9.7. ПРОБЛЕМЫ ПРИМЕНЕНИЯ

До сих пор в этой главе рассматривались специальные структуры полезности для временных потоков. Но специфика проблемы принятия решений, относящихся к временным потокам, отличается от обычной статической проблемы принятия решений, рассматриваемой в традиционной многомерной теории полезности, по крайней мере в двух отношениях:

1. Число функций одной переменной, которые нужно построить, как правило, очень велико. Например, если мы собираемся с помощью развитой нами теории помочь принять решение лицу, находящемуся в середине своей карьеры и имеющему впереди еще 50 лет жизни, нам необходимо (если в качестве основного временного периода используется год и если справедливы довольно сильные допущения, приводящие к соотношению построить по две функции для каждого года (полезности «потребления» и полезности «наследства»), т. е. мы должны иметь в общей сложности 100 функций одной переменной, выражающих субъективные представления данного лица!

2. Функции одной переменной, применяемые при решении проблем, связанных с временными потоками, обычно обладают особыми свойствами. Функции полезности для обычно используемых критериев (скажем, потребление, доход, наследство, или, например, загрязнение), как правило, характеризуется положительными функциями несклонности к риску, точнее, убывающими положительными функциями несклонности к риску и притом в широком диапазоне. Эти качественные свойства должны приниматься во внимание как при построении указанных функций, так и при их интерполяции.

Рассмотрим эти два аспекта в обратном порядке.

9.7.1. Построение одномерных функций полезности. Самыми простыми семействами одномерных функций полезности являются семейства с одним параметром, как, например, экспоненциальные функции где при положительной функции несклонности к риску (ом. § 4.6). Это семейство отражает постоянную несклонность к риску в том смысле, что «надбавка» за риск, которую мы согласны заплатить, чтобы избежать риска, связанного с участием в лотерее х, зависит только от нашего отношения к лотереям с малым диапазоном выигрышей а вовсе не от среднего уровня х. Если принимаемые решения связаны с какими-то расходами и финансовым положением, то мы скорее всего не согласимся с подобным представлением нашего возможного поведения, ибо большинство из нас считает, что наша «надбавка» за риск для такой лотереи (с очень малым диапазоном колебаний возможных результатов) должна уменьшаться с ростом х. Поэтому часто высказывалось мнение, что из всех однопараметрических семейств самым подходящим является семейство функций, отвечающих постоянно-пропорциональной несклонности к риску: где (см. § 4.2). Это семейство обладает

тем свойствам, что пропорциональным лотереям соответствует пропорциональная надбавка за риск. Иными словами, если х есть лотерея, участвуя в которой мы можем приобрести или потерять какой-то определенный, заданный процент от х, то наша надбавка за риск тоже выражается в виде некоторого процента от х при любом х. Представляется весьма привлекательным принять в качестве разумного допущения, что, рассматривая вопрос об участии в лотерее, обладающей равновероятными исходами в виде возможного колебания потребления в следующем году мы, чтобы избежать риска, предпочтем сделать страховой взнос, равный какому-то определенному проценту от х, например 2% от при любом значении х. Однако экспериментальные данные (полученные для широкого круга испытуемых лиц) свидетельствуют о следующем.

1. Чтобы найти значение испытуемых просили ответить на вопрос о величине детерминированного эквивалента для лотерей с двумя равновероятными исходами (лотерея 50—50). Полученные в результате значения для наших испытуемых были подозрительно близки к Действительно, семейство приближается при к логарифмической функции полезности Эта полезность обладает тем свойством, что рассматриваемая лотерея с равновероятными исходами (50—50) при равных возможных логарифмических изменениях (например, удвоении или делении на два) в годовом потреблении равноценна для нас нашеми исходному состоянию, т. е. тому, что мы имеем наверняка. Иными словами, испытуемый, чей первичный для него уровень потребления составляет около 10 000 дол. в год, может быть безразличен в выборе (для отдельного взятого года) между получением наверняка дол. в год и участием в лотерее с выигрышами в виде годового дохода в 5000 и 20 000 дол.

2. В ситуациях, когда возможные исходы лотерей выходили за пределы тех денежных сумм, с которыми они привыкли иметь дело, типичные испытуемые обычно проявляли меньшую несклонность к риску, чем это должно было бы быть при пропорциональной несклонности к риску. Например, тот же испытуемый, о котором говорилось выше, если ему предложили бы более благоприятную лотерею с исходами в 10000 и 40000 дол. годового дохода, ответил бы, скорее всего, что равноценным эквивалентом для этой лотереи является гарантированный годовой доход, превышающий 20000 дол. В результате оказывается, что семейство функций полезности с постоянной пропорциональной несклонностью к риску, хотя и является наилучшим из всех известных нам однопараметрических семейств, все же не обладает необходимой гибкостью и возможностью адаптации, что затрудняет его использование при

моделировании мнений типичных испытуемых для достаточно широкого диапазона уровней потребления.

