ГЛАВА 4. ТЕОРИЯ ОДНОМЕРНОЙ ПОЛЕЗНОСТИ

Рассматриваемая в этой главе проблема в общем виде формулируется следующим образом. Принимающий решение должен выбрать одну из нескольких альтернатив (способов действий) каждая из которых в конечном итоге будет иметь своим результатом некоторый исход. Оценка предпочтительности возможных исходов осуществляется с помощью только одного критерия Принимающий решение точно не знает, к какому именно исходу приведет любая из выбранных альтернатив, но для каждого способа действий он в состоянии установить вероятности получения различных исходов. Как ему действовать?

4.1. ЗНАЧЕНИЕ ТЕОРИЙ ПОЛЕЗНОСТИ

Плодотворность формально определяемого понятия «полезность» и причины, по которым оно представляет для нас интерес, заключаются в следующем. Если каждому возможному исходу подходящим образом поставлено в соответствие значение «полезности» этого исхода и для каждой альтернативы вычислено значение «ожидаемой полезности», то наилучшим способом действий является альтернатива, обладающая максимальной «ожидаемой полезностью». Различные системы аксиом, позволяющие на строгой формальной основе ввести понятие полезности и использовать ожидаемую полезность для принятия согласованных решений, приведены в работах фон Неймана и Моргенштерна (1974), Сэвиджа (1954), Льюса и Райфа (1957), Пратта, Райфа и

Шлейфеpa (1965) и Фишберна (1970). В следующем пункте дается неформальный обзор основных идей теории полезности. С точки зрения принятого в гл. 1 дихотомического принципа структуризации проблемы принятия решений (см. рис. 4.1) в этой главе рассматривается частный случай более общей задачи, описанный в гл. 3: здесь мы предполагаем, что предпочтительность исходов устанавливается в результате их оценки только но одному критерию (одномерный случай), но наше рассмотрение представляет собой и обобщение, так как теперь вводится неопределенность. Может возникнуть вопрос: почему мы посвящаем целую, главу только одномерному случаю, хотя в гл. 1 и 2 было показано, что в наиболее важных жизненных задачах для адекватного описания исходов требуется большее число критериев, чем один? На это имеется три причины. Во-первых, ясное понимание теории одномерной полезности и разработанных на ее основе методов необходимо для решения задач со многими критериями, включающих неопределенность.

Рис. 4.1. Двойная дихотомия при классификации проблем принятия решений

Во-вторых, существуют важные задачи, которые адекватно формализуются при использовании одного скалярного критерия. И, в-третьих, мы покажем, что многие задачи многомерной полезности могут быть сведены к одномерным при помощи некоторых методов, рассмотренных в предыдущей главе. Подробно это будет изложено ниже в данном параграфе.

4.1.1. Основы теории полезности. Мы полагаем, что большинство наших читателей знакомо с основами теории полезности. Тем не менее мы остановимся на основных положениях этой теории и тем самым дадим обзор рассматриваемого предмета для одних читателей и краткое введение для других.

Предположим, что имеется возможных исходов, обозначаемых как Сейчас для нас пока не существенно, какие именно выбраны «шкалы» для конкретизации этих х. Каждый исход х может представлять собой скалярную величину, вектор или некоторое описание на вербальном уровне. Важно, однако, что исходы могут быть упорядочены (проранжированы) по их предпочтительности. Далее мы будем предполагать, что исходы перенумерованы в порядке возрастания их предпочтительности, так что исход менее предпочтителен, чем который в свою очередь менее предпочтителен, чем и т. д. Иными словами, мы полагаем, что ранжирование возможных исходов имеет вид

Теперь предположим, что лицо, принимающее решение, просят выразить свои предпочтения для вероятностных распределений на

множестве этих исходов. Например, принимающего решение просят установить предпочтения между действиями а и а", где

1. Действие а приводит к исходам х, с вероятностью Конечно, для всех .

2. Действие а" приводит к исходам с вероятностью По-прежнему для всех .

Заметим, что существует бесконечное множество возможных вероятностных распределений на этом конечном множестве исходов.

Допустим теперь, что для каждого лицу, принимающему решение безразлично, на какой из двух альтернатив остановить свой выбор:

Детерминированная альтернатива: получить «наверняка». Альтернатива, связанная с риском (рискованный выбор): получить (лучший исход) с вероятностью (худший исход) с вероятностью Обозначим рискованный выбор через Далее, полагаем, что поведение лица, принимающего решение, является непротиворечивым (согласованным) в том смысле, что него а числа таковы, что

Сравнивая (4.2) с (4.1), можно заметить, что величины выступают в качестве числовых (шкалирующих) оценок исходов х.

