2. Суммирование функций и уравнения в конечных разностях.
Обратимся к другим задачам теории конечных разностей. Очень важной задачей является задача суммирования функций, заключающаяся в следующем: функция 
задана для целых значений переменного х некоторым аналитическим выражением, найти в конечном виде точно или приближенно сумму
Многие частные случаи этой задачи хорошо известны в анализе. Действительно, формулы
есть ни что иное, как решение задачи суммирования для функций
Задача суммирования тесно связана с другой задачей — задачей решения уравнений в конечных разностях.
Прежде чем говорить о решении уравнений в конечных разностях, нам, конечно, необходимо ввести понятие конечной разности.
Пусть функция 
определена для всех значений х вида 
— некоторые фиксированные числа, 
— любое целое число). Мы можем образовать некоторый аналог производной 
Это выражение равно тангенсу угла наклона прямой, соединяющей точки 
.
Выражение 
мы будем обозначать 
и называть конечной разностью первого порядка функции 
в точке 
Конечные разности первого порядка могут служить для образования конечных разностей второго порядка и т. д.:
Задачу решения уравнения в конечных разностях можно поставить следующим образом:
Дано соотношение
найти функцию 
обращающую это уравнение в тождество.
Простейшим примером уравнения в конечных разностях может служить уравнение
где х может принимать значение 
Формально решением этого уравнения служит функция 
т. е. мы видим, что решение этого уравнения эквивалентно решению задачи о суммировании функции 