Таким образом, нам приходится продолжать поиски заслуживающих доверия простых одномерных функций полезностей. Прежде всего рассмотрим, какими свойствами должны обладать такие функции. Если критерием является потребление, то должен иметь место такой (пусть и неточно известный) уровень потребления (условно говоря, некоторый «прожиточный» минимум), при котором полезность падает очень круто, в идеальном случае вертикально. Правее этого уровня, при очень больших х, следует ожидать, что полезность останется ограниченной. Причиной этого является следующее. Предположим, что складывающееся у Вас положение дел равносильно участию в лотерее (50—50), от исходов которой зависит Ваш годовой доход в следующем году. Если Вы проиграете, то Ваш годовой доход будет равен 5000 дол. в год без всякой надежды на улучшение. Если Вы выиграете, то получите огромные суммы дол. или больше, если Вы пожелаете, но Вы должны будете потратить все это в течение следующего года. Назовем этот выигрыш х. В такой ситуации большинство из нас с радостью согласилось бы получить верные 106 дол. в год вместо участия в этой лотерее и наш выбор не зависел бы от того, как велико будет х. То есть для нас независимо от х. декада ясно, что полезность должна быть конечной величиной (а потому и ограниченной) для произвольно большого х.

Так как ограничена справа и вертикально «падает» слева, удобно принять ее везде отрицательной и положить при . Это, в частности, верно для одномерных полезностей в мультипликативных структурах, таких, как (9.31), так как там мы имеем произведение функций полезности для одного периода, причем ни одна из этих функций нигде не должна менять свой Чтобы продемонстрировать это обстоятельство, предположим, что в соотношении (9.31) множитель, относящийся к лизменил свой знак при Тогда, если - возрастающая функция по при то она будет убывающей функцией по х при Такое изменение направления возрастания предпочтительности для всех неприемлемо, особенно тогда, когда оно получается вследствие бесконечно малого изменения в до где произвольно мало).

Заметим, что общий зависимости, полученной выше для одномерных функций полезности потребления, подходит и для критериев, по своему смыслу значительно отличающихся от потребления, например для критерия, характеризующего чистоту воздуха. Если бы мы в качестве одного из критериев использовали концентрацию загрязняющих веществ (например, число частиц в то мы столкнулись бы с тем фактом, что более высокие значения критерия оказываются менее желательными, что разумеется, совершенно неверно. Поэтому вместо этого показателя целесообразно использовать величину, обратную уровню загрязнения, т. е. описывать чистоту воздуха с помощью числа кубических, сантиметров чистого воздуха, приходящихся на одну частицу. Обозначим эту меру чистоты воздуха через Далее существует примерная нижняя граница для х, ниже которой воздух становится непригодным для человека. Поэтому при приближении к ней полезность очень резко падает; естественной идеализацией здесь будет снова принять «вертикальное» падение. Оправа, для очень больших х, мы опять приближаемся к верхней границе в основном по той же причине, что и раньше: рассматривая лотерею (50—50), исходами которой являются сильно загрязненный и абсолютно чистый воздух, мы наверняка предпочтем вместо этой лотереи иметь какое-то конечное значение показателя чистоты воздуха, которое мы могли бы получить без всякого риска. Функция полезности, как показывает следующий пример, также, возможно, будет свидетельствовать о нашей несклонности к риску.

Рассмотрим лотерею (50—50), исходами которой являются чистота воздуха, измеряемая соответственно «Средняя» чистота Пожалуй, большинство людей предпочло бы вместо данной лотереи иметь наверняка эту «среднюю» чистоту. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим ту же возможность выбора в терминах концентраций загрязняющих веществ, т. е. готовность рискнуть и с вероятностью 0,5 получить увеличение загрязненности на (загрязненность воздуха увеличится в этом случае с 1/6 до 1/2) ради получения с той же вероятностью 0,5 уменьшения загрязненности на 1/15 частиц/см3 (т. е. с 1/6 до 1/10). Такая готовность кажется маловероятной. Наш выбор в пользу получения 1/6 наверняка говорит о несклонности к риску при использовании данного критерия чистоты воздуха.

Если при рассмотрении функции полезности имеются основания для использования семейства функций полезности, отражающих убывающую несклонность к риску, то мы напомним читателю о довольно широких возможностях, предоставляемых «суммой экспонент» вида

Эти так называемые аддитивно-экспоненциальные функции оказываются вполне приемлемыми в качестве функций полезности для тех диапазонов, которые нас интересуют. Вычислительные

аспекты, связанные с конкретным нахождением («подгонкой») этих функций на основании экспериментально полученных точек, описаны в работе Шлейфера (1971). И все-таки мы хотели бы здесь отметить, что аддитивно-экспоненциальные функции оказываются неадекватными, когда диапазон их определения становится слишком большим. Здесь необходим теоретически более обоснованный метод интерполяции, хотя при численных расчетах мы вполне можем использовать и эти аддитивно-экспоненциальные функции.

