5.8. ПРОЦЕДУРА ПОСТРОЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ ФУНКЦИИ ПОЛЕЗНОСТИ

После ознакомления с методами построения функций полезности, зависящих только от одного фактора (см. гл. 4), невозможность установления четкой последовательности действий, обеспечивающих построение удовлетворяющих нас функций полезности в случае большого числа факторов, не должна вызывать удивления. Процесс построения таких функций полезности, так же как и одномерных функций, требует интуиции и творческого подхода. Напомним, что прежде чем переходить к формализации каких-либо предпочтений или установлению полезностей, необходимо, чтобы аналитик (специалист по теории принятия решений), проводящий опрос, уже должным образом подготовил к работе

лицо, принимающее решение, или уполномоченного им эксперта. Поэтому мы будем предполагать, что те лица, которые предоставляют информацию в процессе решения рассматриваемой задачи, четко понимают цель исследования и готовы к тщательному анализу своего отношения к различным последствиям.

С этого момента начинается процесс построения функции полезности лица, принимающего решение. Как и в случае одного фактора, процедура построения может быть разбита на отдельные части. Это позволит в процессе обсуждения подробно остановиться на всех основных аспектах процедуры.

Хотя в нашем рассмотрении основное внимание будет сконцентрировано на построении двумерных функций полезности, большинство рассматриваемых положений являются справедливыми и для многомерных функций полезности. При построении функции полезности можно придерживаться предлагаемой нами последовательности из следующих пяти стадий:

1. Введение терминологии и основных положений.

2. Проверка необходимых допущений о независимости.

3. Построение условных функций полезности или кривых равного предпочтения.

4. Нахождение значений шкалирующих констант.

5. Проверка согласованности и проведение итерации.

5.8.1. Используемая терминология и основные положения. Предположим, что проблема принятия решения уже структуризована и выделены два фактора , адекватно характеризующие последствия. Нам необходимо построить функцию полезности для всех возможных последствий . В качестве наглядной иллюстрации для лица, принимающего решение, пространство последствий может быть, например, представлено так, как это изображено на рис. 5.15.

Прежде чем перейти к определению функции полезности, лицу, принимающему решение, необходимо объяснить, что нас интересуют не чьи-либо вообще, а именно его предпочтения. Ведь объективных предпочтений не существует в принципе, и все предпочтения характеризуют лишь субъективные представления лица, принимающего решение. Если в какой-либо момент у лица, принимающего решение, возникают сомнения по поводу данной им информации о своих субъективных представлениях, необходимо дать ему понять, что это не страшно. Возможность изменять свое мнение является условием корректности анализа, а также одновременно

отвечает одной из его целей — помочь лицу, принимающему решение, тщательно проанализировать свои предпочтения и согласовать их со своими представлениями.

Теперь аналитик (возьмем эту роль на себя) должен убедиться, что представление пространства последствий, изображенное на рис. 5.15, является понятным для лица, принимающего решение. Под последствием будем понимать то последствие, для которого на рисунке Объяснив это, можно спросить у лица, принимающего решение, что подразумевается под последствием Правильным ответом является, конечно же, последствие с Лицо, принимающее решение, должно уяснить, по каким направлениям происходит увеличение значений факторов у и z на рис. 5.15.

Рис. 5.15. Пространство последствий в случае двух факторов

Далее полезно область, на которой нам предстоит дать количественное описание предпочтения, ограничить до минимальных размеров. Из проведенной ранее структуризации проблемы, в процессе которой участвовало лицо, принимающее решение, должны быть уже известны используемые максимальные и минимальные значения факторов . Теперь выберем такие, чтобы для всех возможных значений выполнялись неравенства Значения ограничений должны быть выбраны так, чтобы они были удобны и содержательны для лица, принимающего решение. Если, например, у, измеренный в определенных единицах, изменяется от 0 до 8,75, можно установить следующие ограничения: Значение ограничения, например скорее всего, будет бессодержательно для лица принимающего решение. На самом деле предпочтения должны оцениваться лишь для тех последствий , для которых выполняются условия Эта область допустимых последствий показана на рис. 5.15.

