4.7. ПРОПОРЦИОНАЛЬНАЯ НЕСКЛОННОСТЬ К РИСКУ

В этом параграфе изучается другое понятие, касающееся отношения к риску, — пропорциональная несклонность к риску. Подобно тому, как мы делали раньше, идеи будут вводиться в контексте предпочтений для денежных выигрышей. Однако теория оказывается приложимой и в других областях.

Предположим, что у вкладчика имеется сумма которую он может вложить в один из множества планов инвестиций Если он выбирает инвестирование то его итоговое денежное положение (суммарный выигрыш) будет где неотрицательная случайная переменная. Допустим, что вкладчиком построена функция полезности и, определенная для его финансовых положений, а не величины денежных прибылей, и, следовательно, 0 будет означать «разорение», а не сохранение прежнего положения. Естественно, он будет выбирать инвестирование 1а так, чтобы максимизировать Везде в этом параграфе мы предполагаем, что предпочтения возрастают по мере роста суммарного денежного выигрыша.

Рассмотрим, например, класс инвестиций, в котором вкладчик выбирает долю своих активов, которую он может удвоить или потерять, причем вероятность выигрыша равна а проигрыша Исходы его инвестирования можно изобразить следующим образом:

Таким образом, это инвестирование приводит к выигрышу где

4.7.1. Инвестирование, независимое от финансового положения. Теперь мы рассмотрим четыре специальных класса функций полезности, для которых оптимальный план инвестиций не зависит от первоначального финансового положения Для пояснения целесообразности выделения таких классов разберем два примера.

Пример 4.16. Пусть т. е. стратегически эквивалентна линейной функции полезности. Принимающий решение, выбирая стремится максимизировать свою ожидаемую полезность. В этом случае

так что оптимальное инвестирование не зависит от суммы которую нужно вложить. Для дальнейшего заметим, что при будем иметь

Пример 4.17. Предположим, что при Тогда ожидаемая полезность оптимального инвестирования равна

так что вновь оптимальное инвестирование не зависит от вкладываемой суммы В этом случае

Отметим, что, когда в силу неотрицательности х функция отрицательна, так что и соответствует склонности к риску. При и свидетельствует о несклонности к риску.

Исходя из этих примеров, докажем теперь следующую теорему и следствие из нее.

Теорема 4.19. Если для любого класса инвестиций оптимальный план инвестиций не зависит от суммы, которую нужно вложить, и если функция полезности, отражающая несклонность к риску, «хорошо устроена», то константа

Доказательство. Предположим, что фиксированное число, причем Рассмотрим описанный ранее класс инвестиций, где

и Тогда

Для того чтобы найти максимальную долю выделяемую для инвестирования (предполагая, что эта точка максимума является внутренней), продифференцируем последнюю функцию по и приравняем полученную производную нулю. Тогда получим

Теперь заметим, что в силу предпосылки теоремы величина удовлетворяющая последнему равенству, одна и та же для всех Полагая получаем

Но тогда

Разделив почленно последние два уравнения, получаем

или

Далее, используя существование предела при мы должны доказать, что является константой. Предположим, наоборот, что Тогда

Переходя к пределу при (с учетом того, что получаем противоречие (с фактом существования предела функции при

Если оптимальное значение не является внутренней точкой, то или . Но оба эти случая могут быть исключены: в связи с тем, что и становится в малом подобной линейной функции и , и случай , так как в силу несклонности к риску существует такое значение в которое предпочтительнее рискованного предприятия, в котором имеется шансов за получение исхода шансов за получение 0 (здесь можно, например, положить равным примерно 0,51). Этим завершается доказательство.

Следствие. Следующие утверждения эквивалентны:

(i) — константа;

(iii) Оптимальный план инвестиций не зависит от финансового положения.

Примеры (атакже аналогичные примеры для и показывают, что Приведенная выше теорема утверждает, что Остается доказать, что

Доказательство. Из

имеем

или

Отсюда следует, что при Легко показать, что при где Таким образом,

Это завершает доказательство следствия.

Определение. Выражение

называется пропорциональной локальной несклонностью к риску в точке х.

Для пояснения введенного понятия рассмотрим следующие две альтернативы:

1. Детерминированная альтернатива — оказаться в финансовом положении наверняка.

2. Альтернатива, связанная с риском — оказаться с равными вероятностями в финансовых положениях или

Если принимающему решение безразлично, какую из этих альтернатив выбрать, выражение может рассматриваться как пропорциональная надбавка за риск. Далее, используя (4.18) и вводя надбавку за риск в виде получаем

или

и, таким образом, мы приходим к выражению, названному нами пропорциональной локальной несклонностью к риску

4.7.2. Определение параметра в функциях полезности при постоянной пропорциональной несклонности к риску. Предположим, что принимающий решение убедился в том, что для него приемлемо использование функции полезности, отражающей постоянную пропорциональную несклонность к риску. Как практически ему найти подходящее значение параметра с?

Пусть на финансовом счету принимающего решение в данный момент находится сумма Мы просим его сравнить две альтернативы:

1) сохранить существующее положение, т. е. получить наверняка;

2) принять участие в лотерее 50—50, которая либо удваивает его счет до либо уменьшает его до

Если ему безразлично, какой сделать выбор при то с— 1 или Если мы сохраняем а он предпочитает выбор 1, то если же он предпочитает выбор 2, то Предположим, что принимающему решение безразлично, какой выбор сделать при , что соответствует случаю Тогда с можно рассчитать, используя из (4.26) и решая уравнение

или

При что соответствует случаю мы должны решить уравнение

или

График зависимости между сир показан на рис. 4.14. Таким образом, если например, 0,8, то с будет равно 4 и тогда

Рис. 4.14. Определение параметра с для функций полезности, характеризующихся постоянной, пропорциональной несклонностью к риску