Основной результат теории полезности состоит в том, что математическое ожидание величины также может быть использовано для введения числовых оценок (шкалирования) вероятностных распределений «а множестве исходов х. Чтобы пояснить это заключение, вернемся к рассмотрению выбора между действием - а (которое приводит к с вероятностью и действием а" (которое приводит К с вероятностью Если мы припишем каждому его шкальную оценку то математические ожидания оценок для действий а и а", обозначаемые нами соответственно через , будут равны

Имеются веские соображения, согласно которым целесообразно ранжировать действия а и а" в соответствии с величинами . Аргументация здесь такова. Рассмотрим действие а. Оно приводит с вероятностью к исходу х Но для принимающего решение безразлично, получить ли «наверняка» или же оказаться в ситуации, в которой имеется шансов за шансов за Таким образом, в действительности действие а эквивалентно представлению лицу, принимающему решение, шансов за шансов за Подобным же образом а" приводит к шансам за щансам за Это завершает аргументацию, которая существенным образом опирается на замену каждого детерминированного выбора рискованным

выбором Аргументы за и против этой идеи «эквивалентной замены», которая является краеугольным камнем теории полезности, обсуждаются в книге Райфа (1968).

Если мы теперь преобразуем числа в числа и при помощи положительного линейного преобразования

то будем иметь

легко видеть, что среди вероятностных распределений (отвечающих, например, а и а") математические ожидания величин и ранжируют а и а" точно так же, как и математические ожидания величин Например,

Однако если мы преобразуем числа в новую шкалу (назовем при помощи монотонного преобразования, не являющегося положительным линейным преобразованием, то числа по-прежнему будут отражать предпочтения для исходов как таковых, но уже не обязательно будут описывать предпочтения для вероятностных альтернатив, таких как а и а".

Если кто-либо, как и мы, будет удовлетворен приведенной выше аргументацией, то он придет к решающему моменту: каким образом можно найти подходящие численные значения ? В этом действительно состоит существо проблемы. Если исходы скалярные величины, то существуют, как мы увидим в этой главе, пути решения этой проблемы квантификации, основанные на использовании ее структуры. Последующие главы описывают методы для структуризации данной проблемы, когда исходы х являются векторами.

4.1.2. Другие подходы к проблеме выбора в условиях риска. Нужен ли принимающему решение весь аппарат теории полезности для того, чтобы сделать выбор среди рискованных альтернатив? Может ли он в действительности воспользоваться менее формальным аппаратом и вовсе избежать субъективных суждений, использовать более объективные величины, например, такие, как математические ожидания и дисперсии?

Разумеется, в каких-то определенных условиях мы можем обойтись более простыми способами и не прибегать к максимизации ожидаемой полезности. Так, предположим, что возможные последствия двух альтернатив могут быть описаны плотностями распределений (рис. 4.2,а) или функциями распределения вероятностей (рис. 4.2,б), где используемый критерий для оценки результатов мы обозначили через Пусть и функции распределения для соответственно. Из рис. 4.2, б видно, что вероятность того, что исход будеу не более х, у альтернативы А больше, чем у альтернативы В. Следовательно, если большие значения X предпочтительнее меньших, то естественно, что В предпочтительнее, чем А. В таких случаях мы говорим, что

альтернатива В доминирует по вероятности альтернативой А. Когда реализуется такая ситуация, для вынесения обоснованных решений нет необходимости во всей той информации, которая содержится в полностью построенной на X функции полезности.

Рис. 4.2. Иллюстрация доминирования по вероятности

Это заключение, однако, не является очевидным, если исходить из плотности распределения на рис. 4.2,а. Разумеется, далеко не всегда ситуация будет складываться столь удачно, что мы сможем использовать доминирование по вероятности.

Более типичен случай, когда функции распределения и соответствующие альтернативам , пересекаются (так что нет полного доминирования по вероятности), однако и здесь Субъективные неформальные здравые соображения могут помочь сделать выбор зачастую без особых хлопот. Часто достаточно просто посмотреть на и чтобы без каких бы то ни было формальных процедур прийти к приемлемому решению. Но это обычно связано с теми или иными характерными особенностями функций распределения вероятностей. Чаще же дело обстоит сложнее. В этом случае, возможно, будет целесообразно провести более систематическое исследование наших основных интуитивных ощущений — и тогда, конечно, на важнейшее место выдвинется сила теории полезности. Но посмотрим вначале на так называемые объективные процедуры.

Одно из простейших предложений руководствоваться ожидаемым значением (математическим ожиданием) возможных результатов. Тогда, чтобы определить ожидаемое значение результатов для каждой альтернативы, потребуется знание только вероятностных распределений. Однако для многих лиц, принимающих решения, не будет безразличен выбор между действиями, характеризуемых следующими возможными исходами:

А — заработать 100000 дол. наверняка.

В — с вероятностью 0,5 заработать 200000 дол. и с той же вероятностью 0 дол.

С — с вероятностью 0,1 заработать 1000 000 дол. и с вероятностью 0,9 — 0 дол.

D - заработать 200000 дол. с вероятностью 0,9 и потерять 800 000 дол. с вероятностью 0,1.

Заметим, что для каждого из этих действий математическое ожидание получаемой суммы в точности равно 100000 дол. Поэтому ожидаемое значение результатов нельзя признать подходящим критерием для тех лиц, принимающих решение, которые считают эти действия неодинаковыми по предпочтительности.