Для того чтобы окончательно проверить, насколько хорошо лицо, принимающее решение, представляет себе пространство последствий, следует задать ему вопрос: предпочтет ли оно последствие Т последствию которые изображены на рис. 5.15? В качестве точек следует выбрать такие последствия, что, по мнению аналитика, лицо, принимающее решение, наверняка в состоянии предпочесть одно из них. Если предпочтение лица, принимающего решение, в этом случае совпадает с ожидаемым результатом, то можно переходить к более сложным вопросам. Если нет, то следует продолжить разъяснение и, возможно, повторить частично или даже полностью процесс обучения.

На этом мы закончим обсуждение рассматриваемой стадии. Главная мысль состоит в том, что лицо, принимающее решение,

необходимо ознакомить с основными принципами, используемыми построении его функции полезности.

5.8.2. Проверка справедливости необходимых допущений о независимости. В этом пункте рассматриваются процедуры проверки справедливости допущений о наличии аддитивной независимости и независимости по полезности между факторами .

Аддитивная независимость. Предположим, что нам нужно оценить предпочтения на пространстве последствий, заданном ограничениями (рис. 5.16) По определению, данному в § 5.3, факторы являются аддитивно независимыми тогда и только тогда, когда лотереи

равноценны при всех значениях и фиксированных определенных значениях Таким образом, самый простой способ проверки справедливости допущения об аддитивной независимости состоит в следующем. Выбрав определенные значения у и проверим, действительно ли равноценны лотереи для некоторых пар .

Рассмотрим практическую реализацию такой процедуры проверки. Пусть значения факторов разбиты на четыре равных отрезка точками соответственно (см. рис. 5.16) и пусть лотерея равноценна лотерее для любой пары , где у и z принимают выделенные выше дискретные значения. Тогда естественно считать, что факторы аддитивно независимы.

Рис. 5.16. Графическая иллюстрация проверки условий аддитивной независимости

Рис. 5.17. Графическая иллюстрация проверки условия независимости по полезности фактора от Z

Другая процедура проверки справедливости допущения об аддитивной независимости основана прежде всего на проверке взаимной независимости факторов .

Вспомним, что взаимная независимость по полезности является необходимым, но не достаточным условием аддитивной независимости. Если факторы взаимонезависимы по полезности, та они являются аддитивно независимыми лишь в том случае, когда существуют такие значения при которых исход не равноценен ни исходу ни исходу а лотереи

равноценны. С другой стороны, если существуют такие две лотереи которые не равноценны, то допущение об аддитивной независимости несправедливо.

Независимость по полезности. Снова предположим, что имеются два скалярных фактора , и необходимо оценить предпочтения в области последствий, которая задана ограничениями (см. рис. 5.17). Буквами и так. далее обозначены последствия, которые будут использоваться при обсуждении.

Проверку справедливости допущения о независимости по полезности У от Z начнем с вопроса к лицу, принимающему решение: предпочтет ли он лотерею приводящую к равновероятным исходам , или детерминированный исход (последствие) Исход 5 выбран таким образом, чтобы заранее можно было предугадать ответ. Пусть лицо, принимающее решение, исходу S предпочитает лотерею и этот результат совпадает с ожидаемым. Тогда лицу, принимающему решение, следует задать второй вопрос: предпочитает ли он лотерею детерминированному исходу Т, где исход Т выбран так, чтобы он представлялся более предпочтительным. Далее, необходимо выяснить относительную предпочтительность лотереи и детерминированного исхода Исход выбран «недалеко» от . Поэтому следует ожидать, что исход окажется предпочтительнее лотереи Однако этого может и не произойти. Такая процедура продолжается до тех пор, пока не будет найден такой исход который окажется для лица, принимающего решение, столь же желательным (или нежелательным), что и сама лотерея Таким образом, исход оказывается детерминированным эквивалентом лотереи

Если аналитик заметит, что какие-либо из выявленных предпочтений лица, принимающего решение, не соответствуют «истинным» предпочтениям этого лица, то он должен ему указать на эту «рассогласованность» и проанализировать ее вместе с ним.

