8.6. ПОСТРОЕНИЕ МНОГОМЕРНОЙ ФУНКЦИИ ПОЛЕЗНОСТИ

Получив количественные оценки вероятностей, которые адекватно отражали последствия различных возможных стратегий с точки зрения наших шести мер эффективности, мы перешли к построению функции полезности для этих мер. В соответствии с методикой, предложенной в § 6.6, мы начали с изучения качественной структуры предпочтений лица, принимающего решение. Для этого нужно было выработать «привычку» у нас и сотрудников МОР обдумывать и анализировать последствия «на языке» переменных но, что еще более важно, нужно было установить, являлись ли для данной проблемы приемлемыми предположения о независимости по предпочтению или по полезности, описанные в более ранних главах этой книги. После того как мы установили приемлемость достаточного набора таких предположений, это позволило нам ввести для каждого , условную функцию полезности по а затем представить и в виде функции от условных функций полезности, т. е. в виде

где скалярная функция. Для нахождения были построены шесть функций и найдены значения соответствующих весовых коэффициентов.

При построении функций полезности были использованы суждения наиболее квалифицированных специалистов в лице директора аэропортов МОР, директора центра математических и статистических исследований и МОР, а также их сотрудников. Кроме того, была предпринята аргументированная попытка проанализировать проблему с точки зрения правительства Мексики.

8.6.1. Допущения. Рассмотрим кратко и неформально понятия независимости по предпочтению и независимости по полезности. Напомним, что независимость по предпочтению касается только ранжирования в детерминированных условиях, вероятностный аспект здесь никак не учитывается. Разделим используемые множества критериев на два подмножества . Если ранжирования последствий, различающихся значениями критериев только из У, остаются неизменными вне зависимости от фиксированных значений критериев из то У не зависит по предпочтению от

Независимость по полезности, в свою очередь, связана с количественным выражением степени предпочтения со стороны лица, принимающего решение. Если результаты ранжирования любых лотерей, исходы которых различаются значениями критериев только из У, остаются неизменными вне зависимости от фиксированных значений критериев из то У не зависит по полезности от

8.6.2. Проверка приемлемости допущений. Проиллюстрируем, как мы проводили проверку приемлемости допущений о независимости по предпочтению, используемых в нашей работе. В качестве примера рассмотрим, являются безопасность и шум

независимыми по предпочтению от остальных критериев. Прежде всего мы зафиксировали значения остальных критериев на желательном уровне и задали вопрос: каким должно быть значение критерия безопасности чтобы состояние было равноценным состоянию (1, 1500 000). Это значит, что гипотетическое состояние, когда человек погибает или получает тяжелые ранения в случае катастрофы и 2500 человек подвергаются воздействию шумов с высокой интенсивностью, равноценно состоянию, когда один человек оказывается тяжелораненым или убитым, подвергаются воздействию сильных шумов. Полученный в итоге ответ гласил, что величина должна быть равна 300 (при этом использовалась процедура «схождения»). Точное значений этого числа не имеет особого значения при проверке делаемых допущений; главное, нам необходимо узнать, меняется ли оно при изменении остальных четырех критериев. Поэтому на следующем шаге мы зафиксировали значения этих четырех критериев на нежелательном уровне, задали тот же самый вопрос получили снова ответ — 300.

Затем мы спрашивали: будет ли это в общем справедливо для любых значений остальных четырех критериев, и ответ был таков: «Если значения остальных критериев каждый раз будут оставаться фиксированными, ответ будет всегда одинаков». Ответы опрашиваемых показали, что точно такая же ситуация будет иметь место относительно каких-либо замещений между безопасностью и шумом. Отсюда мы сделали вывод, что безопасность и шум были независимы по предпочтению от остальных критериев.

Пользуясь теми же приемами, мы установили, что пропускная способность и затраты были независимы по предпочтению от остальных критериев, так же как численность переселяемых жителей и продолжительность поездки в аэропорт. Кроме того, одно из опрашиваемых лиц — помощник директора аэропортов — высказал мнение, что предпочтения относительно значений любых двух критериев не зависят от значений других критериев. Это свойство также подтвердилось в процессе опросов других сотрудников МОР, включая директора аэропортов.

