6.10. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

В предыдущих трех параграфах были рассмотрены результаты, полученные на основе использования наборов допущений следующих трех видов: 1) условие независимости по полезности совместно с условием независимости по предпочтению; 2) два перекрывающихся условия независимости по полезности; 3) некоторое, количество условий независимости по полезности. Следствия допущений первой грушгпы могут использоваться для установления справедливости допущений второй и третьей групп, а следствия допущений второй группы могут использоваться для установления справедливости допущений третьей группы. В этом и следующих параграфах будет предпринята попытка объединить некоторые из указанных идей; кроме того, будут представлены важные, но более частные результаты. Доказательства теорем большей частью будут приводиться не очень подробно, так как они либо непосредственно следуют из доказанных ранее теорем, либо аналогичны им. Рассмотрим сначала обобщения мультипликативной и полилинейной функций полезности.

6.10.1. Обобщение мультипликативной функции полезности. Следующая теорема является непосредственным расширением теоремы 6.1.

Теорема 6.9. Пусть дано множество факторов где являются элементами максимальной независимой по полезности цепи сюда не входит!). Тогда

и либо (если )

Либо

где

5. k - шкалирующая константа которая является корнем уравнения

Доказательство. Используя теорему 6.1 вместе с дополнительным допущением о независимости по полезности множества от фактора получаем

Это непосредственно приводит к заключению о том, что либо

либо

что и требовалось доказать.

6.10.2. Обобщение полилинейной функции полезности. Выражения (6.89) и (6.90) представляют собой такие формы функции полезности, которые связаны с наличием одной максимальной независимой по полезности цепи. Однако в некоторых случаях на одном и том же множестве факторов может существовать и несколько максимальных независимых по полезности цепей. Например, пусть множество X разбито на и предположим, что не зависит по «полезности от . То есть образуют максимальные независимые по полезности цепи. Для случая, когда существует несколько таких максимальных цепей, используя допущение о независимости по полезности для неперекрывающихся факторов, можно установить соответствующий функциональный вид функций полезности. этой щелью сформулируем следующую теорему.

Теорема 6.10. Пусть множество разбито на подмножества где каждое является независимым по полезности. Тогда функция полезности может быть представлена в виде

где функция полезности для Частным случаем является следующий вид функции полезности:

где

Теорема 6.10 представляет естественное расширение полилинейной функции полезности. Отличие заключается в том, что не предполагается независимым по полезности от своего дополнения.

Одно из важных обстоятельств, касающихся теорем 6.9 и 6.10, связано с возможностью их многократного последовательного использования для упрощения представления многомерных функций полезности. То есть факторы, обозначенные через X, в выражениях (6.89) и (6.90) и через в (6.92), могут быть векторными, и соответствующие им компоненты, в свою очередь, могут оказаться также независимыми но полезности. Бели это так, то, конечно, для определения соответствующих функций полезности в выражениях (6.89) и (6.90) или в (6.92) снова можно использовать теоремы 6.9 и 6.10. Предлагаемый ниже пример позволяет проиллюстрировать сказанное и пояснить данные выше определения.

Пример 6.5. Предположим, нужно построить функцию полезности для множества факторов Кроме того,

предположим, что ранее была установлена независимость по полезности от где

Согласно нашему определению в X существует две максимальные независимые по полезности цепи: Факторы не принадлежат второй цепи, так как пересечение для равно либо самому либо пустому множеству. То же самое справедливо и для фактора Поэтому, согласно определению независимой по полезности цепи, факторы будут исключены. Таким образом, можно положить и, используя выражение (6.92), получить

где функции шкалированы от 0 до 1.

Ясно, что в входит только один элемент тогда как в имеется пять элементов: Для последующего определения функции можно вновь использовать теорему 6.9. Для этого в выражениях (6.89) и (6.90) положим Тогда

либо

где

Рассматривая отдельно факторы можно установить еще одну независимую по полезности цепь, а именно Тогда согласно теореме 6.10

Это выражение можно подставить в выражения (6.95) или (6.96). Исходное допущение о независимости по полезности фактора от избыточно для настоящей задачи, поскольку является элементом максимальной независимой по полезности цепи а из теоремы 6.8 следует, что каждый элемент такой цепи не зависит по полезности от своего дополнения. Объединение выражений (6.94) — (6.97) позволяет настолько полно декомпозировать функцию полезности насколько это возможно в соответствии с установленными допущениями.