Из рис. 5.17 видно, что исходы имеют одинаковые значения Z и различаются только значениями фактора У. Теперь рассмотрим набор исходов с другим общим

значением фактора Z (например, z) и проанализируем их аналогично. Сначала определим, является ли детерминированный исход Т более предпочтительным для лица, принимающего решение, чем лотерея Во избежание необдуманного повторения ответов, данных на вопросы предыдущей серии, исход Т должен быть выбран так, чтобы он отличался от исхода Т не только фактором но и фактором У. Пусть лицо, принимающее решение, лотерее предпочитает исход Т. Тогда нужно последовательно задать вопросы о его предпочтениях относительно лотереи и исхода лотереи и исхода и, в конечном итоге, найти исход такой, который для лица, принимающего решение, равноценен лотерее Если исходы имеют одинаковое значение лежит непосредственно над на рис. 5.17), то можно сделать предположение, что фактор У не зависит по полезности от фактора

Итак, было установлено, что относительные предпочтения между исходами совпадают с относительными предпочтениями между исходами .

Всю описанную процедуру следует повторить заново для другого значения фактора Z (например, и найти исход являющийся детерминированным эквивалентом лотереи Если при этом значения фактора У для этого исхода оказываются такими же, как и для исходов , то можно считать, что фактор У не зависит по полезности от Это допущение может быть еще раз проверено путем повторения всей процедуры поиска, например, исхода равноценного лотерее и исхода равноценного лотерее Если фактор У действительно не зависит по полезности от фактора то исходы должны иметь равные значения фактора У.

Наконец, лицу, принимающему решение, надо задать следующий вопрос: лотерея равноценна последствию и 2) лотерея равноценна последствию можно ли тогда заключить, что лотерея равноценна последствию для всех значений

Если фактор У не зависит по полезности от то ответ должен быть утвердительным. И, наконец, последний вопрос, задаваемый лицу, принимающему решение: если при произвольно выбранных значениях лотерея равноценна последствию для конкретного значения будет ли такая равноценность выполняться для всех возможных значений фактора Положительный ответ на этот вопрос позволяет окончательно утверждать, что фактор У не зависит по полезности от фактора

Другой путь проверки независимости по полезности фактора У от Z состоит в следующем. Аналитик предлагает лицу, принимающему решение: «Рассмотрим лотерею с равновероятными исходами заданном значении например Посмотрите на расположенный перед Вами рисунок. Подумайте,

пожалуйста, при каком значении у детерминированный исход, содержащий это значение у и всегда фиксированное значение будет для Вас равноценен лотерее с упомянутыми равновероятными исходами. Не спешите с ответом»... «Ну, хорошо, — продолжает аналитик — теперь скажите, когда Вы обдумывали, какое значение у является подходящим для Вас, принимали ли Вы во внимание заданное конкретное значение Представьте, что уровень z был бы задан значением вместо повлияло бы это на Ваши рассуждения?» Предположим, последовал отрицательный ответ. Тогда аналитик должен проверить вместе с лицом, принимающим решение, справедлива ли такая независимость предпочтений в общем случае при произвольном изменении как так и и . Если такая проверка подтверждает выдвинутую гипотезу, тогда У можно считать независимым по полезности от

Если в результате первой серии вопросов было обнаружено, что исходы и различаются по значению фактора У, тогда, предполагая, что исходы верно отражают предпочтения лица, принимающего решения, фактор У нельзя считать независимым по полезности от фактора Однако, поскольку свойство независимости по полезности нерефлексивно, фактор Z может оказаться независимым по полезности от У. Если значения фактора У исходов достаточно близки, истинную функцию полезности можно аппроксимировать, допуская независимость по полезности фактора У от фактора и приступить к построению соответствующей этому случаю функции полезности.

Обозначим детерминированный эквивалент лотереи через . В действительности, часто лицо, принимающее решение, может ощущать наличие слабой зависимости от Однако в этом случае иногда бывает удобно (и допустимо) «закрыть на это глаза» и принять равным определенному фиксированному значению для всех при условии, что соответствующий диапазон изменения z невелик. Таким образом, в практических ситуациях часто бывает весьма важно иметь возможность ограничить область изменения того фактора, от которого наблюдается слабая зависимость другого. Один из способов, обеспечивающих такое ограничение, — исключение из рассмотрения тех действий, которые доминируются или «практически» доминируются другими. Ограничив область изменения фактора можно сделать более приемлемой такую идеализированную в данной ситуации абстракцию (в принципе она может быть неадекватна действительности), как независимость по полезности У от Аналогичное обсуждение проводилось в п. 5.6.6.

