4.6. ПОСТОЯННАЯ, УБЫВАЮЩАЯ И ВОЗРАСТАЮЩАЯ НЕСКЛОННОСТЬ К РИСКУ

В предыдущих параграфах мы говорили о надбавке за риск к лотерее х при фиксированной опорной точке х, т. е. для лотереи Очень интересен вопрос: что происходит с при увеличении Больше или меньше будет надбавка за риск для больших значений Часто бывает так, что по мнению лица, принимающего решение, с ростом х надбавка за риск, которую нужно выплатить дополнительно к х, уменьшается. Такое поведение, как мы покажем в этом параграфе, налагает сильные ограничения на форму функции полезности. Рассматривая саму функцию полезности, трудно выяснить, имеют ли место такие особенности предпочтений. Однако они очень заметны при рассмотрении функции несклонности к риску

Рассмотрим для несклонного к риску индивидуума надбавку за риск к лотерее при возрастающей функции полезности. Ясно, что положительна при любых х. Однако может представляться разумным, что надбавка за риск к этой лотерее будет уменьшаться с ростом х. Для иллюстрации ситуации, в которой такое поведение может быть уместным, предположим, что х характеризует конкретное денежное состояние лица, принимающего решение, некоторую денежную сумму. Для большинства людей на основе их опыта кажется верным то, что по мере увеличения состояния они будут требовать меньшую надбавку за риск при фиксированном риске. Они рассуждают так: становясь богаче, они могут позволить себе пойти на известный риск и поэтому в меньшей степени будут стараться его избежать. Из этого рассуждения следует, что страховая сумма для неблагоприятной лотереи (т. е. лотереи, которая менее предпочтительна, чем. существующее положение) уменьшается, когда мы становимся богаче, и растет, когда мы беднеем.

Формализуем это поведение, которое интуитивно присуще большинству людей.

Определение. Индивидуум обладает убывающей несклонностью к риску, если: 1) он не склонен к риску и 2) надбавка за риск в любой лотерее для него уменьшается при увеличении опорной суммы х.

Опираясь только на приведенные выше результаты, весьма трудно выяснить, вытекает ли из конкретной функции полезности подобное поведение. Для доказательства этого факта потребовалась бы исчерпывающая проверка всех возможностей лотерей х. К счастью, Пратт доказал один важный результат, который

избавляет нас от этого затруднения и делает понятие убывающей несклонности к риску операциональным.

Теорема 4.13. Функция несклонности к риску для функции полезности и является убывающей тогда и только тогда, когда надбавка за риск убывающая функция от х для всех х.

Доказательство. Теорема 4.12 устанавливает, что если то для любого х. Применяя этот результат для при положительном и отрицательном легко доказать соответственно части «тогда» и «только тогда» этого утверждения.

Как мы скоро убедимся, многие традиционные «кандидаты» в функции полезности, такие, как экспоненциальная и квадратичная функции полезности, не подходят для лица, обладающего убывающей несклонностью к риску. Таким образом, такая характеристика, как убывающая несклонность к риску, сильно ограничивает возможное очертание (т. е. функциональный вид) функции полезности. Если мы знаем, что функция полезности должна отражать уменьшение несклонности к риску, то это ограничение существенно упрощает построение функции полезности. Приведем несколько примеров.

Пример 4.10. Рассмотрим экспоненциальную функцию полез ности В примере 4.2 мы показали, а потом и доказали, что надбавка за риск к любой лотерее х не зависит от х, когда Таким образом, хотя эта функция полезности влечет за собой несклонность к риску, ясно, что из нее не вытекает убывающая несклонность к нему, так как постоянна, а не убывает, для любой х.

Следующая теорема, приводимая без доказательства, характеризует такое поведение в более общем случае.

Теорема 4.14. Несклонность к риску постоянна тогда и только тогда, когда функция, не зависящая от х для всех х.

Определение. Принимающий решение постоянно не склонен к риску, если положительная константа, безразличен к риску, если нуль, и постоянно склонен к риску, если отрицательная константа.

Теорема 4.15 указывает сильные ограничения, которые налагаются на вид функции полезности этими условиями.

Теорема 4.15.

Доказательство. Если то согласно Теперь, если то из (4.14) имеем

Интегрируя обе части этого равенства и используя операцию возведения числа в степень, получаем

где постоянная интегрирования. Интегрируя еще раз, приходим к равенству

где другая постоянная интегрирования. Отсюда ясно видно, что Доказательства остальных утверждений теоремы аналогичны.

