3.6. СЛУЧАЙ БОЛЕЕ ТРЕХ КРИТЕРИЕВ

Пусть оценочные функции, отображающие всякое действие а в точку в -мерном пространстве последствий. Мы, как и ранее, будем предполагать, что отношение транзитивно и что для всяких двух точек х и х" пространства последствий справедливо или

если справедливо и то, и другое, то мы говорим, что а если неверно, то мы говорим, что

В дальнейшем при рассмотрении точки х мы будем выделять определенное подмножество критериев и дополнение этого подмножества. Например, если то мы могли бы разбить х на два подвектора Если мы положим

то сможем представить х в виде пары где у охватывает критерии критерии В общем случае мы будем говорить о

где у представляет собой компоненты х с индексами из заранее указанного подмножества множества индексов компоненты х с индексами из дополнения этого подмножества.

Не теряя в общности, мы всегда можем так переставить индексы, чтобы у представлял компоненты х с первыми индексами, компоненты х с оставшимися из индексов:

Естественным образом обобщая это соотношение, мы будем говорить о разбиении критериев на два подмножества:

Определение. Мы будем говорить, что у условно не менее предпочтителен, чем у", при фиксированном тогда и только тогда, когда

Таким образом, мы можем говорить о структуре условного предпочтения по критериям У при фиксированном значении z дополняющих критериев.

3.6.1. Независимость по предпочтению. Определение. Множество критериев У независимо по предпочтению от дополняющего его множества Z тогда и только тогда, когда структура условного предпочтения в пространстве у при фиксированном z не зависит от Более формально, У не зависит по предпочтению от Z в том и только в том случае, если для некоторого z

Например, может быть несколько критериев, характеризующих прибыль, и несколько критериев, характеризующих издержки, и может случиться (хотя и не обязательно должно быть!), что условные предпочтения для различных уровней прибыли могут не зависеть от конкретных значений издержек. Если вектор прибыли у считается лучшим по сравнению с вектором прибыли у" при издержках то тоже самое может иметь место при любых Других издержках В этом случае мы могли бы кратко сказать, что «прибыль независима по предпочтению от издержек».

Если лицо, принимающее решение, считает, что множество критериев У не зависит по предпочтению от дополняющего множества критериев то ему можно рекомендовать приложить усилия для структуризации своих предпочтений по у при фиксированном поскольку не нужно будет повторять эту работу для других уровней В этом случае имеет смысл построить функцию ценности определенную для не конкретизируя В частности, для того чтобы была подходящей функцией, она должна удовлетворять такому условию:

Если У не зависит по предпочтению от то мы будем писать имея в виду, что это равносильно Для всякого Аналогично будет означать, что .

Если У не зависит по предпочтению от то отсюда не следует, что Z не зависит по предпочтению от У. Однако справедливо следующее утверждение.

Теорема 3.5. Если У не зависит по предпочтению от то

для всякого

Доказательство. Вывод получается из следующей цепочки отношений, вытекающих из сделанных предположений о независимости по предпочтению:

Приведенная выше теорема говорит о том, что если У не зависит по предпочтению от то структура условного предпочтения в пространстве Z при фиксированном у связана с у только через поверхности безразличия. Кроме того, когда У не зависит по предпочтению от функция ценности зависит от у через функцию ценности

Если У не зависит по предпочтению от не зависит по предпочтению от У, то структуры предпочтений в пространствах у и z могут рассматриваться отдельно друг от друга. В частности, если в этом случае подходящие функции ценности, аргументами которых являются соответственно, то

Практически это означает, что лицо, принимающее решение, может независимо структуризировать свои предпочтения как по у, так по z. Затем следует заняться исследованием замещений между т. е. задачей, которую мы анализировали в § 3.4, когда рассматривали случай двух критериев. Таким образом, мы подошли к следующему вопросу: если то сколько единиц по Вы (как лицо, принимающее решение) согласны уступить за увеличение от до Сложность этого вопроса

состоит в том, что функции ценности могут не иметь содержательного смысла, так как они определяются с точностью до монотонных преобразований. Как же поступить? Одно из предложений заключается в следующем. Допустим, что

Выберем типичные значения и рассмотрим структуру условных предпочтений в пространстве при фиксированных Это уже задача, которую «можно понять».

Пусть, например, в этом подпространстве

при фиксированных Тогда в пространстве мы имеем

Грубо говоря, мы можем построить кривые безразличия в пространстве рассмотрев замещения для двух компонент, одна из которых принадлежит множеству У, а другая — множеству Z при фиксированных значениях всех остальных компонент.

