3.9. КРАТКОЕ РЕЗЮМЕ И ПУТЕВОДИТЕЛЬ ПО СПЕЦИАЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЕ

В этой главе изложены методы построения многомерной функции ценности. Как только лицо, принимающее решение, сформулировало функцию ценности, которая описывает упорядочение по предпочтению всех многомерных альтернатив, последующий анализ должен заключаться в рассмотрении множества практически достижимых оценок по используемым критериям и выборе альтернатив, обладающих лучшими оценками.

Два процесса: определение достижимости и построение структуры предпочтений — могут осуществляться раздельно и сливаться лишь в самом конце анализа. Мы почти полностью сосредоточились на последнем процессе. Однако в начале этой главы мы описали весьма неформальный механизм переплетения

двух процессов: вначале мы находим точку на эффективной границе достижимых оценок, а затем двигаемся вдоль этой границы таким образом, чтобы на каждом шаге получить улучшение в соответствии с нашими предпочтениями. Это делается специальным образом, чтобы не производить полной детализации нашей структуры предпочтений. Несмотря на то, что процедура эта может иногда быть эффективной в некоторых специальных, хорошо структуризованных задачах (например, в задачах линейного программирования с более чем одной целевой функцией). Для большинства прикладных задач, описанных в этой книге, эта формальная процедура не очень полезна, особенно когда вводятся вероятностные значения. Поэтому мы сосредоточили наше внимание, главным образом, на одном из аспектов проблемы принятия решения, связанном с количественным описанием предпочтений. Мы сделали это так, чтобы впоследствии было легче перейти к рассмотрению вероятностного случая.

Параграфы 3.4-3.6 содержат большое количество теорем представления, которые позволяют разбить построение функции ценности на составные части. Ключевым понятием всех этих методов сокращения размерности анализируемой проблемы является понятие независимости по предпочтению.

Весьма сильными оказываются следствия из того факта, что множества критериев, не зависящие по предпочтению от своих дополнений, являются пересекающимися. Поэтому случай двух критериев не столь благоприятен, как случаи трех и более критериев. Большинство важных теорем представления указывают условия, при выполнении которых функция ценности может быть выражена в аддитивной форме

где функции ценности отдельных критериев, имеющие согласованные шкалы измерений. Подробный пример, иллюстрирующий построение такой функции, приведен в § 3.7.

Общепринятый большинством аналитиков подход состоит в «оценивании» неденежных критериев с помощью (единого) денежного критерия. При этом сравнение альтернатив производится только по «установленным» уровням денежного критерия. Допущения, необходимые для того, чтобы такой подход был обоснованным, являются весьма сильными. Они обсуждались в § 3.8.

Большая часть этой главы по своей сути «объяснительная», поскольку, как это уже неоднократно указывалось, изложение фундаментальных результатов переориентировало бы книгу на другой круг читателей. Мы воздержались от приведения формальных доказательств и большей частью прибегали к «почти доказательствам», имеющим своей целью разъяснить читателю «физический смысл» строгих доказательств и получаемых результатов. Однако мы постоянно указывали на оригинальные статьи и специальную литературу, в которой имеются доказательства теорем.

Теперь мы сделаем беглый обзор литературы, но только для того, чтобы указать несколько источников, где заинтересованный читатель может найти более глубокое изложение материала, чем в этой книге. При этом мы постараемся также упомянуть и некоторые классические работы, относящиеся к рассматриваемым вопросам.

Леонтьев (1947а, 19476) изучал свойства функций нескольких переменных, обеспечивающие сепарабельность, разбивая исходную функцию на функции, определенные на непересекающихся подмножествах первоначальных переменных. Его результаты по своему существу носят скорее локальный, а не глобальный характер.

Дебре (1960) впервые предложил систему аксиом, обеспечивающую существование аддитивной функции для трех и более критериев, и дал элегантное топологическое доказательство. Иное алгебраическое доказательство аддитивности было дано Льюсом и Тьюки (1964) в их статье, вводящей «совместные измерения» для случая двух критериев. Некоторые обобщения совместных измерений были сделаны Крантцем (1964), Льюсом (1966) и Тверским (1967). Для полного ознакомления с этой областью мы настоятельно рекомендуем «Основания измерений» Крантца, Льюса, Сапса и Тверского (1971). В контексте

общей теории измерений эта книга содержит также теоремы представления для многих более общих функций ценности, чем те, которые рассматривались в этой главе, и в том числе для широкого класса функций ценности, которые могут быть представлены полиномиальными структурами. Добавлением к литературе, посвященной этому вопросу, может служить статья Фишберна (1975).

Важный вклад в решение задачи разделения функции ценности на отдельные компоненты внесла статья Гормана (1968а). Его результаты позволяют нам существенно сократить число условий, выполнение которых необходимо для аддитивности функции ценности, т. е. сделать этот метод более операциональным. Тинг (1971) обсуждает ряд способов декомпозиции при количественном описании предпочтений и предлагает несколько подходов к проверке предположений, необходимых для использования полученных результатов.