Тот же общий подход был использован для проверки предположений о независимости по полезности, т. е. что не зависит по полезности от своего дополнения для всех . Рассмотрим, например, проведенную процедуру проверки независимости по полезности от Значения остальных пяти критериев были закреплены на желательных уровнях, после чего была построена условная функция полезности для продолжительности поездок от 12 до 90 мин (этот диапазон был с самого начала указан МОР). Мы установили, что продолжительность поездки 62 мин была равноценна лотерее с равновероятными исходами — продолжительностям поездок 12 и 90 мин. Затем мы изменили значение критериев на менее желательные и повторили вопрос. И снова время поездки в 62 мин было равноценно той же лотерее с равновероятными исходами, равными соответственно 12

да 90 мин. Общий анализ показал, что это будет справедливо для любых фиксированных значений Мы установили, что относительные предпочтения для любых последствий и лотерей, неопределенность в исходах которых была связана только с продолжительностью поездки в аэропорт, действительно не зависели от значений остальных пяти критериев.

Справедливость этого допущения была проверена для всех шести критериев в результате проведенных собеседований как с директором аэропортов, так и его сотрудниками. В процессе проверки этого допущения особое внимание было уделено тому, чтобы не наталкивать опрашиваемых на такие ответы, которые они не дали бы при других обстоятельствах. По нашему мнению, нам это удалось. Поскольку предпочтения могут меняться с течением времени, подобный опрос тех же самых людей может привести к иным выводам в другое время. Однако те предпочтения, которые были указаны во время опросов, по-видимому, действительно отражали «истинные» предпочтения этих людей в то время. Таким образом сделанные нами допущения были признаны как приемлемые для данной проблемы.

8.6.3. Формы функции полезности. При нахождении функций полезности нами главным образом использовались теоремы 6.1 и 6.2 из § 6.3. Выражаясь неформально, эти теоремы гласят, что если каждая пара критериев не зависит по предпочтению от своего дополнения и если каждый критерий не зависит по полезности от дополняющего его множества критериев, то является либо аддитивной, либо мультипликативной функцией от составляющих функций полезности В действительности, как показано § 6.3, тот же самый результат возможен и при гораздо более слабых предположениях, т. е. только юдин критерий должен не зависеть по полезности от его дополнения и каждая пара критериев, включая должна быть независимой по предпочтению от своего дополнения. Поэтому многие из проверенных нами предположений в действительности являются излишними, однако их можно рассматривать как еще одну проверку согласованности наших результатов.

Точная форма функции и со значениями в диапазоне от 0 до 1, имеет вид

где есть функция полезности для изменяющаяся от 0 до 1; шкалирующий коэффициент для еще одна шкалирующая константа. Значение каждого должно располагаться

между 0 и 1 и может рассматриваться как полезность и, относящаяся к последствию, в котором значения всех критериев, кроме зафиксированы на их наименее предпочтительных уровнях, в то время как значение установлено на наиболее предпочтительном уровне.

Значение к можно найти исходя из полученных значений Если то и выражение (8.3) сводится к аддитивной функции

Если , то и мы можем умножить каждую из сторон, выражения (8.3) на к, добавить 1 к полученным результатам разлагая правую сторону на множители, получить мультипликативную функцию

8.6.4. Построение функций Каждая из одномерных функций полезности была построена с помощью методов, описанных в гл. 4. Проиллюстрируем это на примере квантификации предпочтений для продолжительности поездок в аэропорт.

