4.4. НЕСКЛОННОСТЬ К РИСКУ

В этом и следующих четырех параграфах мы вводим несколько основных типов отношения к риску и поясняем их смысл, рассматривая соответствующий функциональный вид функции полезности. Для того чтобы сохранить целостность изложения и помочь читателю прочувствовать физический смысл этих понятий, в § 4.4-4.7 рассматриваются только монотонно возрастающие функции полезности. По тем же причинам мы часто будем обсуждать случаи, связанные с денежным критерием, таким, как «чистые активы» или «нарастающий приход». Однако, как мы уже ранее подчеркивали, эти понятия в полной мере подходят неденежным критериям. В § 4.8 понятия, связанные с риском, распространяются на ситуации с убывающими и немонотонными предпочтениями.

4.4.1. Определение «несклонности» к риску («неприятие» риска). Интуитивно мы думаем о лице, не склонном к риску, как о человеке который ведет себя консервативно. Рассмотрим возможное поведение лица, принимающего решение и анализирующего целесообразность участия в лотерее, которая может дать с равными вероятностями либо выигрыш х, либо менее предпочтительный выигрыш Ожидаемый вьгвгрыш х этой лотереи равен, очевидно, Предположим теперь, что принимающего решение просят указать, что он предпочитает: получение х наверняка или участие в лотерее Если принимающий решение предпочитает х лотерее в которой ожидаемый

выигрыш также равен х, то он тем самым фактически говорит, что предпочитает избежать риска, связанного с лотереей. Это означает, что, хотя имеют одинаковые ожидаемые выигрыши, он предпочитает достоверный исход х, ибо в этом случае он ничем не рискует, в то время как исход лотереи связан с определенным риском. Если принимающий решение ведет себя таким образом по отношению ко всем лотереям, то мы говорим, что он не склонен к риску. Формализуем это понятие.

Определение. Принимающий решение не склонен к риску, если он предпочитает получить наверняка ожидаемый выигрыш в любой невырожденной лотерее вместо участия в этой лотерее.

В такой ситуации полезность ожидаемого выигрыша любой лотереи должна быть больше ожидаемой полезности этой лотереи. Таким образом, мы не склонны к риску, если для любой невырожденной лотереи

где возможные выигрыши лотереи.

Теорема 4.3. Принимающий решение не склонен к риску тогда и только тогда, когда его функция полезности вогнута.

Доказательство. Рассмотрим лотерею, дающую с вероятностью с вероятностью . Ожидаемый выигрыш равен Для функции полезности при несклонности к риску из получаем

что является определением (строгой) вогнутости.

Для доказательства обратного утверждения (имеющего место только в случае конечного числа исходов) рассмотрим лотерею дающую с вероятностью где «и для одного неверно, что Так как и строго вогнута, то, как известно,

Но это неравенство при конечном числе исходов есть в точности (4.11), так что и отражает несклонность к риску.

Для того чтобы установить, является ли принимающий решение несклонным к риску или нет, практически невозможно проверить выполнение условия (4.11) для всех невырожденных лотерей. Здесь полезным оказывается следующее следствие.

Следствие. Принимающий решение, который предпочитает получение наверняка ожидаемого выигрыша любой лотереи участию в самой лотереи, не склонен к риску.

Доказательство. Из предпосылки следует, что

а это влечет вогнутость.

Отступление. Из любого курса экономики можно узнать, что убывание маргинальной полезности влечет вогнутость функции полезности и наоборот. Здесь мы выделили термин «функция полезности» курсивом, так как эта функция, рассматриваемая в экономике совершенно отличается от функции полезности по фон Нейману — Моргенштерну, являющейся предметом рассмотрения в настоящей главе. Это различие представляется достаточно важным для того, чтобы сделать небольшое отступление.

Когда экономист говорит, что «его маргинальная полезность по критерию X убывает», он подразумевает, что разница в единицах полезности (которые никогда явно не определяются), связанная с увеличением X от х до убывает при возрастании х. Никаких вероятностных понятий здесь не вводится, и ожидаемая полезность, вычисленная на основе такой функции полезности, не имеет тех конкретных интерпретаций, которые существуют в случае функции полезности по фон Нейману — Моргенштерну.

