5.10. ПОСТРОЕНИЕ ФУНКЦИИ ПОЛЕЗНОСТИ В ЗАДАЧЕ О БОЛЬНИЧНОМ БАНКЕ КРОВИ

Данный параграф связывает воедино идеи этой главы и иллюстрирует предложенный метод построения многомерных функций

полезности. Для иллюстрации рассматривается конкретная практическая задача — задача управления запасами крови в больнице. При квантификации предпочтений лица, принимающего решение, относительно запасов крови в больнице были использованы положения § 5.8. Пространство последствий в этой задаче задается двумя факторами — дефицит крови и устаревание крови. Несмотря на то, что в данном примере имеются только два фактора, используемый общий метод можно применять для широкого круга задач, требующих для своего решения знания функций полезности, зависящих от многих переменных. Другие примеры использования функций полезности обсуждаются в гл. 7—9.

5.10.1. Проблема управления запасами крови в больнице. Для обоснования необходимости построения и использования функции полезности кратко обсудим саму проблему управления запасами крови в больнице и сформулируем ее как одну из постановок задач теории принятия решений. Дженингс (1968) разработал подробную модель системы хранения крови в больничном банке крови и исследовал методы управления для такой системы. Различные оперативные решения оценивались в этой модели по двум факторам — дефицит крови и устаревание крови. Под дефицитом понимается неудовлетворенное банком данной больницы требование врача на кровь. Если требование врача не может быть удовлетворено больницей, то возможны следующие решения: отправить в центральный банк крови заказ на кровь определенной группы, вызвать профессиональных доноров, отложить операцию и т. д., но только при исключительно редких обстоятельствах такая ситуация может привести к летальному исходу. Устаревшей считается кровь, не использованная в течение контрольного срока, который сейчас в большинстве больниц установлен равным 21 дню.

Основная проблема, которая постоянно стоит в задачах управления запасами крови и требует эффективней решения, — найти наилучшую стратегию для повседневного пополнения запасов крови. При этом для каждой группы крови может быть своя наилучшая стратегия. Предлагаемый ниже подход к решению этой проблемы может быть использован для пополнения запасов крови любой конкретной группы. Лицо, принимающее решение, должно произвести выбор из альтернативных действий, обозначенных через Для каждого существует распределение вероятностей на пространстве последствий, определяемом факторами , которые отражают соответственно дефицит крови и ее устаревание. Более конкретно, дефицит крови может быть выражен через годовой процент соответствующих единиц затребованной, но не полученной из запасов данной больницы крови, устаревание — через годовой процент соответствующих единиц устаревшей крови. Распределение вероятности может быть найдено как при помощи моделирования (например, используя модели, аналогичные модели Дженингса), так и из регистрационных журналов, имеющихся в банках крови.

Структура задачи о запасах крови проиллюстрирована на рис. 5.19, где через обозначен неопределенный исход альтернативного варианта действия На основе найденного совместного распределения вероятностей этих двух случайных величин и на основе своих предпочтений относительно различных последствий лицо, принимающее решение, должно выбрать определенный вариант действия.

Рис. 5.19. Задача о запасе крови в больнице

Вводные замечания. Излагаемые ниже результаты принадлежат Кини, который сотрудничал с врачом, заведующим банком крови в Кембриджской больнице (Кембридж, штат Массачусетс). В связи со своей работой над диссертацией, посвященной свойствам независимости по полезности и построению функций полезности, Кини специально посещал эту больницу. Целью его посещений было выяснение вопроса о том, можно ли в реальных ситуациях использовать свойство независимости по полезности для построения конкретных функций полезности. В целом автор не придерживался сложившихся приемов работы, обычно используемых аналитиками в процессе своей консультативной деятельности. Оставляя в стороне вопрос о том, является ли эта задача «абсолютно реальной», и тому подобные вопросы, укажем два основных недостатка этой работы, на которые следовало обратить внимание, если бы она была выполнена в рамках консультативной деятельности. Во-первых, прежде чем погружаться в исследование структуры полезности с помощью вопросов лотерейного типа, следовало бы попытаться исследовать структуру ценности, используя положения, обсуждавшиеся в гл. 3. Во-вторых, должное внимание не было уделено вопросу о том, учитывает ли лицо, принимающее решение, при квантификации своих предпочтений влияние последствий различных исходов лишь для себя лично или же в рассмотрение включаются последствия для пациентов, врачей, а также интересы больницы и общественности.

Несмотря на указанные недостатки, представляется, что обсуждаемый ниже процесс построения хорошо освещает общую методологию.