Этот результат говорит, например, о том, что если индивидуум постоянно склонен к риску, то его функция полезности обязана иметь вид (4.20). Зная об этом, нам нужно лишь определить значение параметра с для того, чтобы полностью построить его функцию полезности. Это легко может быть сделано путем определения детерминированного эквивалента для какой-нибудь одной лотереи. Однако искушенный аналитик непременно постарается провести проверку состоятельности своих построений, так что процедура окажется не такой простой, какой она представляется. Задача построения функций полезности рассматривается в § 4.9.

Поскольку мы заинтересованы в отыскании семейства функций полезности, отражающих убывающую несклонность к риску, рассмотрим следующий пример.

Пример 4.11. Рассмотрим квадратичную функцию полезности

где меньше, чем так как функция полезности за этой точкой убывает. Дифференцируя, получаем поэтому функция несклонности к риску

Поскольку то ясно, что и отражает несклонность к риску. Но возрастает с ростом, х, поэтому и не может характеризовать убывающую несклонность. Таким образом, мы видим, что, если Необходимо отразить убывающую несклонность к риску, квадратичная функция оказывается неприемлемой.

Тем не менее, несмотря на эти свойства, связанные с отношением к риску, квадратичная функция полезности часто используется в литературе, поскольку ожидаемая полезность лотереи, приводящей к неопределенному выигрышу х, зависит только от

математического ожидания х и дисперсии случайной величины

Как указывалось в § 4.1, мы, вообще говоря, не считаем разумным основывать свои решения только лишь на среднем значении и дисперсии возможных исходов. Этот пример подводит нас к следующему определению.

Определение. Принимающий решение обладает возрастающей несклонностью к риску, если: 1) он не склонен к риску и 2) надбавка за риск для него увеличивается по мере роста х для любой отдельной лотереи х.

Теорема 4.16 связывает такое поведение с функцией несклонности к риску.

Теорема 4.16. Функция несклонности к риску является возрастающей тогда и только тогда, когда возрастает по х для любой лотереи х.

Доказательство, подобное предыдущим, опускается.

Вспомним, что согласно (4.24), для квадратичной функции полезности возрастает по х. Поэтому такая функция свидетельствует о возрастающей несклонности к риску.

Подобное отношение к риску приводит, например, к тому, что индивидуум, становясь богаче, согласился бы платить все большие страховые суммы для того, чтобы избежать участия в неблагоприятных лотереях. Поэтому мы не можем ожидать, что большинство лиц, принимающих решения, согласятся с таким поведением. Однако, если такое отношение к риску имело бы место, то оно могло бы быть использовано для упрощения построения функции полезности. Наконец, мы подходим к функции полезности, отражающей убывающую несклонность к риску.

Пример 4.12. Рассмотрим логарифмическую функцию полезности обсуждавшуюся в примере 4.3. Дифференцируя, находим так что

Понятно, что положительна и убывает по х для всех Следовательно, в этой области значений х функция полезности отражает убывающую несклонность к риску.

Теперь отвлечемся и посмотрим, к чему мы пришли. Мы рассмотрели возрастающую, постоянную и убывающую несклонность к риску. Интуитивные соображения и опыт подсказывают нам, что случай возрастающей несклонности к риску мало интересен, и мы по существу обсуждали основные положения, относящиеся к случаю постоянной несклонности к риску. Однако нам нужно подробнее рассмотреть и случай убывающей к нему несклонности. Так, представляется целесообразным выбрать несколько простых, но довольно разнообразных семейств функций полезности. Тогда, если индивидуум проявляет убывающую

несклонность к риску, то мы можем взять конкретное семейство функций полезности и направить свои усилия на подбор отдельного его представителя, подходящего к рассматриваемой ситуации. Следующий полезный результат позволяет нам построить такой класс функций полезности.

Теорема 4.17. Функция полезности, являющаяся взвешенной суммой двух или более функций полезности, которые на интервале отражают убывающую или постоянную несклонность к риску, также характеризуется убывающей или постоянной несклонностью к риску на и, за исключением подынтервалов, на которых суммируемые с весами функции полезности отражают одинаковую и постоянную несклонность к риску, она характеризуется убывающей несклонностью к риску.

Доказательство. Пусть Тогда

Дифференцируя, получаем

Так как то мы видим, что Поэтому для случая утверждено верно. Общий случай исследуется аналогично — путем последовательного применения приведенного доказательства.

