6.8. ВЗАИМОСВЯЗЬ МЕЖДУ УСЛОВИЯМИ НЕЗАВИСИМОСТИ ПО ПОЛЕЗНОСТИ

Рассмотрим некоторые следствия из различных наборов условий независимости по полезности. Говоря более конкретно, предметом изучения будет получение условий независимости по полезности высших порядков из условий более низкого порядка. Результаты, включенные в этот параграф, необходимы для доказательства общих теорем, представленных в последующих параграфах. Здесь рассматриваются следствия из двух перекрывающихся условий независимости по полезности.

Определение. Пусть и являются подмножествами множества факторов Факторы называются перекрывающимися, если их пересечение не пусто и если ни один из них содержит в себе другой.

Теорема 6.7. Пусть являются перекрывающимися факторами, принадлежащими Если каждый из У, и то

Доказательство. Поскольку может обозначать и векторный фактор, то общий случай теоремы может быть доказан с помощью рассмотрения частного, при котором и предполагается, что каждый из факторов и

В этом случае нужно показать, что Согласно выражению (6.6), доказываемые положения могут быть соответственно записаны в виде

где, как и ранее, в тех случаях, когда не возникает путаницы, аргументы функций и, с и d, принимающие наименее желательные значения, опущены. Так, например, обозначают соответственно Необходимо отметить, однако, что из выражений (6.72) и (6.73) следует

Часть Подставляя выражение (6.73) в выражение (6.72), а затем (6.72) в (6.73), получаем соответственно

Приравнивая выражения (6.75) и (6.76) при находим

Отсюда с учетом выражения (6.76) следует

Вычисляя выражение (6.73) при убеждаемся, что

и тогда из выражения (6.78) вытекает

Выражение (6.79) означает, что множество факторов не зависит по полезности от фактора

Часть II. Подстановка выражения (6.73) в (6.72) дает

Вычисляя это выражение при получаем

Объединяя выражения (6.80) и (6.81) и обозначая через . находим

что свидетельствует о независимости по полезности фактора от

Часть III. Положив в выражениях (6.72) и (6.73) и приравняв их, получим

Перегруппировка членов этого выражения дает

где константа, так как в выражение (6.84) входит функция от равная функции от Если то из выражения

(6.83) следует, что и аналогично когда Таким образом, из соотношения (6.84) легко увидеть, что

Эти вьфажения можно подставить в выражение (6.75) при и получить

Объединяя соотношения (6.87) и (6.79), находим

где Выражение (6.88) доказывает желаемый результат, т. е. что не зависит по полезности от

Часть IV. Пусть множество факторов не зависит по полезности от своего дополнения. В части III было показано, что не зависит по полезности от своего дополнения. Следовательно, из части II вытекает, что пересечение не зависит от своего дополнения Отсюда также следует, что фактор не зависит по полезности от множества факторов

Теорема 6.7, исходным положением которой являются допущения о независимости по полезности, связана с предположениями относительно лотерей. Эта теорема во многом сходна с результатом Гормана (1968а), относящимся к предпочтениям относительно последствий и полученным из условий независимости по предпочтению. Если в теореме 6.7 каждое условие независимости по полезности заменить условием независимости по предпочтению, то, в сущности, будет получен результат Гормана (см. гл. 3).