5.8.3. Построение условных функций полезности. Условные функции полезности для для Z могут быть функциями как одного фактора, так и нескольких. Это значит, что соответствующие аргументы у и могут быть либо векторами, либо скалярами. В том случае, когда аргументы являются векторными величинами, можно надеяться, что, используя обсуждаемые в данной и следующей главах свойства независимости, удастся

провести декомпозицию функции полезности и тем самым понизить размерность аргументов тех функций полезности, которые подлежат непосредственному нахождению (непосредственной оценке). Если такую декомпозицию провести не удается, следует использовать некоторые положения, рассмотренные в § 5.1 или 5.7.

С другой стороны, когда условные функции полезности зависят от одномерных аргументов, для их нахождения можно использовать процедуры, обсуждавшиеся в гл. 4. Если при этом для проверки справедливости допущения о независимости по полезности была использована предложенная выше процедура, то. при построении условных функций полезности могут быть использованы детерминированные исходы, эквивалентные рассматриваемым в процедуре лотереям. Ясно, что подобного рода информацию, полученную при проверке допущений о независимости, необходимо использовать возможно шире.

5.8.4. Нахождение значений шкалирующих констант. Во всех моделях, описанных в этой главе, функции полезности определялись с помощью некоторого количества условных функций полезности для отдельных факторов и соответствующих шкалирующих констант. Например, для определения полилинейной функции полезности, рассмотренной в § 5.4,

необходимо было построить по одной условной функции полезности для каждого фактора , а также найти значения трех шкалирующих констант: Поскольку шкалирующие константы используются для обеспечения внутренней согласованности функции обе функции полезности в выражении (5.71) могут быть шкалированы так, чтобы они изменялись от 0 до 1.

Для того чтобы установить значения трех шкалирующих констант, можно попытаться получить систему из трех независимых уравнений относительно этих констант и решить ее. Эти уравнения могут быть получены из результатов сравнения с точки зрения предпочтительности детерминированных исходов, лотерей, а также тех и других одновременно. Пользуясь результатами сравнения детерминированных исходов, найдем одно из уравнений, связывающих шкалирующие коэффициенты. Пусть детерминированные исходы, т. е. последствия равноценны» приравнивая тогда полезности, вычисленные в соответствии с выражением (5.71), получаем

Обе функции полезности считаются известными, поскольку предполагается, что они уже построены. Поэтому выражение (5.72) является уравнением, содержащим как максимум три неизвестных. Используя равные по предпочтительности лотереи к детерминированные исходы, также можно найти уравнения для

шкалирующих констант. Предположим, что детерминированный исход равноценен лотерее которая дает исход с вероятностью и исход с вероятностью Тогда, приравняв ожидаемые полезности, имеем

Подставляя в это уравнение значения полезностей, полученные из выражения (5.71), мы приходим к уравнению относительно Отсюда ясно, что из результатов сравнения детерминированных «сходов, лотерей и их комбинаций можно найти три независимых уравнения относительно трех неизвестных Проиллюстрируем этот факт.

Снова рассмотрим полилинейную функцию полезности, определяемую выражением (5.71), где начало отсчета функций задано равенствами

Предположим, нас интересуют предпочтения на пространстве последствий, ограниченном неравенствами Для упрощения предположим также, что с ростом значения факторов увеличивается и предпочтительность соответствующих последствий, поэтому функции полезности могут быть шкалированы следующим образом:

Используя равенства (5.75) для вычисления выражения (5.71) в точке получаем

Далее, вычисление значения выражения (5.71) в точках Дает соответственно

Попробуем теперь установить, какой из параметров имеет большее значение, или Это можно сделать, выяснив, например, у лица, принимающего решение, какое из последствий или будет более предпочтительным. Из выражения (5.77) следует, что, если более предпочтительным будет последствие , то если же последствие будет предпочтено последствию то Если оба последствия равноценны, то Предположим, было найдено, что тогда можно попытаться найти такое значение у, чтобы последствия были равноценны для лица, принимающего решение. Приравняв их полезности, вычисленные с помощью выражения (5.71), получим