В качестве примера функции полезности нашего экономиста (с убывающей маргинальной полезностью) предположим, что мы оцениваем в 8 единиц полезность однодневной лыжной прогулки, в 14 единиц полезность двухдневной прогулки, в 18 единиц трехдневной и т. д. Тогда мы могли бы сказать, что первый день «стоит» 8 единиц, второй — дополнительных 6, третий — оставшихся А единицы. Маргинальная полезность каждого дополнительного дня лыжной прогулки является убывающей. Однако если нам нужно выбрать между проведением двухдневной лыжной прогулки наверняка и участием в лотерее, дающей с равными вероятностями одно- или трехдневную прогулку, то мы не можем указать предпочтительный выбор исходя из такой функции полезности. Дело обстоит именно так, хотя ожидаемое количество единиц для лотереи равно 13, тогда как полезность двухдневной прогулки равна 14. Понятие «ожидаемого числа единиц полезности» бессмысленно. Функции полезности о которых мы говорим в этой главе, полностью отличаются от функций полезности, рассматриваемых экономистамц. Знание одной очень мало дает для знания о другой. Для одного и того же критерия одна вполне может быть выпуклой, а другая — вогнутой.

Вернемся к нашему лицу, юринимающему решение, и допустим, что он не хочет вести себя консервативно. Предположим, что принимающий решение предпочитает участие в любой лотерее получению наверняка ожидаемого выигрыша этой лотереи, т. е. он охотно идет на риск, связанный с любой лотереей. Такой тип поведения называется склонностью к риску.

Определение. Принимающий решение склонен к риску, если он предпочитает участие в любой невырожденной лотерее получению наверняка ожидаемого выигрыша этой лотереи.

Для такого индивидуума полезность ожидаемого выигрыша должна быть меньше, чем ожидаемая полезность лотереи, т. е.

Поскольку теорема 4.4 аналогична предыдущей, мы приводим ее без доказательства.

Теорема 4.4. Принимающий решение склонен к риску тогда и только тогда, когда его функция полезности выпукла.

Существует и другой щуть определения несклонности к риску для возрастающих функций полезности. Однако, поскольку это определение не подходило бы для других случаев, мы определяем несклонность к риску при помощи (4.11), а другое определение приводим в виде теоремы 4.5.

Теорема 4.5. При возрастающих функциях полезности принимающий решение тогда и только тогда не склонен к риску, когда

его детерминированный эквивалент для любой невырожденной лотереи меньше, чем ожидаемый выигрыш в этой лотерее.

Доказательство. Предположим, что принимающий решение не склонен к риску. Тогда согласно (4.11) Но согласно определению детерминированного эквивалента так что Понятно, что поскольку функция полезности возрастающая, то

Теперь для проверки справедливости обратного утверждения, предположим, что Тогда, поскольку функция полезности возрастающая, и доказательство завершено.

Для возрастающих функций полезности мы вводим следующее определение.

Определение. Надбавкой за риск к лотерее х называется разность между ее ожидаемым выигрышем и детерминированным эквивалентом. Формально

где функция, обратная к и.

Теорема 4.6. При возрастающих функциях полезности принимающий решение не склонен к риску тогда и только тогда, когда надбавка за риск для него положительна для всех невырожденных лотерей.

Доказательство опускаем, так как оно проводится непосредственно на основании определения надбавки за риск.

Рассмотрим два иллюстративных примера. Пояснения понятий детерминированного эквивалента и надбавки за риск к лотерее в случае функции полезности, характеризующейся несклонностью к риску, даны на рис. 4.5.

Рис. 4.5. Возрастающая функция полезности, характеризующая несклонность к риску

Пример 4.5. Из табл. 4.1 видно, что если использовать функцию полезности то детерминированным эквивалентом лотереи будет 2,85, а ожидаемым выигрышем 5,0. Таким образом, надбавка за риск равна т. е. 2,15. Аналогично детерминированный эквивалент для равен 22,85, а ожидаемый выигрыш 25,0, так что надбавка за риск опять равна 2,15.

