6.6. УСТАНОВЛЕНИЕ ЧИСЛЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ МНОГОМЕРНЫХ ФУНКЦИЙ ПОЛЕЗНОСТИ

Использование аддитивной, мультипликативной и (полилинейной функций полезности, а также независимости по (предпочтению и по полезности позволяет свести задачу установления численных значений функции полезности для факторов к построению одномерных функций полезности. Обозначим эти функции для каждого из факторов через а шкалирующие константы через Тогда

где является скалярной функцией. Каждая из функций может быть построена независимо, поскольку подразумевается, что шкалирующие константы обеспечивают согласование шкал измерений функций Таким образом, сама проблема построения функций оказывается на самом деле ничуть не более сложной, чем для случая двух факторов, рассмотренного в § 5.8, только число таких функций больше. Поэтому проблема построения этих функций здесь обсуждаться не будет. Однако проверка условий независимости

и нахождение численных значений шкалирующих констант при наличии большого числа факторов усложняются. Подходы к решению этих проблем остаются теми же, что и в случае двух факторов, но возрастают трудности их реализации.

С точки зрения реализуемости возможных процедур нахождения численных значений оцениваемых величин и характера вопросов, задаваемых при этом лицу, принимающему решение, аддитивная и мультипликативная функции полезности оказываются вполне удобными для практического использования и при Даже когда необходимые допущения полностью не выполняются для области определения всех факторов, предположение о справедливости этих допущений ряде случаев может оказаться хорошей аппроксимацией [см. работу Винтерфельдта и Эдвардса (1973)]. В других случаях оказывается целесообразным объединение различных аддитивных и мультипликативных функций полезности, определенных «а различных областях изменений факторов. Более того, применяя описанный ниже способ вложения одной многомерной функции полезности в другую, можно достичь дополнительного увеличения гибкости в и с амии структуры предпочтений. В результате такого подхода могут быть получены различные частные случаи полилинейной функции полезности.

Результаты теорем 6.1 (мультипликативная функция полезности) и § 6.4 (аддитивная функция полезности) справедливы независимо от того, являются ли факторы скалярными или векторными. Это значит, что могут быть как скалярными, так и векторными величинами. В первом случае представляют собой функции полезности для одного фактора, во втором — многомерные функции полезности. Если является векторным фактором, тогда (при выполнении необходимых допущений) для структуризации функции можно снова использовать теоремы 6.1 и 6.4. В этом случае можно сказать, что является «вложенной» многомерной функцией полезности. Иными словами, многомерная функция полезности является «вложенной» в многомерную функцию полезности и.

Возможность вложения мультипликативных форм предоставляет дополнительную степень свободы в задаче, благодаря использованию дополнительных независимых шкалирующих констант. При использовании только «невложенных» мультипликативных функций полезности число независимых шкалирующих констант равно числу факторов Теперь предположим, что последняя из «одномерных» (в вышеуказанном смысле) функций полезности, т. е. является мультипликативной функцией полезности, вложенной в общую функцию полезности, и что в свою очередь зависит от трех исходных («простых») факторов. Тогда для «внешней мультипликативной функции полезности» требуется шкалирующих констант, а для «внутренней» - три. Таким образом, всего необходимо константы, хотя существует только исходных «простых» факторов и три «простых» фактора для функции Степень свободы, обусловленная

использованием дополнительного параметра, допускает зависимость кривых замещения для двух факторов от значений третьего. Это позволяет, в свою очередь, ослабить условия независимости по предпочтению. Используя различные схемы вложения, можно получить достаточное количество дополнительных констант для моделирования ситуаций, в которых для многих пар факторов кривые замещения зависят от значений других факторов. Аддитивная - и мультицликативная функции полезности достаточно просты с точки зрения их интерпретации и в то же время они обеспечивают достаточную точность в количественном описании предпочтений во многих реальных задачах, особенно при использовании вложений. Последнее представляется очень важным, ибо об использовании многомерных функций полезности и их построении легко рассуждать, однако реализовать необходимые процедуры в практических ситуациях очень трудно.