где значение известно. Для того чтобы помочь лицу, принимающему решение, определить значение у, можно предложить ему выбор между последствиями где значение у

зафиксировано. Если первое последствие окажется предпочтительнее второго, значение у нужно уменьшить и снова предложить выбор между такими последствиями. Если предпочтительнее окажется второе последствие, значение у следует увеличить и снова повторить процедуру выбора. Таким образом, можно довольно быстро найти значение у.

Уравнение (5.78) является результатом рассмотрения детерминированных исходов для определения значений шкалирующих констант. Рассмотрим теперь пример нахождения шкалирующих констант с использованием сравнения лотерей. Предположим, что с помощью методов, обсуждавшихся в гл. 4, была найдена вероятность такая, что детерминированный исход равноценен лотерее Используя выражение (5.71) и приравнивая ожидаемые полезности, находим

Система уравнений (5.76), (5.78) и (5.79) содержит три неизвестные величины и может быть решена относительно них. Для легко найти, что

Распространим приведенные рассуждения на более общий случай. Результаты, полученные в настоящей главе, позволяют выразить функцию полезности и , зависящую от двух факторов, через условные функции полезности от отдельных факторов и соответствующие шкалирующие константы. Так, если мы используем условных функций полезности (построенных соответственно для факторов и шкалирующих констант, то функцию полезности можно выразить следующим образом:

где имеет определенную функциональную форму. Функции полезности в выражении (5.81) могут быть шкалированы так, чтобы они изменялись от 0 до 1, поскольку их значения согласуются при помощи шкалирующих констант.

Таким образом, для расчета шкалирующих констант необходимо найти независимых уравнений и решить их. Как было показано, каждое уравнение может быть получено из рассмотрения детерминированных исходов и лотерей.

Здесь возникает важная для практических приложений задача — как избежать зависимости между уравнениями. В практических ситуациях наше понимание проблемы и знание функционального вида функции полезности, по-видимому, являются лучшими помощниками в получении независимых уравнений. Когда среди составленных уравнений все же оказываются зависимые, необходимо вместо такого зависимого уравнения найти «а основе эмпирических данных другое независимое уравнение и включить его

в систему. Для иллюстрации вернемся к описанному выше примеру.

Предположим, что после того, «как получено выражение (5.78), были найдены такие значения у" и при которых последствия являются одинаково желательными. Тогда, приравнивая ожидаемые полезности этих исходов, получаем

Выражения (5.76), (5.78) и (5.82), очевидно, представляют собой систему трех уравнений с тремя неизвестными, но уравнения (5.78) и (5.82) зависят друг от друга. Каждое из них связано с согласованным шкалированием функций Для того чтобы обойти это затруднение, можно, очевидно, использовать шкалирование на основе сравнения лотерей, что было сделано в приведенном выше примере. Если по «аким-либо причинам удобнее использовать шкалирование на основе сравнения детерминированных исходов, можно найти такое значение у", при котором последствие равноценно последствию Тогда, естественно,

где значение известно. Полученное теперь уравнение (5.83) не зависит ни от уравнения (5.87), ни от (5.82). Поэтому уравнения (5.76), (5.78) и (5.83), например, могут быть выделены в систему и решены относительно неизвестных а выражение (5.82) можно использовать для проверки внутренней согласованности получаемой функции и .

5.8.5. Проверка согласованности и проведение итераций. Для поиска и обнаружения ошибок в построении функции полезности существует большое количество различных способов проверки. Под такими ошибками понимается неадекватность найденной функции полезности и предпочтений лица, принимающего решение. В этом параграфе нами описаны три способа проверки такой согласованности. На основе этих способов аналитик легко может разработать и новые процедуры проверки, позволяющие обнаружить подобную неадекватность, если она имеется.