6.10.3. Частные виды полилинейной функции полезности. Как и следовало ожидать, можно предложить различные виды допущений, которые являются более сильными, чем допущения о независимости по полезности в теореме 6.3, и в то же время более слабыми, чем допущение о взаимной независимости в теореме 6.1.

Проиллюстрируем целесообразность исследования дополнительных ограничений, накладываемых различными допущениями на функцию полезности. Как будет показано далее, дополнительные допущения уменьшают количество эмпирической информации, необходимой для определения функции и. Соответствующие результаты будут представлены в § 6.11 при обсуждении предпочтений, когда факторы обладают иерархической структурой.

На протяжении этого пункта будет предполагаться, что Следовательно, согласно теореме 6.3 функция полезности может быть полностью построена с помощью одномерных функций полезности шкалирующих констант. С более общих позиций, можно было бы рассмотреть влияние дополнительных допущений, используемых вместе с допущениями теоремы 6.10. Однако, поскольку идеи такого исследования аналогичны введению дополнительных допущений к теореме 6.3, а обозначения в теореме 6.3 менее громоздки, именно этот случай и был вьгбран для иллюстрации.

Фактор У не зависит по полезности от Предположим, что Бели не зависит по полезности от каждый из факторов является независимым по полезности. Таким образом, в этом случае применима теорема 6.3, и общая функция полезности может быть построена при помощи одномерных функций полезности шкалирующих констант. Но для построения функции , в свою очередь, может быть повторно использована теорема 6.3, поскольку каждый из факторов является независимым по полезности. Таким образом, функцию можно определить, задав функций полезности шкалирующих констант. Объединяя эти результаты, получаем, что интересующая нас исходная функция полезности определяется теперь одномерными функциями полезности и шкалирующими константами.

Польза от введения дополнительного допущения вполне ясна: такое дополнение позволяет определить функцию и при помощи меньшего количества шкалирующих констант. Это действительно так, поскольку допущение о том, что накладывает ряд ограничений на согласованность значений шкалирующих констант в полилинейной функции полезности.

Факторы взаимонезависимы по полезности. Используя те же обозначения, что и раньше, предположим, что факторы взаимонезависимы но полезности. Из теоремы 5.2 следует, что функция полезности может быть определена с помощью функций и двух шкалирующих констант. Тогда из теоремы 6.3 следует, что функция определяется с помощью одномерных функций полезности шкалирующих констант. Аналогично, функция может быть выражена через шкалирующих констант.

Следовательно, при справедливости дополнительного допущения о взаимной независимости факторов по полезности функция полезности полностью задается функциями шкалирующими константами.

При мультипликативной и полилинейной функциях полезности, так же, как и в рассмотренных выше двух случаях, функция полезности и определяется с помощью функций полезности и некоторого количества шкалирующих констант. Использование дополнительных допущений, как было показано выше, позволяет определить функцию полезности и при помощи меньшего количества шкалирующих констант, чем в случае полилинейной функции полезности. В табл. 6.3 сравниваются количества шкалирующих констант, необходимых для конкретизации численных значений функции полезности, при наличии и в отсутствие дополнительных допущений, для некоторых характерных значений пит. Таким образом, таблица характеризует полнительное упрощение процесса нахождения рассматривав функции полезности

и. Во всех случаях предполагается, что

Таблица 6.3. Количество шкалирующих констант, необходимых для построения -мерных функций полезности при условии, что

Другие наборы допущений. Рассматривавшиеся до сих пор дополнительные допущения являются как раз теми, которые необходимы в качестве «строительных блоков» для формирования более сложных наборов допущений о независимости по полезности. Приведем еще одну иллюстрацию. Пусть фактор У определен так же, как и ранее. Определим Z как набор Предположим теперь, что независимы по полезности от дополняющих их множеств факторов. В данной ситуации нам необходимо рассмотреть три отдельных случая:

Остановимся лишь на самом сложном из них, когда и в допущениях о независимости по полезности существует некоторое «перекрывание». Для упрощения рассмотрения введем следующие обозначения:

В дополнение к исходному допущению о том, что предположим, что не зависит по полезности от и что не зависит по полезности от При сделанных допущениях из теоремы 6.1 следует, что функция полезности является либо, аддитивной, либо мультипликативной, и» следовательно, необходимо отыскать функции полезности для каждого и три независимые шкалирующие константы. Но все компоненты каждого из множеств являются независимыми по полезности факторами, поэтому члены могут быть найдены: с помощью функций полезности каждой компоненты из шкалирующих констант, где число факторов в множестве

Пример 6.6. Для того чтобы проиллюстрировать эффективность этого результата, предположим, что имеется девять исходных факторов, обозначенных Тогда, если справедливы указанные выше допущения, необходимо построить и найти три шкалирующие константы. Но для определения каждой из функций нужно еще определить три соответствующие функции полезности для соответствующих X, и шкалирующих констант. Следовательно, для определения всей функции полезности и требуется построить 9 одномерных функций полезности и всего лишь 211 шкалирующую константу. Для сравнения укажем на 510 шкалирующих констант, которые необходимо найти в том случае, когда известно лишь, что

6.10.4. Аддитивная функция ценности и мультипликативная функция полезности. Интересно сопоставить аддитивную функцию ценности, рассмотренную в § 3.6, с мультипликативной функцией полезности, рассмотренной в § 6.3, поскольку необходимые и достаточные условия существования аддитивной функции ценности являются необходимыми условиями для мультипликативной функции полезности.

Теорема 6.11. Пусть дано:

1. Предпочтения в пространстве описываются с помощью аддитивной функции ценности

2. Известно, что один из факторов (пусть это будет ).

Тогда функция полезности и должна быть представима в одной из следующих трех форм:

[Предварительное замечание. Теорема утверждает, что функция полезности для скалярного фактора V, значения которого выступают в качестве меры ценности должна характеризовать постоянную несклонность к риску.]

Доказательство. Представим в виде

и нормализуем с помощью соотношений

Аналогично, нормализуем функции

Тогда, естественно,

Идея доказательства проста: построим функцию полезности для фактора V и покажем, что она должна характеризовать постоянную несклонность к риску (см. теорему 4.15). Отсюда вытекают функциональные формы (6.98).

Пусть В принятых обозначениях и не зависит по полезности от Пусть для фактора справедливо и, следовательно, для всех у. Выраженная через фактор V эта равноценность означает

где

Другими словами, добавление к всходам лотереи увеличивает детерминированный эквивалент на для всех Отсюда следует постоянная несклонность к риску, что и требовалось доказать.

Теорема 6.11 представляет интерес по двум причинам:

1. Она обеспечивает простую процедуру построения многомерной функции полезности, если справедливы необходимые допущения и уже определена аддитивная функция ценности.

2. Аналитик может независимо построить как мультипликативную (или аддитивную) функцию полезности, так и аддитивную

функцию ценности и использовать одну из них для проверки другой.

Важно отметить, что если функция полезности аддитивна, то справедливо выражение (6.986). В то же время если функция полезности мультипликативна, то должно быть справедливо выражение (6.98а) или (6.98в).

Когда известна функция нахождение функции и сильно упрощается. Необходимо лишь оценить детерминированный эквивалент для лотереи Тогда, если

функция полезности должна быть аддитивной, вида (6.986). Пусть

Если левая часть выражения (6.104) меньше правой, то функция полезности описывается выражением (6.98а), в противном случае, справедливо выражение (6.98в). В каждом из этих двух случаев шкалирующую константу с можно найти, приравняв полезности исхода и лотереи используя выражения (6.98а) или (6.98в) и решая полученное уравнение.