6.6.1. Проверка допущений о независимости по предпочтению и по полезности. Разобьем множество X на два подмножества: . Для проверки допущения о независимости по предпочтению фактора У от проделаем следующее. Сначала установим некоторое фиксированное значение при котором все. компоненты принимают относительно нежелательные значения. Кроме того, выберем такие значения у и у", что последствие равноценно последствию После этого возьмем некоторое другое значение у, при котором все компоненты у принимают относительно желательные значения, и спросим у лица, принимающего решение: равноценно ли последствие последствию Ответ на этот вопрос должен утвердительным, если фактор У не зависит по предпочтению от У. Если ответ на самом деле оказался утвердительным, необходимо выбрать новые значения у и повторить ту же самую процедуру при различных значениях у. Если ответы и на эти вопросы указывают на справедливость допущения о независимости .по предпочтению фактора У от тогда зададим лицу, принимающему решение, вопрос: «Если последствия равноценны для Вас при некотором конкретном значении у, значит ли это, что указанная равноценность последствий сохранится при любом выбранном значении Положительный ответ и на этот вопрос в значительной степени укрепляет предположение о независимости по предпочтению фактора У от У. В этом случае необходимо дополнительно проверить ориентацию предпочтений относительно компонент фактора У. Если последствие предпочтительнее последствия для одного значения у, тогда та же ориентация предпочтений должна сохраняться (т. е. порядок предпочтений не должен изменяться) и для любого другого значения у. Это условие вместе с тем фактом, что кривые равного предпочтения (кривые безразличия) на У, построенные при фиксированном значении У, не меняются при различных значениях позволяет установить справедливость допущения о независимости по предпочтению У от Поскольку проверка условий независимости очень важна и

существуют различные подходы к ее проведению, ниже приводится краткий диалог, который иллюстрирует одну из возможных процедур.

Разобьем X на . Для того чтобы проверить, является ли фактор У независимым по предпочтению от У, можно придерживаться схемы этого гипотетического диалога между аналитиком и экспертом.

Аналитик. Я хотел бы исследовать Ваше отношение к последствиям с различными значениями фактора У и некоторыми неизменными значениями фактора У. К примеру, на первой страница этого вопросника (который показывается эксперту) приведен список из 25 парных сравнений различных значений фактора каждый из элементов пары характеризует значения факторов только из У. Предполагается, что пары, представленные на первой странице, имеют одинаковые значения фактора У, равные (значения всех компонент из предъявляются эксперту). Вам понятна стоящая перед нами задача?

Эксперт. Совершенно ясна, но Вы требуете от меня проведения очень большой работы.

Аналитик. Дело в том, что я преследую определенную цель, и к тому же выяснение интересующих меня вопросов займет не так много времени, как Вы думаете. На второй странице вопросника (она показывается эксперту) повторяется идентичный набор из 25 парных сравнений, однако теперь ранее используемые общие значения факторов из У изменены: заменен на (значения наказываются эксперту). Это понятно?

Эксперт. Безусловно.

Аналитик. На странице 3 имеются те же 25 парных сравнений, но теперь общие для них значения факторов из У равны (показываются эксперту).

Эксперт. Вы же сказали, что эта работа не отнимет много времени.

Аналитик. Вот тут мы подошли к центральному моменту. Представьте себе, что Вы тщательно и кропотливо провели все предложенные Вам 25 парных сравнений, представленные на с. 1, где установлено значение Теперь, переходя к следующей странице, измените ли Вы свое отношение к результатам тех же 26 парных сравнений?

Эксперт. Сейчас посмотрим. На второй странице все парные сравнения те же самые и отличаются лишь тем, что заменен на Но к каким различиям в ответах это должно привести?

Аналитик. Вот это как раз Вы и должны мне сказать. Допустим, мы рассматриваем первое парное сравнение (указывается в вопроснике). Имеет ли какое-нибудь значение то, что значения всех факторов из У зафиксированы на уровне у или Дело в том, что изменения общего уровня значений факторов из У могут оказать некоторое влияние на Вашу точку зрения относительно результатов попарных сравнений.

Эксперт. Возможно, это справедливо в некоторых других ситуациях, но в первом парном сравнении левая альтернатива для меня предпочтительнее правой вне зависимости от значений У, пока эти значения одинаковы для обоих (последствий.

Аналитик. Хорошо. Изменится ли Ваше отношение к этому вопросу, если рассматривать вторую пару альтернатив?