9.7.2. Построение многомерных функций полезности. Проиллюстрируем процесс построения многомерных функций полезности для временных потоков и возникающие здесь проблемы на примере построения функций полезности временных потоков потребления на «протяжении жизни» и «остающегося наследства». Структура функций полезности будет взята такой, чтобы удовлетворялись соотношения (9.31); полностью процесс построения описан в работе Ричарда (1972).

Допустим, что нами используется (в свете изложенного в предыдущем пункте) функция полезности индивидуальных лиц в виде аддитивно-экспоненциальных функций, поэтому каждая из функций полезности будет определяться с помощью трех детерминированных эквивалентов. Именно они должны быть экспериментально установлены. Если нам сейчас 40 лет, максимальная продолжительность жизни 100 лет и за период берется один год, то надо построить 120 функций, т. е. определить 360 детерминированных эквивалентов, что, естественно, гораздо больше, чем нам нужно, чтобы выразить свое отношение к этим вопросам. Чтобы несколько уменьшить это число, мы примем, что наши отношения будут довольно медленно изменяться от года к году, поэтому достаточно, вероятно, будет проводить оценку наших полезностей через 5 лет. В промежутках этих пятилетних интервалов мы можем либо считать, что наши полезности остаются прежними, либо гладко проинтерполировать три параметра и с, фигурирующие а выражении (9.33), от года к году. Таким образом, число детерминированных эквивалентов, которые надо найти, уменьшается до что уже более приемлемо.

Каковы должны быть области определения этих 24 функций полезности? Опыт показывает, что:

1. Лотереи, которые предлагаются опрашиваемому лицу, должны быть достаточно «емкими» с тем, чтобы не было стесненности; нас интересует отношение к риску «в большом».

2. Предлагаемые лотереи в своей совокупности должны покрывать весь диапазон возможных уровней «потребления» и «наследства», с которыми опрашиваемое лицо может встретиться в жизни.

Для того чтобы придать этим лотереям реальный характер, опрашиваемому лицу прежде всего задается серия вопросов, с помощью которых устанавливается общий диапазон возможных уровней потребления на протяжении всей жизни этого человека. Далее происходит расширенная «беседа» с опрашиваемым лицом

(при этом используется программа для ЭВМ с разделением времени), в процессе которой ему задаются вопросы шести типов:

1. Распределение крупных сумм. Допустим, что Вам надо распределить 600000 дол. для расходования (без учета инфляции) в течение остающихся 60 лет Вашей жизни (при этом Вы уверены, что доживете до 100 лет). Как Вы распределите эту сумму? Примечание: эта сумма предназначается для расходов, связанных именно с потреблением, т. е. Вы не можете рассчитывать на получение каких-либо выгод (например, доходов в последующие годы) от потраченных денег. Какой бы способ тратить деньги Вы ни выбрали, Вы должны довести эту сумму до 600 000 дол. Ответом на этот вопрос будет определенная последовательность годовых расходов, которую мы обозначим через Конечно, нам нужен ответ только для каждых пяти лет, а в промежутках мы можем применить интерполяцию.

2. Размер «наследства», совместимого с потоком потребления. Предположим, каким-то образом Вам стало известно, что Ваш жизненный путь закончится раньше, чем Вам исполнится 100 лет, скажем, в конце года считая от текущего года. Допустим, что Вы до этого события будете обладать потоком потребления который Вы выбрали при ответе на первый вопрос. Какую величину оставляемого Вами «наследства» Вы сочтете совместимым с этим потоком потребления, которым Вы обладали на протяжении своей жизни? Уточним смысл нашего вопроса: пусть предназначается Вашим потомкам (после уплаты налогов) и у Вас в настоящее время есть возможность перевести часть денег из потока Считаете ли Вы необходимым поступить заким образом или, напротив, Вы не хотели бы этого делать, поскольку считаете совершенно справедливым и правильным тот баланс между потоком Вашего потребления на протяжении Вашей жизни и оставляемым Вами наследством, который имеет место в настоящее время? Ответом на этом вопрос является последовательность

3. Полезности потоков потребления. При построении аддитивно-экспоненциальной функции полезности потребления для каждого пятого года используется специальная программа для ЭВМ, работающая в интерактивном (диалоговом) режиме. Прежде всего, для этого года необходимо установить минимальный «прожиточный» уровень жизни. Как правило, этот уровень немного ниже официального уровня «бедности», например 3000 или 4000 дол. для семьи из четырех человек. Первая лотерея, предлагаемая опрашиваемому лицу, построена так, что ее исходы соответствуют различным уровням потребления, меняющимся от практически необходимого «прожиточного» минимума до уровня, в несколько раз (в 2 или 3 раза) большего, чем т. е. ранее установленного уровня для соответствующего года. Таким образом, у этой лотереи очень широкий диапазон. Две другие лотереи подразделяют этот диапазон так, как это описано в § 4.9.