Пример 4.6. Пусть при функцией полезности является Детерминированным эквивалентом для будет —15,857; надбавка за риск равна Надбавки за риск к лотереям

равны соответственно 1,34 и 2,68. Заметим, что если х будет выражаться, например, тысячах долларов, то число 30 будет означать дол. По своему физическому смыслу надбавка за риск — это сумма (в единицах измерения критерия X), которую принимающий решение согласен «уступить» из среднего выигрыша (т. е. эта сумма меньше, чем математическое ожидание выигрыша) за то, чтобы избежать риска, связанного с данной лотереей. Если принимающий решение сталкивается с неблагоприятной для него лотереей (т. е. лотереей, которая менее предпочтительна, чем положение, в котором он в данный момент находятся), то естественно опросить, сколько он заплатил бы (в единицах измерения критерия X) за то, чтобы не участвовать в этой лотерее.

Опрёделение. Страховой суммой для лотереи х называется взятая с обратным знаком величина детерминированного эквивалента лотереи

Если, например, детерминированный эквивалент лотереи х равен —5000 дол., то страховая сумма равна 5000. Принимающий решение, следовательно, согласился бы уступить в точности дол. за то, чтобы избавиться от финансовой ответственности, связанной с участием в этой лотерее.

Предположим, что в последнем примере эквивалентно тому, чтобы ничего не предпринимать, т. е. остаться в существующем положении. Тогда неблагоприятная лотерея, так как ее ожидаемая полезность меньше, чем полезность существующего положения. Если принимающий решение безразличен к выбору между и детерминированным эквивалентом —15,857, то он должен был бы заплатить 15,857, чтобы избежать участия в лотерее Следовательно, 15,857 — страховая сумма для лотереи

4.4.2. Ограничение вида функции полезности. Прежде чем углубляться в теорию, поясним, как можно использовать монотонность и несклонность к риску для облегчения построения функции полезности. Предположим, что мы собираемся построить функцию полезности и для критерия X, а принимающий решение указал, что его предпочтения монотонно возрастают по X, и сам он не склонен к риску.

Для начала выберем где и произвольно назначим значения но выполним условие Это допустимо, так как функция полезности единственна с точностью до положительного преобразования. Нанеся точки на график на рис. 4.6, а, легко увидеть, что функция полезности лица, принимающего решение, ограничена незаштрихованной областью. Действительно, рассмотрим на рисунке точку 3. Если бы функция полезности проходила через эту точку, то она никак не могла бы быть вогнутой. Но поскольку принимающий решение не склонен к риску, его функция полезности должна быть вогнутой. Следовательно, она не может проходить

через точку 3. Точно так же, если бы функция полезности проходила через точку 4, то была бы нарушена монотонность,

Предположим теперь, что мы попросили лицо, принимающее решение, указать его детерминированный эквивалент для лотереи, дающей выигрыши или каждый с вероятностью 1/2.

Рис. 4.6. Ограничения, налагаемые на функцию полезности свойствами монотонности и несклонности к риску

Обозначая детерминированный эквивалент через мы получаем для функции полезности еще одну дополнительную точку где Нанеся эту точку на график на рис. 4.6, а, мы при помощи тех же самых соображений, что и раньше, ограничиваем возможные значения функции полезности незаштрихованной областью на рис. 4.6, б. Из этого рисунка видно, эмпирически оценив полезность только одного возможного исхода, можно очень сильно ограничить очертание функции полезности, используя качественные свойства монотонности и несклонность к риску.

Рассуждения подобного рода могут быть использованы и для ограничений на возможные значения детерминированного эквивалента лотереи. Пожалуй, это лучше всего пояснить на примере.

Пример 4.7. Пусть (рис. 4.6). Предположим далее, что мы произвольно приняли

Тогда, как это видно из рис. 4.7, элементарные

Рис. 4.7. Использование свойств монотонности и несклонности к риску при установлении границ для детерминированного эквивалента

геометрические соображения показывают, что любая монотонная функция полезности в случае несклонности к риску должна лежать между

Допустим, что мы хотим установить границы для детерминированного эквивалента лотереи, описываемой плотностью распределения вероятности

В общем случае для того, чтобы получить верхнюю границу детерминированного эквивалента лотереи, мы должны определить верхнюю границу ее ожидаемой полезности и найти наибольшее значение х, при котором достигается такая (полезность. Теорема 4.5 говорит о том, что в случае несклонности к риску детерминированный эквивалент не может быть больше 50. Однако для рассматриваемой лотереи, как показано рис. 4.7, функция полезности может быть линейной на интервале от до Поскольку плотность распределения (вероятности допускает получение выигрышей только в этом интервале, детерминированный эквивалент может быть таким же большим, как и ожидаемый выигрыш, — равняться 50. Следовательно, наименьшая верхняя граница для детерминированного эквивалента (обозначим ее через равна 50.