Эксперт. Нет. Это касается также и третьей пары и всех остальных тоже. Быть может, я слишком наивен? Или здесь заключен какой-либо подвох?

Аналитик. Нет, совсем нет. Я лишь проверяю, влияют ли значения у на Ваше отношение к возможным результатам парных сравнений. Таким образом, я могу сделать вывод, что ваше отношение к попарно сравниваемым альтернативам на с. 1 можно перенести и на результаты сравнений на с. 2.

Эксперт. Совершенно верно.

Аналитик. Относится ли это и к третьей странице, где зафиксирован на значении (показывается эксперту)?

Эксперт. Да.

Аналитик. Итак, на основе этой информации я могу сообщить Вам, что для Вас множество факторов не зависит по предпочтению от множества факторов У.

Эксперт. Приятно слышать.

Аналитик. Это все, что я хотел выяснить.

Эксперт. Разве Вы не попросите меня дать ответы на все вопросы, помещенные на с. 1?

Аналитик. Нет. Это слишком большая работа. Есть гораздо более легкие способы получения этой информации.

Конечно, при использовании аналитиком и экспертом этой процедуры проверки независимости У по предпочтению от она может оказаться недостаточной для проверки независимости остальных отношений предпочтения. Однако существует опасность того, что процедура оборвется на первом же этапе, поскольку ее идеи, хотя и являются очень простыми, когда они уже известны, первоначально могут вызвать серьезные трудности.

К аналогичной процедуре можно прибегнуть и для проверки независимости по полезности фактора от В этом случае на первой странице вопросника также устанавливается определенное значение фактора У. Однако вместо парных сравнений последствий с различными значениями у предлагаются парные сравнения лотерей (обладающих равновероятными исходами) либо с другими лотереями (также с равновероятными исходами), либо просто с детерминированными исходами. Конечно, все возможные исходы в подобных парных сравнениях представляют собой возможные последствия и описываются в пространстве факторов У. Во всех сравнениях на с. 1 факторы У зафиксированы на уровне Аналогично, на с. 2 факторы У зафиксированы на уровне и т. д. Аналитик теперь снова может прибегнуть к описанной выше процедуре, и если эксперт не находит причин, по которым, результата

парных сравнений должны зависеть от значений у, то можно заключить, что

В практических ситуациях для обоснованного подтверждения гипотезы о независимости по полезности фактора У от У обычно оказывается достаточно проверить это условие примерно для четырех различных значений у, охватывающих диапазон изменения У.

6.6.2. Вычисление значений шкалирующих констант. Из рассмотрения, проведенного в § 5.8, вытекает удобный подход к вычислению значений шкалирующих констант Желательно получить независимых уравнений, которые содержали бы в качестве неизвестных константы и, решая затем эти уравнения, найти значения Необходимая система уравнений может быть получена путем рассмотрения детерминированных исходов, лотерей их комбинаций. Например, если последствия х и у одинаково предпочтительны для лица, принимающего решение, тогда, очевидно, или, пользуясь выражением (6.32),

Поскольку функции уже построены, значения являются просто числами, и поэтому выражение (6.33) представляет собой уравнение, содержащее как максимум неизвестных. Аналогично, если, например, то, подставляя выражение (6.32) в соотношение

получаем другое уравнение, содержащее как максимум неизвестных.

Однако использование такого подхода незамедлительно порождает проблемы, связанные со следующими вопросами: 1. Каким образом можно обеспечить независимость уравнений? 2. Что следует предпринять в том случае, когда получено более независимых уравнений и они несовместны?

В практических ситуациях понимание стоящей проблемы и знание функционального вида функции полезности, по-видимому, лучше всего предохраняют от получения большого количества избыточных уравнений. Тем не менее представляется интересным рассмотреть один подход, который может помочь избежать какой-либо избыточности в уравнениях в случае полилинейной функции полезности. Выбор полилинейной функции обусловлен тем, что она содержит наибольшее количество шкалирующих констант из всех рассмотренных выше функциональных форм. Вопомним, что для полилинейной формы необходимо оценить констант, где число факторов. Существует «угловых» последствий вида где или а равенства используются для шкалирования функции и. Если значение полезности каждого из угловых последствий установлено в соответствии со значениями

полезности этих двух эталонных последствий или других последствий, оцененных ранее, то можно, подобрав подходящие значения вероятности установить равноценность каждого «углового» последствия соответствующей лотерее вида В случае, когда в получаемой системе уравнения все-таки оказываются несовместными, необходимо на основе эмпирических данных построить дополнительные уравнения, связывающие неизвестные константы и продолжить это построение до тех пор, пока не будет получена система из независимых уравнений. Пример, иллюстрирующий вышесказанное, рассмотрен в § 5.8.