Результатом является последовательность аддитивно-экспоненциальных функций полезности В тех интерактивных программах, которые были составлены для облегчения процесса построения функций полезности с помощью диалоговых процедур, было заложено предположение, что искомые функции полезности должны отражать несклонность к риску.

4. Полезности «наследства». Процедура построения, изложенная выше для вопроса 3, «повторно применяется и при получении последовательности аддитивно-экспоненциальных функций полезностей «наследства» Диапазоны оценок располагаются вокруг последовательности при этом обычно в качестве минимального используется нулевое значение (нулевой уровень) наследства (аналог минимального жизненного уровня), хотя это и не обязательно.

5. Несклонность к риску в отношении временных потоков. Лотереи, использовавшиеся при получении ответа на третий вопрос, относились к потреблению в течение одного отдельного года. Насколько более отрицательно Вы будете относиться к риску, если от исходов лотереи будет зависеть Ваше потребление на протяжении более длительного периода, скажем 5 или 10 лет? Программа выделяет период в пять лет (например, в середине жизненного пути) и предлагает лотерею с самым широким диапазоном исходов, использовавшуюся в вопросе 3 для отдельного репрезентативного года того же периода, при дополнительном условии, что результатом розыгрыша лотереи будет уровень Вашего потребления во все пять лет. Насколько Вы снизите величину своего детерминированного эквивалента? Ответ (на этот отдельный вопрос определяет несклонность к риску в отношении временных потоков, измеряемой коэффициентом в выражении (9.31).

6. Распределение потребления при неопределенной продолжительности жизни. Это самый трудный вопрос и в смысле его объяснения, и в смысле ответа на него. Его целью является построение функции фигурирующей в выражении (9.31). Из высказанных нами (после вывода выражения соображений следует, что может быть построена после получения ответа на вопрос о распределении потребления при неопределенной продолжительности. Имея это в виду, мы для каждого пятого года задаем следующий вопрос (см. рис. 9.2, раскрывающий смысл этого вопроса)

«Рассмотрим два следующих друг за другом пятилетних периода после Допустим, Вам становится известно, что с вероятностью 0,5 Ваш жизненный путь закончится либо в году либо с той же вероятностью 0,5 в году иными словами, Вам известно, что так или иначе к концу десятилетнего периода это непременно произойдет. До момента времени Вы будете пользоваться потоком потребления который Вы установили в ответе на вопрос 1. Если это роковое для Вас событие произойдет в году то ваши наследники получат наследство а если в году то наследство будет в соответствии с Вашим ответом на вопрос 2. За десятилетний период от до Ваше общее потребление составит принимает значения от до иными словами, это то потребление, которое будет в

Рис. 9.2. (см. скан) Распределение потребления при неопределенной продолжительности жизни

вашем распоряжении. Теперь Вы должны решить и именно сейчас, какую долю от х Вы будете ежегодно потреблять в течение первых пяти лет. Пусть эта сумма будет равняться х в год, тогда поток потребления за пять лет составит Ясно, что должно быть меньше, чем вся возможная величина х. Допустим, что остаток будет автоматически равномерно распределен по последующему пятилетнему периоду, т. е. Вы будете обладать равномерным потоком потребления с годовой суммой потребления в на протяжении последующих пяти лет, если Вы проживете дольше Если Ваш жизненный путь, окончится в году то сумма теряется, так что Вы должны установить замещение между возможной потерей если данное событие произойдет в году и необходимостью ограничиться довольно низким (может быть, нежелательным для Вас) уровнем потребления, если ничего не случится.

Поскольку ответить на такой вопрос трудно, составленная интерактивная программа предполагает итеративный характер беседы, в ходе которой возможен возврат и анализ ранее полученных ответов с точки зрения значения для Вас каждого дополнительного года жизни. В процессе нашего обсуждения выражения (9.31) было указано, что, при принятых допущениях согласованные

решения о замещениях, связанные с продолжительностью жизни, могут быть получены из оценок, относящихся к распределению потребления лишь при неопределенной продолжительности жизни. В интерактивных программах, применяемых в ходе диалога, при построении функции полезности существенно использовались эти свойства.

Эти программы реализованы на ЭВМ DEC SystemlO в Гарвардской коммерческой школе и использовались для построения функций полезности потребления в течение жизни для разнообразного состава испытуемых. Исследования структуры оптимальных экономических решений, принимаемых этими людьми, продолжаются. Некоторые из этих исследований описаны в работе Ричарда (1972).