5.10.2. Построение функции полезности. Введение терминологии и основных положений. Первая встреча с врачом и медицинской сестрой, ответственной за организацию заказов на кровь, была посвящена их ознакомлению с работой Дженингса; медикам была разъяснена важность проведения оценки

предпочтительности последствий, определяемых на пространстве факторов: дефицит, устаревание крови. Во время второй встречи были оценены предпочтения медицинской сестры, которая в промежутке между этими встречами хорошо разобралась в самой работе Дженингса (1968) и в целях предстоящего опроса. Прежде чем приступить к количественному описанию предпочтений медсестры, ей как лвду, принимающему решение, объяснили цели и задачи теории полезности, а также смысл используемых показателей (факторов). Таким образом, можно считать, что лицо, принимающее решение, понимало смысл оценки своих предпочтений и имело достаточно оснований тщательно обдумывать свое отношение к различным последствиям.

Количественная формализация предпочтений проводилась в предположении о том, что дефицит крови никогда не будет превышать 10% от необходимого количества крови, измеряемого в определенных единицах, и что устаревшая кровь также не составит более 10% от общего количества единиц крови, поступающей в банк в течение года. Таким образом, было ограничено пространство последствий, как это показано на рис. 5.20.

Рис. 5.20. Пространство последствий, описываемых с помощью факторов дефицита и устаревания кровя

Рис. 5.21. Тест для проверки независимости по полезности

Кроме того, было проверено, правильно ли понимает мидицинская сестра смысл произвольной точки в пространстве последствий. Когда стало ясно, что она полностью понимает основные положения, была начата сама процедура количественного описания предпочтений. Именно в этот момент было еще раз подчеркнуто, что на задаваемые вопросы не существует объективно правильных или объективно неправильных ответов.

Проверка соответствующих допущений о независимости. Необходимо было проверить, является фактор У (дефицит) независимым по полезности от фактора Z (устаревание). Это было сделано при помощи графической иллюстрации пространства последствий (рис. 5.21, где представляют собой последствия). Как и ранее, через обозначается лотерея с равновероятными исходами . Медсестре задавался вопрос: является ли, с ее точки зрения, детерминированный исход 5 более предпочтительным, чем лотерея Исход S выбирался таким образом, чтобы вопрос был относительно легким. Как и ожидалось, медсестра предпочла исход (последствие) . Затем ей предложили сделать выбор между лотереей и детерминированным исходом Т - предпочтительнее оказалась лотерея этот вопрос был также относительно простым. Постепенно ставились все более и более трудные вопросы о предпочтительности: между лотереей и исходом между лотереей и исходом и так далее до тех пор, пока не была окончательно установлена равноценность лотереи исходу (6,5; 0). Затем была повторена серия аналогичных вопросов, где уже вместо лотереи использовалась лотерея результате было установлено, что лотерея равноценна (6,5; 6). При этом медсестра выражала недоумение по поводу того, почему значение фактора У в этом случае должно отличаться от значения 6,5, полученного в результате предыдущей серии вопросов. Относительно более общего вопроса она выразила уверенность, что такая независимость справедлива для всех фиксированных значений фактора На основе этого было сделано заключение о том, что фактор У является независимым по полезности от Аналогично было установлено, что и фактор Z не зависит по полезности от У. Таким образом, оба фактора оказались взаимонезавишмыми по полезности и появилась возможность использовать обсуждавшуюся ранее полилинейную функцию полезности.

Построение условных функций полезности. Следующим этапом явилось построение условной функции полезности для последствий . В процессе построения легко было установить, что предпочтительность таких последствий монотонно убывает по у. Ранее было выявлено, что лотерея равноценна детерминированному исходу (6,5; 0). Дополнительно было найдено, что лотерея равноценна исходу , а лотерея исходу (8,5; 0). Отсюда возникло предположение, что условная функция полезности последствий , обозначаемая дальше через , отражает несклонность к риску. Начало отсчета и единица измерения

функции были произвольно установлены следующими равенствами:

Точки, соответствующие этим значениям функции полезности, нанесены на график (см. рис. 5.22, а). Для простоты была выбрана функция полезности вида -есу). Значение параметра с установлено из равноценности лотереи и исхода (6,5; 0). Из выражения (5.97) определено значение параметра Окончательно функция полезности приняла вид

который показан на рисунке.

Рис. 5.212. Функции полезности в задаче о запасе крови в больнице

Найденная функция хорошо описывала значение полезности и в других точках, найденных эмпирическим путем. Поскольку значения параметров и с положительны, функция полезности является монотонно убывающей и отражает несклонность к риску.