Причиной несовместности уравнений рамках принятой модели, очевидно, является несогласованность в ответах лица, принимающего решение. Поэтому аналитик должен помочь ему разобраться в подобных рассогласованиях и, возможно, подсказать, как и в чем можно изменить ответы, чтобы получить согласованную систему предпочтений. Если это не может быть осуществлено из-за ограниченности во времени, или по каким-либо другим причинам, то следует обратиться к анализу чувствительности, используя возможные (допустимые) значения шкалирующих коэффициентов. Такой анализ, возможно, позволит выделить лучшую альтернативу или по крайней мере отбросить некоторые из последующего рассмотрения. Для оставшихся альтернатив необходимо продолжить выяснение вопроса о том, какие параметры оказывают решающее влияние на выбор, и, следовательно, снова возникает необходимость в разработке процедуры установления значений этих параметров.

6.6.3. Шкалирование условных функций полезности. В этом параграфе будет показано, что проблема шкалирования условных функций полезности во многом аналогична проблеме шкалирования условных функций ценности, обсуждавшейся в § 3.7. Для решения этой проблемы можно непосредственно применять методы нахождения значений шкалирующих коэффициентов для функции ценности. Однако, здесь при построении шкал измерения для функций полезности может быть использована дополнительная возможность, основанная на использовании опросов относительно предпочтений между лотереями.

Аддитивная, мультипликативная и полилинейная функции полезности могут быть записаны в виде

где означает другие возможные члены. Если используется аддитивная функция полезности, то других членов нет, при мультипликативной и полилинейной функциях полезности они присутствуют. Каждый раз, когда шкалы измерений функций и и «нормализованы» условиями

справедливо равенство

Проблема, рассматриваемая в этом подпараграфе, состоит в нахождении значений шкалирующих коэффициентов для условных функций полезности в выражении (6.34). Эта проблема решается путем определения значений для При таком подходе необходимо получить независимых уравнений относительно неизвестных

Поскольку решение вручную уравнений (которые не обязательно являются линейными) с неизвестными, мягко говоря, затруднительно, для нахождения обычно используются системы уравнений, которые легко разрешимы. Это обстоятельство, по существу, сводит все вопросы к двум основным типам.

Вопрос При каком значении вероятности для Вас равноценны:

1. Лотерея, дающая исход х с вероятностью и исход с вероятностью

2. Детерминированный исход — последствие

Если из ответа лица, принимающего решение, следует, что это значение равно то согласно выражению (6.35) ожидаемая полезность лотереи оказывается равной и из выражения (6.37) вытекает, что значение полезности данного детерминированного исхода (в виде выше указанного последствия) равно Приравнивая эти полезности, находим, что Таким же образом легко получить значения каждого из параметров

Второй тип вопросов можно проиллюстрировать следующим образом.

Вопрос II. Выберите такие значения факторов (например, (например, что при любых установленных значениях всех других факторов для Васбудут равноценны 1) последствие, содержащее значения вместе, 2) последствие, содержащее значения вместе.

Используя выражения (6.35) и (6.36), можно приравнять полезности этих двух равноценных последствий и получить

Поскольку функции полезности для отдельных факторов уже построены, легко находятся значения как так и Поэтому выражение является простым линейным уравнением. Дополнительно предположим, например, что Тогда из (6.36) следует, что взаимосвязь между параметрами задаваемая выражением (6.38), становится еще более простой.

Основной недостаток вопросов как первого, так и второго типа заключается в том, что в них используются экстремальные

значения факторов, Поскольку диапазон от до должен включать в себя все возможные значения для лица, принимающего решение, часто бывает затруднительно оценить предпочтительность на основе экстремальных значений. Еще одна трудность, возникающая при использовании вопросов первого типа, — необходимость учитывать влияние одновременного изменения факторов. Таким образом, для облегчения вычислений (даже с помощью вычислительных машин), от лица, принимающего решение, приходится получать ответы на вопросы значительно более сложные, чем это требовалось бы из теоретических соображений. В приложении 6 в обсуждается программа для ЭВМ, разработанная для преодоления этого затруднения.