Пример 4.13. Какова будет несклонность к риску при где и с — положительные константы? Если определить то К тому же мы знаем, что (см. теорему 4.17) должна характеризоваться постоянной несклонностью к риску при и убывающей несклонностью к нему при В этом можно убедиться и непосредственно. Предположим, что тогда и при этой функции, как мы уже знаем, несклонность к риску постоянна. Если так что

и производная этой функции отрицательна. Следовательно, действительно характеризует убывающую несклонность к риску.

Функция полезности из предыдущего примера часто применяется при практическом описании предпочтений. Рассмотрим ее более подробно, чтобы лучше понять «физический смысл» убывающей несклонности к риску. Чтобы «прочувствовать» степень неприятия риска, т. е. поведение в (4.25) как функции от х, нужно вначале изучить поведение Без потери общности предположим, что

Рис. 4.12. Экспоненциальные компоненты функции полезности

Обе функции изображены на рис. 4.12 при

Обе принимают очень большие значения для больших отрицательных х и асимптотически приближаются к нулю при возрастании х. Их отношение представить несколько сложнее. Оно тоже изображено на рис. 4.12 и имеет такую же форму, как и обе исходные функции. Таким образом, очень мало по сравнению с для очень больших по абсолютной величине отрицательных значений х, при они оказываются равными, и очень мало по сравнению с для больших положительных значений х.

После этого отступления более детально рассмотрим несклонность к риску при Согласно (4.25) и эта величина меньше а, но больше с. Для больших отрицательных значений х, поскольку мало по сравнению с получаем

Предел функции при равен а. При больших положительных значениях х, как мы знаем, мало по сравнению с так что

Предел функции при равен с.

График при для двух значений представлен на рис. 4.13. Общую форму каждой кривой можно описать следующим образом. Функция несклонности к риску при убывает по х и всегда находится между Весовой коэффициент определяет скорость, с которой приближается к нижней асимптоте с. Чем больше

тем быстрее с ростом х кривая приближается к с. Заметим, что при больше, чем при для всех значений х. Из теоремы 4.12 нам известно, что надбавка за риск к любой лотерее х при будет больше, чем при в том и только в том случае, если

Рис. 4.13. Функция несклонности к риску для функции полезности

Представляется полезным привести еще один пример функции полезности, отражающей убывающую несклонность к риску.

Пример 4.14. Какова несклонность к риску при где а и положительны? Если мы примем то так что согласно теореме 4.17 несклонность к риску должна убывать.

Чтобы доказать это непосредственно, находим и получаем

Опыт предыдущего примера подсказывает, что примерно равна а для больших отрицательных значений х, убывает до при и асимптотически приближается к нулю при возрастании х.

Поскольку функции полезности, отражающие убывающую несклонность к риску, играют особо важную роль, мы перечисляем наиболее простые из них в табл. 4.5. Этот перечень, разумеется, не является исчерпывающим.

4.6.1. Убывающая склонность к риску. По-видимому, сейчас уже очевидно, что мы можем по виду функции полезности выделить убывающую, постоянную и возрастающую склонность к риску. Постоянную склонность к риску мы уже обсуждали. Чтобы прояснить смысл возникающих здесь ситуаций, рассмотрим первое из перечисленных понятий.

Определение. У индивидуума наблюдается убывающая склонность к риску, если: 1) он склонен к риску и 2) надбавка за риск к любой лотерее х для него возрастает при увеличении опорной величины х. Напомним, что при склонности к риску всегда отрицательна.

Таблица 4.5. (см. скан) Некоторые простые функции полезности, отражающие убывающую несклонность к риску

Теорема 4.18 указывает удобный метод исследования функций полезности при убывающей склонности к риску.

Теорема 4.18. Функция полезности и соответствует убывающей склонности к риску тогда и только тогда, когда отвечающая ей функция несклонности к риску отрицательная и возрастающая.

Доказательство мы опускаем, так как оно аналогично доказательствам, приводимым ранее. Проиллюстрируем этот результат простым примером.

Пример 4.15. Рассмотрим функцию полезности Поскольку , то связанная с ней функция несклонности к риску Поскольку при положительных отрицательная и возрастающая функция, отражает убывающую склонность к риску в области положительных х. Ожидаемая полезность лотереи равна 5, поэтому детерминированный эквивалент равен 2,24. Соответствующая надбавка за риск равна —0,24. Подобным же образом получается, что надбавки за риск к равны соответственно Как и следовало ожидать, они возрастают.