9.4. ОСЛАБЛЕНИЕ ДОПУЩЕНИЙ ОТНОСИТЕЛЬНО НЕЗАВИСИМОСТИ

В § 6.4 и 6.9 в контексте многомерной полезности мы рассмотрели структуры полезности, возникающие в результате ослабления допущений относительно независимости до такой степени, что они уже не обеспечивали существование чисто аддитивной или мультипликативной функций полезности. Например, мы видели, что допущение не зависит по полезности от для всех приводило к полилинейной форме. Попробуем применить это обобщение во временном контексте.

К сожалению, в контексте предпочтений относительно временных потоков это обобщение оказывается неприемлемым по следующим причинам. Идея того, что независимы по полезности, основана на выделении определенного периода времени в противоположность остальным периодам. Продолжительность такого отдельного периода для проблем принятия решений, носящих личный или общественный характер и в которых ход развития событий во времени играет важную роль, может быть от до 10 лет, однако, как правило, она порядка 1 года. Почему продолжительность отдельного периода имеет такое важное значение? По той причине, что экономические последствия, даже суровые, которые длятся только какие-то несколько дней, с точки зрения временной шкалы человека легко допустимы (например, прожить на имеющиеся пусть скудные средства неделю не столь уж тяжело, даже со всей семьей, но жить так год — достаточно мрачная перспектива). Но все-таки единица времени, т. е. продолжительность периода, не должна выбираться настолько длинной, чтобы детальная структура в отдельный период приобретала существенное значение.

Исходя из всех этих соображений, весьма приблизительно определяющих продолжительность подходящего периода, едва ли имеет смысл, вводя допущение о независимости, настаивать на строгом выполнении этого условия, т. е. чтобы последствия для отдельного периода, измеряемые критерием действительно не

зависели сто полезности от своего дополнения, если последствия двух следующих друг за другом периодов, измеряемые критериями не являются независимыми по полезности от их дополнения. Далее, если помимо допущения о том, что каждый отдельный период не зависит по полезности от своего дополнения, мы допускаем, что любая последовательность последовательных периодов также не зависит по полезности от своего дополнения, то тогда снова имеет место взаимная независимость, мы вновь возвращаемся к аддитивной или мультипликативной функциям.

Во временном контексте полезнее обобщить результаты § 9.3, сняв последнее условие теоремы 9.2, т. е. допустив, что только будущее не зависит по полезности от прошлого. Иными словами, что не зависит от для всех Отметим, что это допущение:

1. Не влечет за собой, вообще говоря, существование безусловных функций полезности для одного периода, т. е. мы не можем; изолированно принимать решения, относящиеся к одному периоду, поскольку каждый не является независимым по полезности от дополняющего его множества

2. Является наиболее общим допущением, которое все еще позволяет нам решать задачу отыскания оптимального решения при помощи «обратной индукции» без введения дополнительного «дескриптора состояния», который представлял бы те черты прошлого потока последствий, которые влияют на наше отношение к будущим последствиям.

Допущение, что не зависит по полезности от влечет за собой существование полезностей для но при этом только является полезностью, относящейся к одному периоду. Из этого допущения также следует, что

Если мы выберем шкалу для обычным образом (так чтобы менялась в пределах от 0 до 1 при изменении от до то из выражения (9.22) будет следовать, что

3. Мы должны построить две одномерные функции для каждого периода, кроме последнего, для которого нужно построить только одну функцию Функции обладают свойствами ненормированных функций полезности одной переменной, ибо они являются полезностями значений при условии Функции будут принимать значения, меньшие или равные единице, поскольку вместе с приводило

бы к что неверно. Поэтому мы можем интерпретировать соотношение (9.22) следующим образом: чтобы найти следует диоконтировать с помощью коэффициента дисконтирования (зависящего от и затем добавить однопериодную «базовую» полезность которая представляет собой полезность потока

4. Если мы обозначим чтобы стандартизовать обозначения, то решением уравнения (9.22) будет

где нами использовано соглашение, что «пустое» произведение

Мы будем называть структуру полезности, определяемую формулой (9.23), полусепарабельной, поскольку в общем случае решения, относящиеся к одному периоду, уже нельзя полностью выделить отдельно. Уравнение (9.23) содержит как особые случаи аддитивную (когда постоянны для исех и мультипликативную формы (когда для и особое подмножество полилинейных форм (когда постоянные для или когда могут интерпретироваться как относящиеся к одному периоду безусловные функции полезности). Это те единственные случая для выражения (9.23), когда существуют безусловные однопериодные полезности. Во всех других случаях из соотношения (9.22) следует, что полезность зависит от будущего потока однако она зависит от будущего только через полезность этого будущего. Таким образом, мы можем считать одномерным описанием наших симпатий к перспективам на будущее, знания которого нам достаточно, чтобы позволить себе высказать свои предпочтения для отдельного текущего периода.

Мы можем обобщить эту идею, разделив время на «ближайшее» и «отдаленное» будущее: Будем считать «ближайшим» будущим те «годы», для которых проблема принятия решения может быть удовлетворительно структур из а, и считать «отдаленным» будущим те неясные для нас годы, которые находятся за этим «горизонтом».

Поскольку из независимости по полезности от вытекает, что

то отсюда следует, что мы в принципе можем проводить анализ таких проблем следующим образом.

1. Структуризовать проблему, ограничиваясь горизонтом «ближайшего» будущего и построить функции точнее говоря, нужно построить функции одной переменной для и на их основе построить согласованные с выражением (9.23).

2. Найти математическое ожидание потока для каждой конечной (вершины дерева, т. е. оценить ожидаемую полезность «отдаленного» будущего при известном конечном состоянии «ближайшего» будущего.

3. Далее использовать соотношение (9.24) в качестве функции полезности.

Функция полезности (9.23) особенно удобна при анализе проблем поэтапного принятия решений в условиях неопределенности, которые можно описать так: в каждый период времени принимается решение относительно капиталовложений и потребления после чего дальнейшие события (для данного периода) развиваются случайным образом (происходит неопределенное событие), значение полезности пути по дереву зависит только от потока потребления (и «наследства»). Для этого класса проблем функция (9.23) является самой общей функцией полезности, позволяющей использовать обратную индукцию без описания состояний с точки зрения их общей полезности. Обратная индукция особенно проста, когда скрытая вероятностная структура неопределенной среды является марковской. Основные результаты для этого класса проблем описаны в работе Оксмана (1974).

По аналогии с аддитивной и мультипликативной функциями полезности представляется целесообразным вновь использовать идею стационарности. Теперь, однако, она становится более тонким понятием, поскольку мы не можем требовать, чтобы все отдельные периоды были стратегически эквивалентны, когда принимаемые в каждом периоде решения зависят от будущего, а будущее в потоке с конечным горизонтом, несомненно, различно, по крайней мере по продолжительности, для каждого отдельного периода. Чтобы преодолеть это осложнение, мы введем понятие эквивалентного будущего. Допустим, что изменяется в пределах от до т. е. в одном и том же диапазоне для каждого периода, и пусть Теперь мы потребуем, чтобы для любого будущего существовало (эквивалентное) будущее такое, при котором условная однопериодная полезность при фиксированном была бы стратегически эквивалентна условной однопериодной полезности при также фиксированном во всем диапазоне Этого обобщенного условия стационарности достаточно для того, чтобы оба множества функций используемые в выражении (9.22), не зависели от [см. работу Оксмана (1974)]. Определив для всех получаем стационарный вариант соотношения (9.22) в виде