Обычно при нахождении значений параметров их следует сначала ранжировать, затем, используя вопросы первого типа, вычислить значение наибольшего из и, наконец, с помощью вопросов второго типа найти значения остальных через с наибольшим значением. Если значения уже известны и их сумма равна единице, то функция полезности должна иметь аддитивный вид. В противном случае значения следует подставить в выражение (6.34) для нахождения параметра в мультипликативной функции полезности или других констант в полилинейной функции. Такая задача может оказаться сложной сама по себе.

Ранжирование констант в принципе не должно оказаться особенно сложной задачей. Его можно провести, например, задав лицу, принимающему решение, вопрос: является ли для него последствие более предпочтительным, чем последствие Если первое последствие оказывается более предпочтительным, то из выражения (6.37) следует, что а если предпочтительнее второе последствие, то Бели же эти исходы равноценны, то Повторяя такие вопросы для других парных сравнений, можно получить полное упорядочение значений Для полного упорядочения необходимо провести как максимум таких парных сравнений, однако разумный выбор последовательности проведения этих сравнений позволяет свести их число всего лишь к Например, бывает целесообразно предоставить лицу, принимающему решение, список последствий и попросить его проранжировать их. Используя в качестве приближения проранжированный список, можно проверить его согласованность с помощью результатов парных сравнений соседних теперь последствий. Идеи, связанные с проведением упорядочения значений должны быть теперь понятны. Просьба об упорядочении лицом, принимающим решение, значений перед их фактической оценкой позволяет без особых затруднений подготовить его к рассмотрению замещений, которое ему тредстоит провести.

Пример 6.1. Допустим, было установлено, что хотя для целей предлагаемого примера нужно знать лишь наибольшее из Затем лицо, принимающее решение, просят назвать такое значение (пусть это будет при котором последствия оказываются равноценными. Из выражения (6.34) следует

где является уже числом, находящимся в пределах от 0 до 1. Аналогично следует найти такое значение (пусть это будет при котором Приравнивание соответствующих полезностей позволяет установить

Заметим, что получаемая здесь информация идентична той, которая была использована в гл. 3 для шкалирования функций ценности.

Если функция полезности аддитивна, то из выражения (6.29) следует, что для согласованности констант должно выполняться равенство

Система уравнений (6.39), (6.40) и (6.41) может быть легко разрешена относительно искомых значений Естественно, чтобы быть согласованным, значение должно быть меньше, чем

Если функция полезности мультипликативна, тогда из выражения (6.14) для согласованности значений констант должно выполняться равенство

Уравнения (6.39), (6.40) и (6.42) в совокупности содержат четыре неизвестных: поэтому необходимо привлечь еще одно уравнение. Прибегая с этой целью к сравнению лотерей, можно определить такое значение вероятности при котором последствие будет равноценно лотерее Используя мультипликативную функцию полезности для трех факторов и приравнивая ожидаемые полезности, находим

Решение этого уравнения совместно с уравнениями (6.39), (6.40) и (6.42) позволяет найти шкалирующие константы.

6.6.4. Шкалирование аддитивной функции полезности. Обратим внимание на константы в аддитивной функции полезности в случае факторов. Заметим, что эмпирической оценке подлежат лишь коэффициентов так как коэффициент может быть найден из условия согласованности

Хотя использование вопросов первого и второго типа при оценке констант достаточно просто выглядит в процедурном смысле, получение ответов на эти вопросы может вызвать затруднения. Дело в там, что, некоторые вопросы, задаваемые лицу, принимающему решение, при использовании этого метода могут оказаться для него очень трудными. Но прежде чем перейти к обсуждению путей преодоления этих трудностей, нам опять придется ввести некоторые новые обозначения. Пусть для любого подмножества Т множества индексов символ обозначает точку х, в которой фактор принимает либо значение если принадлежит Т, либо значение если не принадлежит 7. Таким образом, для

Определим также

и вероятность такую, что для лица, принимающего решение, лотерея оказывается равноценной детерминированному исходу в виде последствия Используя эти обозначения при оценке значения для любого конкретного Т, получаем, что полезность должна быть равна ожидаемой полезности лотереи Ожидаемая полезность лотереи очевидно, равна поэтому

Из выражения (6.46) следует, что, зная значения нетрудно найти значение для любого подмножества Т. Однако в ряде случаев для лица, принимающего решение, может оказаться менее затруднительным получить значения на основе значений некоторых Это может быть сделано с помощью выражений и (6.47).

