7. Плотность последовательности и показатель сходимости.

Пусть последовательность не убывающих по модулю чисел будет иметь точку накопления только в бесконечности, другими словами, пусть она удовлетворяет условиям

Введем функцию плотности характеризующую плотность этой последовательности на комплексной плоскости, определив как число точек попавших в круг Эта функция будет удовлетворять условиям

Это определение показывает, что есть кусочно-постоянная монотонно неубывающая функция

Выделим особо последовательности конечной верхней или нижней плотности, определив верхнюю плотность и нижнюю плотность предельными соотношениями

Если при этом то мы будем говорить, что последовательность имеет плотность у.

Далее, пусть последовательность имеет плотность Определим по аналогии с типом целой функции конечного порядка верхний и нижний типы последовательности соответственно и как пределы

и в случае будем говорить, что последовательность имеет конечную плотность и тип .

Для последовательности чисел функция будет иметь вид

где знак означает, что мы берем целую часть числа в этих скобках. Эта последовательность будет иметь плотность — и тип . Совокупность всех целых чисел, находящихся в интервалах является последовательностью плоности с верхним типом у и нижним типом у, так как для этой последовательности

Возьмем теперь совокупность всех целых чисел, лежащих в интервалах Эта последовательность будет иметь верхней плотностью единицу, а нижней — половину, как показывает простой подсчет.

Рассмотрим еще одну существенную характеристику последовательности, имеющей конечную верхнюю плотность, именно показатель сходимости последовательности. Определим показатель сходимости условиями для любого

Не для всех последовательностей существует показатель сходимости. Например, для последовательности

ряд с общим членом

расходится при любых (кстати, в таких случаях вводят другую характеристику). Дадим примеры последовательностей, имеющих показатель сходимости, причем его значение находится просто. Последовательность с общим членом имеет показатель сходимости потому что ряд

при сходится, а ряд

(также при члены которого больше соответствующих им членов гармонического ряда, расходится. Последовательность с общим членом

имеем показатель сходимости

Для последовательности, общий член которой

показатель сходимости будет, очевидно,

Докажем, что показатель сходимости равен — верхней плотности последовательности. Положим Тогда по определению функции мы будем иметь неравенства

где — первое отличное от нуля число в ряду Эти неравенства будут равенствами для бесчисленного множества именно для тех для которых Обозначим такие

буквами Для этих верно соотношение

Для остальных выполняются неравенства

Из этих неравенств непосредственно следует, что верхние пределы левой и правой частей равенства (51) достигаются по каким-то подпоследовательностям последовательности по которой сохраняется равенство (51). Из этого соображения уже непосредственно следует, что

Далее, по определению верхнего предела мы можем отсюда утверждать, что или что

при любом

Из этого неравенства уже следует, что

другими словами, что , так как произвольно,

Обратное неравенство также легко устанавливается. Из того, что — показатель сходимости, следует при что

или, логарифмируя обе части неравенства, получаем, что

Беря верхний предел в правой части этого неравенства при

мы получаем неравенство вследствие (52). Но так как произвольно, то отсюда уже следует, что Итак, мы доказали, что