3.5. СЛУЧАЙ ТРЕХ КРИТЕРИЕВ

Мы можем непосредственно обобщить результаты, полученные в § 3.4, на случай трех критериев. Теперь вместо двух критериев мы будем рассматривать три: . Оценочные функции отображают всякое действие а пространства действий в точку трехмерного пространства последствий.

3.5.1. Условные предпочтения. Мы начинаем с рассмотрения структуры условных предпочтений в пространстве при заданной величине Z (равной, например,

Определение. Последствие условно предпочтительнее последствия при заданном тогда и только тогда, когда предпочтительнее, чем .

Условное безразличие (в выборе между двумя последствиями) определяется аналогично, так что мы можем говорить об условных кривых безразличия в пространстве при заданном

Обычно структура условного предпочтения для критериев при фиксированном значении z критерия Z зависит от значения Например, предельный коэффициент замещения в точке может зависеть от Однако в некоторых случаях структура условного предпочтения в пространстве при фиксированном не будет зависеть от Таким образом, мы приходим к следующему определению:

Определение. Пара критериев независима по предпочтению от если условные предпочтения в пространстве при фиксированном z не зависят от

Отметим, что если пара {Х, У} независима по предпочтению от то коэффициент замещения между в точке при фиксированном z не зависит от для любых Следовательно, множество кривых безразличия в пространстве критериев X, У не зависит от Более того, в силу условия независимости по предпочтению эти кривые одинаково упорядочены по предпочтительности.

Предположим, что пара независима по предпочтению от В этом случае мы можем сказать, что если

где символ читается «не менее предпочтителен, чем, то

Следующие два примера указывают случаи, когда имеет место независимость по предпочтению.

Предположим, что тремя критериями, по которым оценивается предложенный строительный проект, являются качество, Т — время до завершения (отрицательно ориентированный критерий) — стоимость (отрицательно ориентированный критерий). При определенных условиях величина замещения между качеством и временем до завершения может не зависеть от стоимости проекта. В этом случае пара была бы независима

по предпочтению от С. Мы могли бы обнаружить также, что при фиксированном уровне качества структура предпочтений в подпространстве (время, стоимость) не зависит от конкретного уровня Иными словами, может быть независима по предпочтению от Т. Какое из этих предположений фактически будет выполняться, зависит от конкретной постановки задачи.

Второй пример касается предложенной программы, оцениваемой критериями: прибыль типа прибыль типа — стоимость (отрицательно ориентированный критерий).

Если прибыли обоих типов должны быть сбалансированы, то, по-видимому, пара не будет независимой по предпочтению от и пара не будет независимой по предпочтению от Однако вполне правдоподобно, что пара будет независимо по предпочтению от С.

3.5.2. Понижение размерности. Каким образом мы можем использовать в нашем методе измерения тот факт, что по мнению лица, принимающего решение, не зависит по предпочтению от . В следующем параграфе мы изложим специальный метод для случая, когда каждая пара критериев независима по предпочтению от оставшегося критерия. А сейчас примем, что известно только о независимости по предпочтению от

Рассмотрим структуру условного предпочтения по для какого-нибудь фиксированного значения Заметим, что в силу нашего предположения о независимости по предпочтению не важно, какое именно это значение Мы будем рассматривать лишь специальный случай, когда кривые условного безразличия в пространстве пересекают прямую при надлежащим образом выбранном у. Мы будем говорить о у как о базовом значении У. (Если такого значения у не существует, то метод, который мы изложим, должен быть немного изменен.) Кривая безразличия, проходящая через типичную точку пересечет прямую в некоторой точке как показано на рис. 3.22.

Рис. 3.22. Использование независимости по предпочтению для понижения размерности

Заметим, что х зависит от выбора у и точки Для того чтобы подчеркнуть это обстоятельство, будем писать

Отметим также, что в обозначениях, принятых для трехмерного пространства,

Следовательно, сравнение по предпочтительности любых двух троек может быть сведено к сравнению по предпочтительности где

Таким образом, наша общая задача измерения теперь формально сводится к рассмотрению структуры условного предпочтения для при фиксированном уровне критерия У. Вместо того чтобы сравнивать в трехмерном пространстве, мы теперь должны произвести сравнение при условии, что значение у фиксировано. Мы, по существу, использовали наше предположение, чтобы свести сравнение в трехмерном пространстве к сравнению в двухмерном пространстве.