Пример 6.2. Пусть снова и предположим, что Тогда, если значения нам уже удалось получить («а основе эмпирических оценок, например), то из выражений (6.46) и (6.47) следует

И, как легко (заметить, в этом примере

Конечно же, существует много различных способов проверки согласованности полученного значения Например, предположим, что для подмножества было оценено значение Тогда, поскольку из выражения (6.47) следует а из выражения (6.45) то

Другим очевидным способом проверки согласованности значения является, как ранее было указано, непосредственная (эмпирическая) оценка значения

Из обсуждаемого ниже положения теории вероятности вытекает еще один подход к оценке коэффициентов При установлении значений вероятности на конечном полном множестве взаимно исключающих друг друга событий часто бывает удобно сначала установить вероятности реализации некоторых подмножеств таких событий, а затем, используя условные вероятности, найти искомые вероятности отдельных событий. В рассматриваемой задаче использование аналогичной процедуры может оказаться полезным. Теперь представим, что S является подмножеством множества Т. Пусть необходимо найти, какая часть значения приходится на 5. Пусть является таким значением вероятности, что последствие равноценно лотерее Приравнивая ожидаемые полезности, получаем

Отсюда можно установить следующее правило:

которое является аналогом правила умножения вероятностей в теории вероятности.

В свете вышесказанного решение вопроса о том, провести ли непосредственную или косвенную оценку значений зависит от того, какая из процедур представляется более естественной в контексте рассматриваемой конкретной задачи.

6.6.5. Шкалирование мультипликативной функции полезности. Методы нахождения значений шкалирующих констант для мультипликативной функции полезности рассматривались в п. 6.6.3. Однако наличие шкалирующей константы характерно только для мультипликативной функции полезности, поэтому эта константа рассматривается здесь отдельно. В случае, когда справедливо утверждение теоремы 6.1 и , функция полезности аддитивна. Если же , то функция полезности является мультипликативной и значение дополнительной константы в выражении (6.14) может быть найдено, исходя из значений

В этом случае, вычислив значение выражения (6.14) в точке х, получим

Если , то из выражений и (6.50) следует, что для функции (6.14). свойство независимости по полезности может иметь место, лишь когда В этом случае, итеративно решая уравнение (6.50) относительно при заданных значениях, можно прийти к нужному значению (обозначим его Положим сначала и подставим это значение в

выражение (6.50). Если правая часть (П Ч) меньше, чем левая то Если же больше, чем то

В случае из аналогичных рассуждений следует, что Произвольно положим и подставим это значение в выражение (6.50). Если то тогда как, если то

6.6.6. Пример. Для иллюстрации некоторых положений настоящего параграфа рассмотрим вадачу о выборе места работы. Для простоты предположим, что каждое место работы характеризуется с помощью трех факторов: денежного вознаграждения, времени поездки на работу и степени урбанизации района. Обозначим их соответственно через Более того, будем считать, что фактор денежного вознаграждения разбит на два — начальный размер заработка и перспектива его последующего увеличения. Обозначим их через соответственно. Таким образом, Шкалы измерений для каждого фактора представлены в табл. 6.1.

Таблица 6.1. Шкалы измерения факторов

Затем необходимо установить наилучшие и наихудшие возможные последствия выбора любого места работы по каждому из факторов. Пусть эти экстремальные последствия уже найдены и представлены в табл. 6.2. Теперь можно установить , отсюда . Аналогично будем считать Затем положим Заметим, что принято равным нулю, хотя при самых благоприятных условиях время поездки на работу занимает не менее 10 мин. Тем не менее это вполне отвечает целям анализа, поскольку единственное ограничение, налагаемое на значение состоит в том, что оно должно по крайней мере не уступать наилучшему последствию.