При отыскании нижней границы детерминированного эквивалента мы вначале должны получить нижнюю границу ожидаемой полезности этой лотереи, а затем отыскать наименьшее значение х, которое может иметь такую полезность. Ясно, что несмотря на то, какой в действительности является функция полезности и, можно записать

так что

Из рис. 4.7 легко увидеть, что наименьшее возможное значение х (обозначим его через обеспечивающее полезность 0,574, получается в том случае, когда Таким образом, значение можно найти; решив уравнение

Это дает нам где нижняя граница «истинного» детерминированного эквивалента нашей лотереи. Это — не обязательно наибольшая нижняя граница, так как был вычислен при в интервале тогда как при вычислении минимальной полезности для заданной плотности вероятности использовалась По-видимому, для детерминированного эквивалента можно найти более узкие границы.

Однако наша цель при рассмотрении этого примера — не установить наименьший интервал для детерминированного эквивалента, а проиллюстрировать, как на основе ограниченной информации о предпочтениях лица, принимающего решение, можно сделать определенные и весьма практические выводы, а также лучше освоить некоторые понятия, которыми мы будем регулярно пользоваться.

4.4.3. Случай склонности к риску. Пусть теперь принимающий решение, наоборот, склонен к риску.

Теорема 4.7. При возрастающих функциях полезности принимающий решение склонен к риску тогда и только тогда, когда его детерминированный эквивалент для любой невырожденной лотереи больше, чем ожидаемый выигрыш в этой лотерее.

Доказательство опускается, так как оно подобно соответствующему доказательству для случая несклонности к риску.

Рис. 4.8. Возрастающая функция полезности, иллюстрирующая склонность к риску

Напомним, что надбавка за риск для возрастающих функций полезности была определена как разность между ожидаемым выигрышем и детерминированным эквивалентом. Исходя непосредственно из этого определения, мы получаем теорему 4.8.

Теорема 4.8. При возрастающих функциях полезности принимающий решение склонен к риску тогда и только тогда, когда надбавка за риск для него отрицательна для всех невырожденных лотерей.

Доказательство опускаем. Однако этот результат поясним на примере.

Пример 4.8. Рассмотрим функцию полезности вида отражающую наличие склонности к риску (см. рис. 4.8), и вычислим ожидаемый выигрыш, детерминированный эквивалент и надбавку за риск для лотереи Ясно, что ожидаемый, выигрыш равен

Ожидаемая полезность этой лотереи равна

Детерминированный эквивалент х находится из уравнения

Решив его, найдем Теперь легко получить, что надбавка за риск равна —0,94.

Склонным к риску является индивидуум, который «охотно рискует». При проведении лабораторных экспериментов и в реальных жизненных ситуациях разные исследователи обнаружили, что некоторые из принимающих решения действительно были склонны к риску. Например, Грейсон (1960), построив функции полезности различных денежных сумм для ряда предпринимателей, участвовавших в рискованных мероприятиях, связанных с нефтяным бизнесом, обнаружил, что части из них присуща разбираемая «склонность». Иначе говоря, эти нефтяные «авантюристы» охотно рисковали своей долей капитала, соглашаясь участвовать в лотерее (например, в бурении новых нефтяных скважин), с ожидаемой прибылью, меньшей, чем их доля капитала, но которая могла бы принести очень большой доход (т. е. в случае обнаружения нефти). Этот большой доход давал бы возможность вести «новый образ жизни», что делало рискованное предприятие привлекательным для многих «авантюристов». Некоторые аспекты работы Грейсона обсуждаются в § 4.10.

Зная, что предпочтения лица, принимающего решение, монотонно возрастают, что он склонен к риску, и зная детерминированный эквивалент лотереи 50—50, мы могли бы найти границы для его функции полезности так же, как это делали для не склонного к риску индивидуума. Мы могли бы также определить границы для детерминированного эквивалента любой другой лотереи, используя способ, проиллюстрированный в примере 4.7. Однако поскольку идеи здесь те же, что и в предыдущем случае, еще один пример ничего нового не дал бы, и мы его не будем приводить.