Несколько слов о преобразовании Т. Допустим, что в множестве все действия пронумерованы: Напомним еще раз, что пара независима по предпочтению от Если мало, то может иметь смысл попросить лицо, принимающее решение, прямо указать для каждого а такое значение при котором будут одинаковы по предпочтительности у]. Может случиться, что получить ответы на такие вопросов будет намного легче, чем установить структуру условного предпочтения на плоскости

Если очень велико, то этот способ становится нереальным. Однако, если мы вправе представить функцию ценности на плоскости в виде

(см. п. 3.4.5), то будет таким, что

и преобразование Т можно будет выполнить.

Если велико, а функцию нельзя представить в простом виде, то мы оказываемся в затруднительном положении, но не безнадежном. Мы могли бы, например, наметить разумное число точек например десять и попросить лицо, принимающее решение, назначить для каждого значение при котором или, что эквивалентно,

Внимательно изучив зависимость от (напомним, что у фиксировано для всех мы могли бы построить приемлемую и простую компромиссную функцию Т, которая достаточно близко проходила бы к данным точкам и позволяла экстраполировать значение х для любой другой пары Для выполнения подобного рода аппроксимации может быть использовано большое количество разнообразных методов.

Разумеется, если пара независима по предпочтению от то, вместо того чтобы приводить каждое значение у к базовому у и определять х согласно (3.22) и (3.21), мы могли бы, например, проводить х к базовому значению х и определять у, как такое значение, У, для которого

За этим приведением затем последовал бы анализ условных предпочтений при фиксированном

Существуют еще и другие возможности. Предположим, например, что в какой-то конкретной ситуации естественно ожидать, что у примерно равен произведению В этом случае для любой пары мы могли бы выбрать значение такое, что

Такое понижение размерности затем сопровождалось бы анализом условных предпочтений для критериев при том условии, что у не является независимой переменной и всегда равняется произведению

3.5.3. Взаимонезависимость по предпочтению и существование аддитивной функции ценности. Если предпочтения для троек могут быть описаны с помощью функции имеющей аддитивную форму

то очевидно, что

а) пара независима по предпочтению от

б) пара независима по предпочтению от

в) пара незавасима по предпочтению от

Однако гораздо важнее и совершенно неожиданно то, что справедливо и обратное утверждение.

Теорема 3.3. Функция ценности может быть представлена в аддитивной форме

где функции ценности одного критерия, тогда и только тогда, когда не зависит по предпочтению от не зависит по предпочтению от не зависит по предпочтению от

Этот результат впервые был получен Дебре (1960). Несколько более общее доказательство дали Крантц и др. (1971). Поскольку в литературе имеются формальные доказательства, мы их

опустим и просто постараемся проиллюстрировать правдоподобность этого результата. Но прежде чем это сделать, дадим важное для нашего рассмотрения определение.

Определение. Критерии называются попарно независимыми по предпочтению, если каждая пара критериев не зависит по предпочтению от их дополнения.

Короче говоря, теорема 3.3 гласит, что аддитивность равносильна попарной независимости по предпочтению.

Теорема 3.3 является действительно замечательной. Вспомним, что для получения аддитивного представления в случае двух критериев мы должны были наложить весьма ограничительное условие соответственных замещений. Ничего подобного здесь не требуется. Если мы знаем лишь, что пара независима по предпочтению от то мы не можем сказать, что условные предпочтения для будут удовлетворять условию соответственных замещений. Но как только мы допускаем попарную независимость по предпочтению, то структура условного предпочтения для любой пары критериев, при любом фиксированном значении оставшегося критерия «преодолевает барьер» соответственных замещений. Не давая формального доказательства этих утверждений, посмотрим, как можно убедиться в их справедливости.