Прежде всего мы определили максимальную и минимальную продолжительности поездок. Согласно вероятностным распределениям, построенным МОР, продолжительность поездок может колебаться от 12 до 90 мин, причем меньшая продолжительность, очевидно, предпочтительнее большей. Отсюда, чтобы не отступать, от принятого нами условия, что значения функции полезности располагаются между 0 и 1, мы положили

Из ответов опрашиваемых лиц, которые мы получили приостановлении независимости от следовало, что продолжительность поездки 62 мин равноценна лотерее с равновероятными исходами, представлявшими собой продолжительности поездок в 12 и 90 мин. Поэтому полезность детерминированного исхода — продолжительность в 62 мин — должна равняться полезности этой лотереи

Поскольку 62 мин больше, чем ожидаемая продолжительность поездки 51 мин, для лотереи то функция полезности должна отражать несклонность к риску. Несклонность к риску в данном контексте означает, что ожидаемое значение для любой лотереи будет предпочтительнее, чем сама лотерея. Задавая вопросы относительно специальным образом построенных лотерей и переходя далее к общему случаю, мы

установили, что для опрашиваемых лиц была характерна несклонность к риску, когда речь шла о критерии «продолжительность люездки». Это означало, что функция полезности являлась вогнутой, как это показано на рис. 8.4.

Рис. 8.4. Функция полезности для продолжительности поездки

Задавая новые вопросы, имевшие своей целью нахождение детерминированных эквивалентов для ряда дополнительных лотерей, мы смогли получить еще несколько точек с известными значениями Например, мы нашли, что 40 мин равноценны лотерее а 78 мин — лотерее отсюда

Затем для эмпирически найденных точек была подобрана аппроксимирующая их экспоненциальная функция. Эта функция и была принята в качестве функции полезности

На этой стадии мы предприняли немедленной попытки установить и использовать свойства отношения к риску «более высокого порядка», как, например, убывающую несклонность к риску. Такие свойства больше относятся к «тонкой настройке» многомерной функции полезности относительно значений шкалирующих коэффициентов («взвешивающих» уровни значений различных критериев) и более общих свойств, таких, как монотонность и несклонность к риску для отдельных Если бы в процессе дальнейшего анализа оказалось, что точная форма некоторых из играет важную роль, мы бы вернулись к этому вопросу и повторили нашу оценку альтернатив. Однако это не потребовалось.

Процедуры, подобные только что описанной, использовались при построении функций полезности затрат, безопасности, переселения и шума. Результаты показаны на рис. 8.5.

Как уже было сказано, подобрать интегрированную меру для пропускной способности аэропорта в различные годы не удалось.

Поэтому нам пришлось построить несколько функций полезности Для пропускной способности в отдельные годы.

Вид полученных функций полезности для продолжительност» поездок, затрат и шума представляется нам вполне естественным».

Рис. 8.5. Функции полезности, построенные в процессе исследования проблемы развития аэропорта Мехико

В то же время формы кривых функций полезности для безопасности и переселения оказались весьма неожиданными. Рассматривая, например, критерий «безопасность», мы могли предположить, что, поскольку правительства обычно отрицательно относятся к большому количеству жертв в одной катастрофе, то функция полезности для безопасности будет отражать несклонность к риску. Подобное отношение правительства можно объяснить политическими последствиями таких катастроф. Однако наша мера эффективности не включала эти политические факторы. Грубо говоря, если мы считаем, что любая жизнь одинаково важна, то альтернативы с одним и тем же ожидаемым числом убитых или тяжелораненых должны быть одинаково нежелательны. Именно такова была позиция МОР в процессе построения функции полезности, и поэтому функция имела линейную форму.

Прежде чем продолжать дальше наше исследование, важно было провести проверку согласованности и приемлемости экспоненциальной и линейной функций полезности. Мы провели эту проверку, задав дополнительные вопросы по поводу предпочтений опрашиваемых лиц и сравнив их ответы с выводами, вытекающими из полученной функции полезности. Если они соответствовали друг другу, мы с большей уверенностью относились к

функции полезности. Если же такого соответствия не было, мы обсуждали эти несовпадения и повторно проводили часть или всю процедуру квантификации предпочтений.

8.6.5. Функция полезности для пропускной способности. Пропускная способность представляет собой вектор где пропускная способность аэропорта в 1975 г. и т. д.

Первым шагом при построении было нахождение минимально и максимально возможной пропускной способности аэропорта в 1975, 1985 и 1995 гг. Были найдены следующие значения: 50, 80, 100 и 130, 200, 250 операций в час соответственно. Очевидно, что большая пропускная способность предпочтительнее меньшей, поэтому для функции изменяющейся от 0 до 1, было принято, что

Проверка подтвердила, что пропускная способность в любые два периода времени не зависела по предпочтению от пропускной способности в третий период и что пропускная способность для любого фиксированного периода времени не зависела по полезности от этой способности в остальные периоды.

