что числа расположены в порядке убывания модулей, т. е.

а числа, равные по модулю, расположены в порядке убывания их кратностей, иначе говоря, если

то

Допустим теперь, что в соотношении (42) все отличны от нуля. Если бы в соотношении (42), которое мы предполагаем выполняющимся, некоторые из были нулями, то от этого обстоятельства ни возможность расположения действительно присутствующих в соотношении функций в только что указанном порядке, ни все дальнейшие рассуждения не изменились бы. Поэтому также без нарушения общности рассуждения мы допускаем существование соотношения (42) при постоянных

Отсюда следует, что так как чисел — конечное число, то существуют два числа положительные и такие, что

Вернемся теперь к нашим частным решениям. Допустим, что

и что Тогда функции будут наиболее быстро растущими или медленно убывающими в ряде наших функций:

Выделив эти функции, мы можем для всякой другой функции, не принадлежащей к нашим функциям, установить при больших х неравенство

где — постоянная, так как или — или, если то

Соотношение (42) может быть переписано теперь в виде

где знак обозначает сумму, стоящую в левой части тождества (42) без выделенных нами функций наибольшего относительного роста. Так как то

и все числа должны быть между собой различны, так как различны между собой все числа

Разделив теперь обе части тождества (42) на и принимая во внимание ранее установленные неравенства, мы получим верное при неравенство

Рассмотрим теперь определитель

Вынося в первом столбце во втором , наконец, в мы получим

Но так как x — действительное число, то

и значит,

так как все различны между собой. Итак, не зависит от х и больше нуля. С другой стороны, по основному свойству определителей имеем равенство

где

Модули членов первого столбца этого определителя меньше, чем — при а модули всех остальных членов его равны единице. Разложив этот определитель по элементам первого столбца и пользуясь тем обстоятельством, что модуль определителя порядка если модули его элементов не превышают единицу, не может быть больше мы получим неравенство

Так как по предположению то отсюда непосредственно следует, что Но не зависит от х, значит, Мы получили противоречие, так как, с одной стороны, а с другой, Итак, мы доказали, что соотношение (42) невозможно. Важно отметить невозможность этого соотношения для всех значений х, а не только для х, пробегающего числа натурального ряда т. е. для х дискретно изменяющегося.