Теперь предположим, что допущения об аддитивной независимости были проверены и установлена их справедливость для всех факторов однако они не выполняются для Тогда

Таблица 6.2. Диапазоны шкал измерения факторов

согласно теореме 6.4 функция полезности является аддитивной. Из выражения (6.29) следует, что

где

Метод нахождения численных значений функций при соблюдении условий (6.52) подробно обсуждался в гл. 4, поэтому здесь об этом больше не будем говорить. Но функция не является одномерной: она зависит от И, как утверждалось ранее, лицо, принимающее решение, опровергает справедливость допущения об аддитивной независимости этих двух факторов. Поэтому простая аддитивная функция полезности здесь оказывается неприемлемой. Возможно, удается использовать некоторые из обсуждавшихся в гл. 3 схем подстановок, которые в сущности сводят двумерное представление к одномерному до проведения трансформации полезностей. Но что делать, если и такая попытка будет неудачной? В этом случае может оказаться целесообразным применить некоторые методы нахождения функций полезности для двух факторов, обсуждавшиеся в гл. 5.

Вернемся теперь к шкалирующим константам в выражении (6.51). Для того чтобы дать возможность лицу, принимающему решение, прочувствовать значения шкалирующих констант, ему можно предложить несколько содержательных, но качественного характера вопросов, связанных с константами Например: «Представьте себе, что каждый из рассматриваемых факторов установлен на уровне Предпочли бы Вы улучшить значение фактора до уровня вместо одновременного улучшения факторов до уровней соответственно? «Утвердительный ответ должен означать, что откуда Затем зададим следующий вопрос: «Предпочтительнее ли для Вас изменение значения фактора от до по сравнению с изменением значения фактора от до з? «Утвердительный ответ на этот вопрос означает, что Если существует такое подмножество факторов Т, что тогда можно делать вывод:

Чем больше число учитываемых факторов, тем проще сгруппировать их таким образом, чтобы аналитик оказался в состоянии установить значения констант не задавая вопросов относительно предпочтительности лотерей. На любой стадии такого анализа опытный аналитик будет осуществлять проверки на чувствительность для того, чтобы определить, следует ли проводить дальнейшее уточнение. Возможно, что уже проведенные грубые качественные измерения оказываются достаточными для решения исходной задачи.

Еще одним методологическим моментом, нуждающимся в разъяснении, является понятие согласованности. Когда задаются вопросы одного вида, может оказаться, что, например, В то же время при использовании других вопросов может обнаружиться, что Такая ситуация возможна. Когда так происходит, лицу, принимающему решение, нужно лишь тщательнее обдумать возникшие расхождения и для достижения согласованности пересмотреть некоторые свои допущения или оценки. Эта процедура психологически затруднительна и поглощает много времени. Поэтому, прежде чем предпринять этот шаг, необходимо травести анализ чувствительности для того, чтобы определить, имеет ли смысл избавляться от такой несогласованности.

Продолжим рассмотрение предложенного примера. Предположим, было установлено, что т. е. детерминированный исход равноценен для лица, принимающего решение, лотерее Тогда, естественно, и следует задать, например, следующий вопрос: «Укажите такое значение вероятности при котором детерминированный исход равноценен для Вас лотерее Если ответом будет значение 0,7, то согласно выражению (6.49) получаем

Тогда, очевидно, и функция полезности при этом имеет следующий вид:

где каждая из функций полезности шкалирована от 0 до 1. Выражение (6.53) в этом случае пригодно и для оценки решений при неопределенности. Конечно, может возникнуть желание провести тесты на чувствительность по тем этапам процедуры оценки, результаты которых кажутся наиболее неустойчивыми.

6.6.7. Проверка согласованности. Для того чтобы быть уверенным в правильности представления предпочтений лица, принимающего решение, на всех стадиях оценки значений функций полезности необходимо проводить проверку согласованности. Очевидно, что при проверке согласованности общей функции полезности проверяется также и правильность значений шкалирующих констант. Целесообразно также проводить отдельную проверку согласованности этих констант. Каждая такая проверка заключается в получении дополнительных уравнений, содержащих данные

константы. Но когда значения констант уже установлены, мы можем использовать эти значения для проверки исходных оценок. Различные подходы к нахождению значений шкалирующих констант, очевидно, могут применяться и для взаимной проверки. В большинстве ситуаций разработка действенных и эффективных методов проверки согласованности шкалирующих констант не требует от аналитика большого напряжения его творческих сил.