6.7. ОСНОВНАЯ ВЗАИМОСВЯЗЬ МЕЖДУ НЕЗАВИСИМОСТЬЮ ПО ПРЕДПОЧТЕНИЮ И НЕЗАВИСИМОСТЬЮ ПО ПОЛЕЗНОСТИ

Теперь обратимся к некоторым общим результатам, которые позволяют ослабить допущения, необходимые при использовании теорем, сформулированных в § 6.3-6.6. Основной результат этого параграфа — установление соотношения между двумя условиями независимости, связанными с кардинальными и ординальными описаниями предпочтений на пространстве последствий Этот результат позволяет построить условия независимости по полезности «более высокого порядка», исходя из (1) более слабых условий независимости по предпочтению того же порядка, (2) условий независимости по полезности более слабого порядка. Анализ лотерей, включающих в себя более одного фактора, оказывается весьма затруднительным для лиц, принимающих решение: ведь в этом случае им приходится одновременно рассматривать и замещения между различными значениями факторов, и вероятности реализации различных исходов. Однако установить приемлемый порядок предпочтений между лотереями, включающими в себя лишь один фактор, часто все-таки удается. Также оказывается возможным, хотя это и нелегко, точно установить замещаемость двух факторов в условиях определенности при зафиксированных значениях остальных факторов. Решение каждой из этих задач нуждается в формулировании таких допущений, которые могут быть проверены и в случае их справедливости обеспечат возможность использования теорем 6.1-6.4, обусловливающих существование определеннных форм функции полезности.

Общий случай предлагаемой ниже теоремы достаточно доказать для поскольку каждый может рассматриваться как векторный фактор. Указанный выше фактор отличается от остальных факторов На протяжении этой главы нигде не будет ни предполагаться, ни подразумеваться, что или Следовательно, случай, при котором предпочтения относительно оказались бы независимыми в каком-либо

смысле от просто невозможен. Предполагается, что рассматриваемая ниже функция полезности непрерывна и каждый ее аргумент оказывает вполне определенное воздействие на предпочтения. Кроме того, предполагается, что предпочтения рассматриваются на ограниченной области X и ограничены. Через обозначаются соответственно наиболее и наименее желательные последствия.

Теорема 6.6. Пусть имеются три фактора Если не зависит по предпочтению от а фактор не зависит по полезности от тогда не зависит по полезности от

Предварительное замечание. Этот результат показывает, что независимость по предпочтению множества факторов от его дополнения может быть усилена до независимости по полезности при условии, что либо либо Теорема 6.6 предоставляет необходимые условия для допущения о независимости по полезности второго порядка через допущение о независимости по предпочтению второго порядка и допущения о независимости по полезности первого порядка.

Доказательство теоремы 6.6 является весьма сложным, но с помощью специальных обозначений его изложение можно упростить. Для того чтобы взбежать индексации тех местах, где это не является необходимым, переобозначим факторы следующим образом: Так, например, будет обозначать определенное значение фактора а сама функция полезности тогда будет записываться в виде

Идея доказательства. Метод доказательства можно проиллюстрировать, приняв за скалярные величины. Пусть будет произвольным фиксированным значением фактора Рассмотрим три кривые равного предпочтения (или, иначе говоря, кривые безразличия), изображенные на рис. 6.3а. Эти же самые условные кривые равноценности сохраняются и при любом другом значении так как Предположим, что при заданном значении известно Надо показать, что и при любом другом заданном значении фактора (например, равноценность сохраняется. В этом заключается смысл доказательства.

Одной из основных аксиом теории полезности является принцип замещения: при замене любого возможного исхода лотереи его эквивалентом сама лотерея не становится «и хуже, ни лучше. Следовательно, при заданных известно, что Но поскольку то отсюда следует, что если при заданном значении эта эквивалентность сохраняется также и при заданном значении Таким образом, можно геометрически продемонстрировать сущность

доказательства, а если каждая кривая равноценности пересекает одну общую горизонтальную прямую, то становится легко пояснить и его подробности. Но что случится, если появятся две кривые равноценности такие, как показаны на рис. 6.3 б? В этом случае придется несколько изменить приведенную выше аргументацию и поэтапно построить область соответствия.

Рис. 6.3. Иллюстрация доказательства теоремы 6.6

Сначала надо показать (см. рис. 6.3в), что условие независимости по полезности от справедливо для всех и пар в области Затем, поскольку линия пересекает можно показать, что это условие справедливой для всех Так как каждая пара из равноценна некоторой паре необходимое условие независимости по полезности может быть распространено и на область Затем выбирается некоторое значение такое, что линия пересекает область и процедура повторяется. В конечном счете одна из областей на рис. 6.3, в) пересечется с линией и справедливость условия независимости по полезности может быть доказана для этой линии и распространена на область Поскольку области А, шокрываютвсешры условие независимости по полезности справедливо для всех значений

Доказательство. Условие независимости по полезности

фактора S от можно представить следующим образом:

Поскольку не зависит по предпочтительности от из выражения (6.4) известно, что

Для жаждой пары из определяемой выражением

существует такое значение что

Из выражений (6.55) и (6.57) следует, что

Вычисляя выражение (6.58) с учетом выражения (6.54), находим

Объединяя это выражение с (6.67), получаем

Выражение (6.60) показывает, что не зависит по полезности от для йэсех Нам бы хотелось это условие распространить все возможные тары

Выберем такое при котором

Поскольку то из выражения (6.60) следует

Вычисляя выражение (6.54) при получим

Полагая в выражении (6.60), находим, что

Объединяя это выражение с (6.62), получаем

Сравнение выражений (6.64) и (6.54) при показывает, что

Подстановка выражений (6.61) и (6.65) в (6.54) при дает

Объединение этого выражения с (6.62) позволяет установить

Для того чтобы расширить область применения результата (6.67), определим область следующим образам:

Для любой пары существует такое значение что

поэтому из выражения (6.55) следует

Вычисление правой части выражения (6.69) с учетом (6.67) дает

Объединяя это выражение с (6.68), получаем

Равенство (6.70) показывает, что не зависит по полезности от фактора для пар принадлежащих области

Процесс затем снова повторяется, начиная с выражения (6.61). Выбирается такое значение что

Затем доказывается, что при замене на выражение (6.67) сохраняет свою справедливость. Далее выражение (6.70) распространяется на все такие пары что

Поскольку принято допущение о непрерывности функции и и о существенности фактора S (т. е. функция не является константой, положительно), то, повторив этот процесс при все более предпочтительных значениях на каждой итерации, в конце концов, получим, что

Поэтому для любой пары такой, что для некоторого значения

можно получить выражение для независимости по полезности, аналогичное выражению (6.70). Более формально, определим

Тогда из выражения (6.54) следует

и эта величина положительна. Далее при выборе последовательности

положим если таково, что В противном случае выберем таким, чтобы

Поскольку значение функции по определению должно быть меньше 1, то последовательность будет состоять максимум из членов.

Объединяя все выражения, аналогичные (6.60), (6.70), и действуя далее, точно так же, как мы действовали при определении области нетрудно показать, что

Что и требовалось доказать.