4. Другой вид производящей функции бернуллиевых чисел.

Функция порождающая числа Бернулли

может быть записана в ином виде.

Замечая, что

получим

Натуральный логарифм

можно разложить на действительной оси по степеням функции Такое разложение будет справедливо, если т. е. если, например,

Написав это разложение и сокращая все члены разложения - на получим разложение производящей функции по степеням

Выделим в написанной сумме функцию соответствующую общему члену (номера и преобразуем ее, развертывая степень по правилу бинома:

Разлагаем функцию в ряд по степеням

Заменяя в последней формуле пблученным рядом, будем иметь

Расположим эту сумму по степеням Тогда функция определится следующим степенным разложением:

причем в написанной сумме согласно сделанному выше условию после суммирования по следует при суммировании по заменить член, в который будет входить при на

единицу; таким образом, сумма

при обращается в сумму знакопеременных коэффициентов бинома. Замечая, что к

окончательно получим

причем здесь член соответствующий значению индекса равен нулю (для потому что мы видели, что он должен соответствовать сумме

знакопеременных коэффициентов бинома, которая равна нулю. Это условие хорошо согласуется с понятием самой разности; действительно, символ мы должны рассматривать как конечная же разность от постоянного равна нулю. Итак, разложение

сраведливо для любого Мы можем считать, что то же разложение справедливо и при таком случае при и формула (38) обратится в тривиальное тождество Итак, при соответствующем обобщении понятия разности мы можем разложение (38) писать для любого На основании формулы (38) функцию можем представить в следующем виде:

Меняя порядок суммирования, что возможно при достаточно малом получим

В формуле (39) при изменении порядка суммирования изменение будет в пределах от 0 до так как при разность следовательно, и пропадет тождественно.

Сравнивая (39) со старым разложением для заключаем, что