3.6.2. Взаимная независимость по предпочтению и существование аддитивной функции ценности. Определение. Критерии взаимонезависимы по предпочтению, если каждое подмножество У этого множества критериев не зависит по предпочтению от своего дополнения.

В предыдущем параграфе, касающемся случая трех критериев, было показано, что взаимная независимость по предпочтению влечет за собой существование аддитивной функции ценности. Этот вывод справедлив также и в случае более чем трех критериев.

Теорема 3.6. Для критериев аддитивная функция ценности

функция ценности по критерию существует тогда и только тогда, когда критерии взаимонезависимы по предпочтению.

Формальные доказательства этой теоремы имеются в работах Дебре (iDebreu, 1960), Фишберна (Fishburn, 1970) и Крантца и др. (1971). Прузан и Джексон (1963) также получили этот результат.

Основные моменты доказательства для случая трех критериев мы уже неформально обсуждали и поэтому повторять их здесь

не будем. Кроме того, доказательство для можно провести, опираясь на доказательство для если разбить на три векторные переменные и использовать аддитивность для трехмерного случая.

В следующем параграфе мы подробно проведем построение функции ценности для четырех критериев в гипотетическом примере. При этом выявятся некоторые особенности взаимосвязи между условиями независимости по предпочтению и аддитивными функциями ценности.

3.6.3. Ослабление условий аддитивности. Теорема 3.6 является очень полезной, так как аддитивная функция ценности представляется нам самой простой. Однако, как показывает формулировка этой теоремы, число условий независимости по предпочтению, которое нужно было бы проверить, становится астрономически большим даже при не очень большом например равным 10. Ясно, что для произвольного существует пар критериев, которые должны быть независимыми по предпочтению от их соответствующих дополнений, не говоря уже о тройках критериев и т. д. К счастью, результаты Леонтьева (1947а, 19476) и Гормана (1968а, 19686) избавляют нас от большей части такой работы. Сначала мы сформулируем этот результат, а потом обсудим его.

Теорема 3.7. Пусть пересекающиеся подмножества множества критериев но ни одно из них не содержится в другом, а их объединение не совпадает с Если каждое из подмножеств не зависит по предпочтению от своего дополнения, то любое из следующих множеств критериев:

независимо по предпочтению от своего дополнения.

Формальное доказательство этого результата можно найти в работе Гормана (1968а).

Для того чтобы понять суть теоремы 3.7, предположим, что Теорема гласит, что если независимы по предпочтению от соответственно, то

(i) объединение т. е. не зависит по предпочтению от

(ii) Пересечение которое состоит из не зависит по предпочтению от его дополнения ;

(iii) , как , и как , не зависят по предпочтению от своих дополнений;

(iv) не зависит по предпочтению от

Двумя наиболее важными для приложений частями теоремы 3.7 являются Эти два результата позволяют сократить число условий независимости по предпочтению, проверка которых необходима для введения аддитивной функции ценности в соответствии с теоремой 3.6, до где число критериев.

Неформальное доказательство теоремы 3.4, приведенное в п. 3.5.4, проливает некоторый свет на то, почему справедлива часть теоремы 3.7. Постараемся теперь объяснить, почему справедлива часть

Сущность доказательства можно уяснить, рассматривая специальный случай, в котором

Если и У, и Z независимы по предпочтению от своих дополнений, то, как мы сейчас покажем,

также не зависит по предпочтению от своего дополнения.

Мы должны показать, что

для всякого

То есть, если верно при то это же верно при любом фиксированном Пусть таково, что

Заметим, что это соотношение оправдано, поскольку не зависит по предпочтению от своего дополнения.

Из справедливости соотношений (3.27) и из (3.28) вытекает

Но поскольку не зависит по предпочтению от то из (3.29) для любого следует, что

Используя (3.28) и независимость по предпочтению от своего дополнения, получаем

Из (3.31) и (3.30) по транзитивности мы получаем правую часть (3.27). Это доказывает наше утверждение.

Следствие. Если каждая пара критериев не зависит по предпочтению от своего дополнения, то критерии взаимонезависимы по предпочтению.

Доказательство можно провести методом математической индукции с использованием части (i) теоремы 3.7: если это верно для любого подмножества из критериев то можно показать, что это верно для критериев. Детали мы опускаем.

3.6.4. Выбор независимых по предпочтению множеств критериев. Из теоремы 3.7 следует, что существует большое количество возможных комбинаций независимых по предпочтению подмножеств критериев, влекущих взаимонезависимость по предпочтению критериев из множества Простейшей является комбинация, в (которой не зависят по предпочтению от своих дополнений при

Для того чтобы увидеть, как «работает» эта комбинация, предположим, что и каждое из множеств

обладает свойством независимости по предпочтению (НП-овойством), т. е. каждое из них не зависит по предпочтению от своего дополнения. Тогда из части теоремы 3.7 мы заключаем, что

также обладают НП-овойством. Повторяя этот прием, мы затем получаем, что

обладают НП-свойством. Наконец, мы видим, что также имеет НП-свойство. Таким образом, видим, что каждая пара обладает НП-свойством. Но мы знаем из предыдущего следствия, что тогда и жаждая тройка должна обладать НП-свойством и т. д.