Один из предлагаемых нами методов проверки основан на использовании парных сравнений различных последствий. Так, для проверки полученной функции полезности можно обратиться к лицу, принимающему решение, с вопросом: предпочитает ли он последствие последствию Если это так, то при наличии согласованности значение функции должно быть больше значения Такого рода проверка может быть повторена столько раз, сколько требуется для того, чтобы появилась уверенность в ее результатах. При этом разумно начинать с более простых сравнений и постепенно переходить к более трудным. Подобная организация процедуры позволяет подготовить лицо, принимающее решение, к вынесению суждений в трудных ситуациях выбора между последствиями.

Более систематизированный способ организации такой процедуры состоит в использовании функции и, определенной на для получения семейства кривых равного предпочтения на плоскости (конечно, предполагается одномерность каждого из факторов . Затем лицу, принимающему решение, предлагается установить, представляются ли ему обоснованными такие кривые.

Другой способ проверки функции полезности — выяснение степени склонности лица, принимающего решение, к риску. Для этого попользуются последствия, располагающиеся на положительных лучах вида где Лицу, принимающему решение задается вопрос: какой именно детерминированный исход вида по его мнению, равноценен лотерее В случае, когда функция и является возрастающей по у, лицо, принимающее решение, можно считать не склонным к риску, если значение оказывается меньше В § 4.4 были разработаны теоретические основы для установления склонности лица, принимающего решение, к риску при помощи различных положительных лучей такого типа. Предположим выяснилось, что он на самом деле не склонен к риску. Тогда, если предпочтительность последствий возрастает при увеличении значений факторов , то в соответствии с теоретическими положениями § 4.5 становится понятно, что при наличии согласованности производная должна быть положительна, а производная отрицательна для всех у. Символы обозначают соответственно первую и вторую производную функции и по у. Если лицо, принимающее решение, склонно к риску, то, конечно, эта склонность должна быть отражена и в функции полезности .

В ситуациях, когда установлен определенный конкретный вид функции полезности, могут быть использованы и более частные способы проверки согласованности. Например, если и имеет полилинейную форму вида (5.16), то в рассмотренной выше процедуре можно было бы выбрать произвольные значения при которых

и проверить затем знак параметра следующим образом. Спросим у лица, принимающего решение: предпочитает ли он лотерею лотерее Если лотерея оказывается предпочтительнее лотереи то параметр должен быть положительным. Если лотереи равноценны, то параметр должен быть равен нулю. И наконец, если лотерея представляется предпочтительнее лотереи то параметр должен быть отрицательным. Кроме того, если лотерея I, оказывается предпочтительнее лотереи при каком-либо одном определенном наборе значений удовлетворяющих

условиям (5.84), то такая предпочтительность должна сохраняться и при всех других наборах значений факторов , удовлетворяющих условиям (5.84). Более подробно об этом сказано в § 5.4.

На практике, для того чтобы разработать действенные и эффективные процедуры проверки согласованности, аналитику вовсе не приходится напрягать свое воображение. Если, как указывалось выше, при проверке согласованности обнаруживаются противоречия с выявленными ранее предпочтениями лица, принимающего решение, тогда нужно обратить его внимание на эти противоречия и повторить некоторые этапы процедуры построения функции полезности для получения согласованных предпочтений. Дальнейший анализ задачи может быть продолжен лишь после того, как будет получена такая функция полезности, которая по мнению как лица, принимающего решение, так и аналитика, действительно отражает истинные предпочтения. Конечнр, если лицо, принимающее решение, придерживается твердых и неизменных взглядов по всем вопросам, но его мнения противоречивы, тогда положение очень осложняется. Однако в реальных ситуациях лицо, принимающее решение, в правильности одних своих ответов более уверено, а других — менее. Именно эта различная степень уверенности в отношении разных ответов и порождает противоречия в самих ответах. На самом деле обычно все-таки удается получить окончательный согласованный набор ответов, которые не находятся в неустранимых противоречиях с убеждениями лица, принимающего решение. И наконец, если ни лицо, принимающее решение, ни аналитика полностью не удовлетворяет ни одна «компромиссная» функция полезности, у них всегда остается возможность развеять свои сомнения при помощи анализа чувствительности.