Аналогично, при построении условной функции полезности было установлено, что лотерея равноценна исходу (0; 5,5), лотерея — исходу , а лотерея исходу . С учетом шкалирующих условий

были найдены значения функции полезности, которые показаны на рис. 5.22,б. В соответствии с полученной кривой была построена следующая функция полезности:

Оценка шкалирующих констант. Следующим шагом в проведенной процедуре построения функции полезности являлось согласование шкал для измерения функций При этом было установлено, что последствие (0, 10) предпочтительнее последствия (10, 0), последствие -предпочтительнее последствия и, наконец, что последствие (0, 10) равноценно последствию (4,75; 0). Таким образом, появилась возможность выбрать единую шкалу функции полезности для последствий . Функцию полезности, измеряемую с помощью этой шкалы, будем обозначать через . Для этого сначала положим

и определим следующими равенствами:

Из выражений (5.96), (5.97), (5.102) и (5.104) следует, что

Аналогично, из выражений (5.99), (5.100), (5.102) и (5.105) вытекает, что

Известно также, что , откуда, используя выражения (5.100), (5.106) и (5.107), получаем

Из выражения (5.98) находим Подставив это значение в выражение (5.108), имеем

Поскольку факторы взаимонезависимы по полезности, функция имеет вид

Подставляя в выражение (5.110) значения функций из выражений (5.98), (5.101), (5.106), (5.107), и (5.109), получаем

Для полного завершения процесса построения функции выражение необходимо найти еще значение только одного параметра С этой целью было установлено, что для лица, принимающего решение, лотерея равноценна детерминированному исходу . Тогда, используя выражения (5.102) и (5.103), получаем

Теперь из выражения (5.111) можно найти значение функции полезности в точке и приравнять его значению выражения (5.112). Отсюда

Подставив полученное значение параметра в выражение (5.111), получим искомую функцию полезности (см. рис. 5.23)

Проверка согласованности. Полученная функция полезности в дальнейшем была подвергнута двум видам проверки на согласованность. Сначала при помощи процедуры, отличной от использованной ранее, проверялось, действительно ли условные функции полезности отражают несклонность к риску.

Рис. 5.23. Функция полезности для факторов дефицита и устаревания крови

Рис. 6.24. Проверка согласованности

По мнению лица, принимающего решение, исход предпочтительнее лотереи для , и, таким образом, функция действительно отражает несклонность к риску. Такой же анализ привел к аналогичному выводу и для функции .

Вторая проверка основывалась на парных сравнениях последствий (детерминированных исходов) , указанных на рис. 5.24. При ее проведении выяснилось, что для лица, принимающего решение, и где символ означает «предпочтительнее, чем». В таблице к рис. 5.24 представлены значения, полезности, рассчитанные по

формуле (5.114). Проверка показывает, что эти значения согласуются с установленными результатами парных сравнений, проведенными лицом, принимающим решение. Эта согласованность имеет место, несмотря на то, что лишь одно из парных сравнений было относительно легким, т. е. выбор был очевиден. Конечно, каждый конкретный результат парных сравнений хотя бы отчасти случаен. Тем не менее такой метод проверки согласованности очень важен.

5.10.3. Выводы. Использование общих свойств структуры предпочтений, таких, как независимость по полезности, позволяет преодолеть некоторые трудности, связанные с построением многомерных функций полезности. Такой подход уменьшает тот реальный объем субъективной информации, который необходим для построения функции полезности. Описанная выше процедура позволяет не только установить, обладает ли структура предпочтений таким свойством, как независимость по полезности, но и построить многомерные функции полезности.

Следует сделать два заключительных замечания относительно рассмотренного выше процесса построения функции полезности. Во-первых, лицо, принимающее решение (медсестра), проделанной работе отнеслось с большим интересом и увлечением, предпочтения обдумывались тщательно и глубоко. Имевшее место сотрудничество позволило провести процедуру построения ровно и спокойно. Полученная в результате функция полезности адекватно отражает истинные предпочтения. Во-вторых, медицинская сестра, выступавшая в роли лица, принимающего решение, кроме специальной медицинской подготовки имела еще и диплом о высшем гуманитарном образовании, но абсолютно не была подготовлена в области точных наук. Однако это ни в коей мере не затруднило процесс построения. Отсюда можно прийти к выводу, что Откровенность и готовность к обдумыванию своего отношения к анализируемым различным последствиям имеют большее значение для правильной квантификации предпочтений, чем какое бы то ни было образование в области точных наук.