Другой совокупностью из предположений, которые влекут взаимонезависимость критериев является следующее: каждая пара независима по предпочтению от своего дополнения. Рассуждения подобны проведенным выше.

Для того чтобы привести более сложный пример, предположим, что имеется пять критериев и следующие подмножества критериев не зависят по предпочтению от своих дополнений:

Нетрудно доказать, что предположения (а) - (г) влекут взаимонезависимость по предпочтению. Из (а) и (б) следует независимость

по предпочтению от Отсюда с использованием и части теоремы 3.7 вытекает, что не зависит по предпочтению от своего дополнения. Точно так же, влекут независимость по предпочтению от а из этого и следует, что не зависит по предпочтению от Таким образом, мы видим, что независимы по предпочтению от своих дополнений. Отсюда следует взаимонезависимость X, по предпочтению.

Ясно, что на практике было бы неразумно проверять непосредственно все возможные условия независимости по предпочтению. Если имеются соображения о том, какие условия являются наиболее подходящими для получения полезных результатов, то процесс построения функций ценности можно значительно облегчить. Тинг (1971) предложил несколько подходов, которые могут оказаться полезными для этой цели. Один из наиболее плодотворных состоит в том, чтобы искать естественные группы критериев. Например, в проблеме выбора места для ядерной электростанции цели, выносимые на первый уровень в иерархии целей и получаемые при конкретизации («раскрытии») общей цели, можно определить, рассмотрев такие аспекты, как денежные расходы, воздействие на окружающую среду, здоровье людей, а также политические факторы. Дальнейшая конкретизация повлечет за собой привлечение-большого числа критериев. Однако вполне естественно, оставаясь на этом нервом уровне, попытаться выяснить с помощью лица, принимающего решение, не являются ли некоторые группы критериев независимыми по предпочтению от каких-то других групп критериев. Возможно, при этом мы могли бы прийти к заключению о том, что существует аддитивная функция ценности, определенная, например, для этих четырех основных групп критериев,

где обозначают соответственно критерии, связанные с денежными расходами, окружающей средой, здоровьем людей и политическими факторами. Мы могли бы затем попытаться использовать понятие независимости критериев по предпочтению внутри каждой из этих групп и уточнить структуру предпочтений лица, принимающего решение.

В § 3.8 мы обсудим способ оценивания денежных переменных. В некоторых задачах такой подход, предусматривающий отдельное изучение каждого из неденежных критериев в паре с денежными критериями, может представляться естественным для проверки условий независимости по предпочтению.

Более подробно способы проверки условий независимости по предпочтению изложены в § 6.6.

3.6.5. Частично аддитивные функции ценности. Даже если взаимонезависимость по предпочтению не имеет места, наличие некоторых свойств независимости по предпочтению может помочь при построении функции ценности.

Теорема 3.8. Пусть даны критерии Если не зависят по предпочтению от своих дополнений, то существует функция ценности вида

где является функцией, возрастающей по своей первой переменной.

Доказательство этого результата имеется в работе Гормана (1968а).

Заметим, что выражение можно рассматривать в качестве условной аддитивной функции ценности для критериев при зафиксированном на подходящем уровне критерии Неважно, каков этот уровень, так как из условий теоремы 3.8 в силу теоремы 3.7 следует, что не зависит по предпочтению от

Поскольку в теореме 3.8 могут обозначать векторные критерии, то эта теорема носит общий характер. Важно понять, что этот результат может быть последовательно использован несколько раз, скажем, применительно к различным уровням иерархии целей и при структуризации одной и той же функции ценности.

3.6.6. Использование аддитивной функции ценности. Вместо того чтобы использовать аддитивные функции ценности в самой общей форме

зачастую может оказаться удобнее изменить масштаб и каждой функции ценности отдельных (критериев так, чтобы они изменялись от нуля до единицы. (Ранее это было проиллюстрировано при построении аддитивной функции для двух критериев.) В этом случае мы будем иметь аддитивную функцию вида

где меняются от нуля до единицы и

Оба равенства (3.33) и (3.34) определяют эквивалентные аддитивные функции ценности, различающиеся лишь выбранными масштабами измерений. Построение функции вида (3.34) проиллюстрировано в § 3.7.