Вспомним, как мы строим функции используя процедуру совместного шкалирования для двух критериев (см. п. 3.4.6). Сначала мы произвольно выбираем величины Затем последовательно используем предпочтения лица, принимающего решение, для получения До этого момента условие соответственных замещений не требовалось. Первый раз к этим условиям приходится обращаться для того, чтобы установить, что точки одинаковы по предпочтительности. Каким образом теперь введение Z и принятие попарной независимости по предпочтению упраздняет это условие? Вернемся немного назад и начнем процесс измерения с самого начала для трех критериев.

1. Вначале выбираем и полагаем

2. Затем произвольно выбираем и определяем так, чтобы было справедливо

Полагаем

3. Теперь обратим внимание, как взаимная независимость по предпочтению позволяет нам прийти к выводу, что

Например, из этапа 2 мы знаем, что обладают одинаковой условной предпочтительностью при фиксированном

Следовательно, они должны быть эквиваленты и при фиксированном или

Из этапа 2 мы знаем также, что при фиксированном и, следовательно, в силу независимости по предпочтению (X, У) от Z это же верно при фиксированном Но отсюда следует

4. Затем определим так, чтобы было справедливо

Теперь мы в состоянии обсудить решающий этап, о котором говорили раньше: почему мы можем считать, не используя условия соответственных замещений, что

«Хитрость» состоит в том, что нам нужно показать справедливость

и по свойству транзитивности получить требуемое. Мы знаем, что и, поскольку не зависит по предпочтению от У, мы можем спокойно заменить на в этом отношении безразличия. Следовательно,

Мы завершаем наши рассуждения, показывая аналогичным образом, что

Хотя приведенный выше довод — далеко не доказательство, он делает теорему значительно более ясной и даже прозрачной. Но, разумеется, существует большое различие между эвристической правдоподобностью и формальным доказательством.

3.5.4. Ослабление предположений аддитивности. Результатами, подобными теореме 3, мы интересуемся главным образом для того, чтобы подобрать приемлемую совокупность предположений о предпочтениях лица, принимающего решение (в данном случае предположений о независимости по предпочтению), и исходя из них получить конкретное и удобное математическое выражение, согласованное с такими предпочтениями. Во всякой задаче мы вначале пытаемся выяснить приемлемость условий, а затем построить функцию ценности для лица, принимающего решение. Следовательно, крайне желательно сократить количество условий, приводящих к конкретной функциональной модели предпочтений. Для этой цели полезен следующий результат.

Теорема 3.4. Если

а) не зависит по предпочтению от Z,

б) не зависит по предпочтению от

то

в) не зависит по предпочтению от У.

Формальное доказательство теоремы 3.4 имеется в работе Гормана (1968 а). Здесь же мы попытаемся раскрыть «физический смысл» этого результата.

Пусть точки имеют общую координату у (см. рис. 3.23) и пусть Для того чтобы доказать, что не зависит по предпочтению от У, мы должны показать, что если изменить координату у точек (сохраняя координаты у для обеих точек равными), то новые точки останутся одинаковыми по предпочтительности. Сначала выберем точку С, которая имеет общие координаты х с точкой Лиге точкой В, так, чтобы было Теперь, так как не зависит по предпочтению от X, то А так как не зависит по предпочтению от то Следовательно, согласно транзитности мы имеем

Рис. 3.23. Пояснение взаимосвязи между условиями независимости по предпочтению

Мы начали с и показали, что если мы изменяем общую координату у на величину то получающиеся точки одинаковы по предпочтительности. Это не доказывает нашего результата, так как расстояние выбрано специальным образом, а не является произвольным. Но мы теперь можем повторить процесс с и т. д. Для того чтобы достичь большего, мы могли также начать процесс с другой точкой такой, что Таким образом, мы видим, что если мы одновременно сдвинем точки на любой из нескольких установленных уровней у, то полученные точки останутся одинаковыми по предпочтительности. Мы можем повторить рассуждения, используя другие точки на кривой безразличия, проходящей через , и распределяя их так, чтобы получить дополнительные точки на кривой безразличия, проходящей через точки . Теперь разумно было бы предположить, что после добавления условий непрерывности и дифференцируемости из этого следует желаемый результат. Так оно и есть на самом деле.