ГЛАВА 3. ЗАМЕЩЕНИЯ В УСЛОВИЯХ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ

Сложность многих проблем принятия решений связана с наличием нескольких противоречивых целей. Часто не существует доминирующей альтернативы, которая лучше всех других альтернатив с точки зрения всех этих целей. Возможно, что некоторые из исходных альтернатив могут быть исключены из дальнейшего рассмотрения, так как они доминируются, но в общем случае просто невозможно максимизировать несколько целевых функций одновременно. Невозможно максимизировать прибыль и в то же время минимизировать издержки: нельзя максимизировать доход и минимизировать риск; невозможно разделить торт так, чтобы каждому ребенку дать наибольший кусок. В литературе постоянно встречаются риторические призывы, требующие удовлетворить «наилучшим образом» требования каждого человека, в каждом возможном отношении, в кратчайшее время, с наименьшими неудобствами и максимумом безопасности для всех. К сожалению, это не более, чем романтическая мечта!

3.1. МНОГОМЕРНЫЕ ФУНКЦИИ ЦЕННОСТИ

Нашей задачей является исследование возможности взаимной компенсации значений различных критериев или; иначе говоря, возможности «замещения по ценности». В этой главе мы увидим, что можно сделать, систематизированно структуризовав такие замещения.

По существу, принимающий решение постоянно сталкивается с вынужденной необходимостью замены одной цели достижением другой. Если анализируемая проблема не связана с неопределенностью, т. е. если нам заранее точно известны (пусть и многомерные) последствия каждой из рассматриваемых альтернатив, то существо вопроса состоит в следующем: «Сколько в степени достижения цели 1 принимающий решение согласен уступить для того, чтобы увеличить степень достижения цели 2 на некоторую фиксированную величину?». Когда в рассматриваемой проблеме

существенную роль «грает также и неопределенность, вопрос о замещениях остается, но трудности возрастают, так как не ясно, каковы будут последствия применения той или иной альтернативы.

Вопрос о замещении часто оказывается вопросом личной оценки, и в этих случаях требуется субъективное мнение лица, принимающего решение. Ответы на вопросы о возможности замещения не могут быть правильными или же неправильными, поскольку вполне естественно, что различные индивидуумы могут иметь совершенно разные структуры ценности. Если вопрос о замещении требует глубокого размышления (а мы считаем, что в сложных задачах часто так и бывает), то существуют две возможности для его разрешения: 1) принимающий решение может неформальным образом мысленно сопоставить рассматриваемые возможности замещения или 2) он может явным образом формализовать свою структуру ценностей и использовать ее для оценивания конкурирующих альтернатив. Разумеется, возможны ситуации, промежуточные между этими двумя крайними. В этой главе мы обсуждаем некоторые методы, специально разработанные для того, чтобы помочь лицу, принимающему решение, формализовать свою собственную структуру ценности. Эти методы дают определенную концентуальную основу, которая может быть им использована для количественного выражения своих предпочтений.

3.1.1. Постановка задачи. Обозначим через а допустимую альтернативу и через А множество всех допустимых альтернатив. Каждому действию а из А поставим в соответствие числовых показателей Мы можем считать, что показателей отображают каждое а из А в точку -мерного пространства исходов (последствий) действий, как показано на рис. 3.1.

Рис. 3.1. Отображение действий в последствия (исходы)

Мы часто говорим о некотором критерии , например, таком, как эстетическая привлекательность проекта, и о функции оценки X по этому критерию. Мы будем без оговорок использовать один и тот же символ X как для критерия, о котором идет речь, так и для функции оценки по этому критерию. Будет ясно, о чем мы говорим, а иногда просто удобно не делать различия между этими двумя понятиями.

В этой главе будем предполагать, что для описания исходов (последствий) действий используется критериев. Но, конечно,

мы должны помнить, что на практике предварительно нужно выделить и сформулировать эти критерии. Для решения этой задачи могут оказаться полезными идеи, изложенные в гл. 2.

Заметим, что во всякой точке пространства последствий мы не можем непосредственно сравнивать величины при ибо в большинстве случаев это было бы просто бессмысленно, поскольку критерии могут измеряться в совершенно равных единицах.

Грубо говоря, задача лица, принимающего решение, состоит в таком выборе а из А, чтобы получить в наибольшей мере устраивающий его «результат» Поэтому нам нужна такая функция оценки, которая сводила бы совокупность в скалярный показатель предпочтительности или «ценности». В другой формулировке это равносильно заданию скалярной функции определенной в пространстве последствий и обладающей свойством:

где символ означает «не менее предпочтителен, чем». Мы будем называть функцию функцией ценности. Эта функция в литературе носит много других названий — порядковая функция полезности, функция предпочтения, функция оценки или функция полезности. При заданной функции задача лица, принимающего решение, сводится к выбору такого а в А, которое максимизирует Функция ценности служит для косвенного сопоставления важности тех или иных значений различных критериев (через воздействие величин на ).

3.1.2. Построение и содержание главы. Наша главная цель — показать каким образом можно установить структуру и построить функцию ценности Было бы прекрасно, если бы нам удалось найти некоторую функцию (назовем ее такого простого вида как

где одномерная функция ценности значений одного отдельно взятого критерия

Иногда функция в этой главе строится именно в таком виде. Однако, прежде чем глубже вникнуть в эту проблему, мы вначале обсудим некоторые понятия, которые не требуют полной формализации структуры предпочтений. В некоторых случаях это может дать нам информацию, достаточную для получения достойного доверия решения. Затем мы рассмотрим структуру функции ценности для двух, трех и более чем трех критериев в указанном порядке. Это будет сопровождаться подробными примерами построения многомерной (многокритериальной) функции ценности.

Многое этой главе по сути дела носит объяснительный характер. Многие обсуждаемые понятия и результаты принадлежат Дебре (1960), Горману (1968а, 19686), Крантцу и др. (1971), Леонтьеву (1947а, 19476), Льюсу и Тьюки (1964), Прузану и

Джексону (1963) и Тингу (1971). Каждый важный результат нашего рассмотрения будет представляться (для облегчения ссылок) в виде теоремы, но во многих случаях формальные доказательства будут опускаться, так как с ними можно ознакомиться по оригинальным работам. Мы будем стараться, однако, вскрыть идеи этих теорем при помощи некоторых «неформальных доказательств». За это мы будем платить, в частности, тем, что в этих неформальных доказательствах не будем, как правило, указывать обычные предположения, такие, как непрерывность, дифференцируемость, существенность и разрешимость, которые часто используются в формальных доказательствах. По существу, мы указываем только на то, что действительно необходимо для нашей работы для выяснения смысла, и останавливаемся только на простых, непатологических случаях. Затем, когда наше описание перестает быть только «объяснительным», мы становимся несколько более формальными и аккуратными.

Параграф 3.9 является кратким путеводителем по литературе, посвященной многомерным (многокритериальным) функциям ценности.

Эта глава посвящена случаю принятия решений в условиях определенности, когда каждой альтернативе ставится в соответствие известный исход (последствие) в «-мерном пространстве. В следующих главах мы рассмотрим вероятностный случай, когда «результат» в пространстве исходов известен лишь в вероятностном смысле. Методология, развитая для случая определенности, будет полезна также для вероятностного случая.