Таким образом, на основании теорем 6.1 и 6.2 мы получаем

или

где функции полезности для изменяющиеся от 0 до 1 (см. рис. 8.5), а с и коэффициенты (шкалирующие константы). Отметим, что соотношения (8.13) и (8.14) аналогичны выражениям (8.4) и (8.5). Поскольку процедуры нахождения значений в выражений (8.5) аналогичны процедурам нахождения с для функции полезности (8.14), то мы не будем на них останавливаться.

8.6.6. Нахождение численных значений Чтобы проиллюстрировать метод нахождения численных значений рассмотрим для примера затраты Мы попросили лиц, принимающих решения, сравнить с точки зрения предпочтительности 1) детерминированное последствие, характеризуемое следующими параметрами: затраты зафиксированы на наиболее предпочтительном уровне, в то время как значения всех остальных критериев на наименее предпочтительном уровне и 2) лотерею, в которой с вероятностью реализуется «наиболее благоприятное» последствие, описываемое наиболее желательными значениями всех критериев, и с вероятностью - «наименее благоприятное» последствие, описываемое наименее желательными значениями всех критериев. Наша задача — найти такое (назовем его чтобы, по мнению

лица, принимающего решение, данное детерминированное последствие и рассматриваемая лотерея были бы равноценны, т. е. имело бы место отношение безразличия. Далее (см. § 6.6), используя для либо выражение (8.4), либо (8.5) и приравнивая ожидаемое полезности, находим, что значение должно равняться

Используя суждения опрашиваемых лиц относительно различных лотерей, мы получили исходные оценки значений Затем для лроверки согласованности полученных значений мы снова обратились опрашиваемым лицам, но теперь наши вопросы не были связаны с вероятностями. Например, мы придали всем критериям их наименее желательные значения и спросили: «Что бы Вы предпочли иметь в этой ситуации на самом желательном уровне — пропускную способность или затраты?». Ответ был «пропускную способность», следовательно, коэффициент, относящийся к функции полезности пропускной способности, должен быть больше, чем аналогичный коэффициент для функции полезности затрат. Затем мы нашли такой уровень значений пропускной способности, обозначаемый нами который был равноценен наилучшему уровню затрат, обозначаемому Таким образом, используя выражения (8.4) и (8.5), мы видим, что должно равняться Поскольку функция уже была нами построена, это дает нам соотношение между Результаты парных сравнений величин построенных аналогичным образом, позволили провести многократную (и даже избыточную) проверку согласованности и уточнение значений После нескольких итераций мы пришли к значениям указанным в табл. 8.1.

Таблица 8.1. Шкалирующие коэффициенты, полученные при исследовании проблемы развития аэропорта Мехико

8.6.7. Нахождение значения параметра k. Поскольку сумма всех равна 1,89, функция полезности является мультипликативной, а не аддитивной; она аддитивна, когда . Поэтому значение в выражении (8.5) можно найти, используя выражение (8.5) для последствия есть наиболее предпочтительное значение Это дает нам

но по условиям нормировки используемых функций полезности так же, как и отсюда

Поскольку значения нам известны, параметр может быть найден как решение уравнения (8.16). В приложении показано, что при всякое являющееся решением уравнения (8.16), обладает свойством Используя значение из табл. 8.1, получаем Конечно, если бы мы заново провели наше исследование, то было бы найдено новое значение Но оно скорее всего было бы ближе к —0,8, чем к 0,0 или к На заключительной стадии анализа важно проверить чувствительность полученных результатов к значениям и всех

8.6.8. Функция полезности. Процедуры, аналогичные только что описанными, были использованы для нахождения значения и с в выражении (8.14). Так, было найдено, что Эти параметры, а также табл. 8.1, значение , функции, показанные «а рис. 8.4 и 8,5, дают нам необходимую информацию для установления функции . В § 8.7 описывается, как использовалась эта функция.