Возможный критик на основании этого иллюстративного примера мог бы указать на следующее обстоятельство: «Естественно, что действие А предпочтительнее других, так как для него исход не связан с неопределенностью. Однако если мы дополнительно к математическому ожиданию исхода используем меру неопределенности, такую, как дисперсия возможных результатов, то мы смогли бы правильно упорядочить альтернативы по предпочтительности». Это предложение кажется правдоподобным, однако оно не всегда верно. Простые расчеты показывают, что оба действия , имеют одинаковые математические ожидания и дисперсия результатов, и поэтому любая схема оценивания, основанная именно на математическом ожидании и дисперсии, с необходимостью приведет к безразличию в выборе между . Проведенные исследования показали, что для большинства людей различаются по предпочтительности. Следовательно, никакой из критериев, основанных только на математических ожиданиях и дисперсиях, не может правильно представить их предпочтения.

Даже если критерий «среднее значение — дисперсия» представляется подходящим для оценивания альтернатив в конкретной задаче, мы должны установить еще подходящее упорядочение по предпочтению для двух критериев — «математическое ожидание возможных результатов» и «дисперсия возможных результатов». В этом случае, видимо, потребуется построение функции ценности для этих двух критериев, а это может оказаться более сложной задачей, чем построение с самого начала функции полезности возможных результатов, оцениваемых по единственному критерию

В литературе описано много других схем, предложенных - для тех или иных конкретных случаев, но, по нашему мнению, никакое другое предложение, кроме максимизации ожидаемой полезности, не выдерживает критики при внимательном рассмотрении. Приведем еще одно предложение.

Обозначим неопределенный (случайный) исход, к которому может привести данная альтернатива, через х. Рассматриваемое предложение предполагает, что распределение х может быть полностью охарактеризованно двумя величинами:

1) - вероятностью того, что х меньше некоторого критического уровня притязаний ;

2) — условным математическим ожиданием определенным при условии, что х достигает уровня притязаний Нетрудно тогда вычислить пару чисел для каждой альтернативы и ввести простую двумерную функцию ценности.

Например, мы могли бы максимизировать три условии, что Предложенные процедуры такого рода могут быть легко опровергнуты указанием на «утрированные» примеры, когда их применение не дает положительных результатов. Однако тогда обычно выдвигается возражение: «Но в таких «утрированных» примерах мы могли бы изменить наше предложение об использовании пар введя другое ограничение, такое, как В литературе ведутся бесконечные дебаты подобного рода, но здесь достаточно сказать, что чем больше мы слышим таких доводов, тем тверже стоим на своей позиции, становясь все более уверенными в правильности принципа максимизации ожидаемой полезности. Разумеется, все это само по себе может не являться для читателя убедительным аргументом, но мы подчеркиваем, что наши соображения основаны на нашем опыте и их, по нашему мнению, целесообразно иметь в виду.

4.1.3. Применимость теории одномерной полезности к многокритериальным задачам. Приведенные выше наши соображения о теории одномерной полезности касаются в основном практической важности самого понятия полезности и опираются на тот факт, что эту важность можно легко проиллюстрировать в одномерном, случае. Но имеется и другое очень важное основание. В большинстве методов построения многокритериальных функций полезности, которые мы опишем, важной составной частью является построение одномерных функций полезности для отдельных критериев. Иначе говоря, наши методы позволяют свести задачу построения многомерных функций Полезности к задаче построения одномерных функций (полезности с последующим их согласованием путем выбора соответствующих шкал. А глубокое знание теории одномерной полезности для решения этой задачи необходимо.

Если, например, в рассматриваемой задаче исходы могут быть адекватно описаны с помощью лишь критериев, может оказаться, что при помощи методов, рассмотренных в гл. 3, размерность, критериального пространства сокращается с до Если то мы тогда получаем одномерную задачу. Если то последовательное сокращение размерности может привести нас. к. одномерному случаю.

В гл. 3 разбирались методы и предлагались процедуры получения функции ценности для всех возможных исходов х. Так как функция ценности одномерна и в том и только в том случае, когда эквивалентны по предпочтительности, можно построить функцию полезности для. одномерного критерия «ценность» и таким образом приписать полезность каждому возможному исходу х. Один из путей того, как это можно сделать, обсуждается в § 5.1.

Другой подход, который не требует построения функции ценности, предусматривает вместо этого проверку допущений, приводящих к специальной форме функции полезности. Простейшим примером такой функции в двумерном случае является аддитивная функция полезности где

согласованным образам шкалированные одномерные функции полезности. Главное состоит в том, что обе функции могут быть построены помощи методов, рассматриваемых в этой главе.

Допущения, необходимые для обоснования аддитивной формы, такой, как

или для различных мультипликативных форм, как, например,

требуют различных предположений о независимости по полезности, которые будут рассмотрены в гл. 5 и 6. Несмотря на это, даже в случаях, когда такая независимость не имеет места, мы часто будем вводить функции условной полезности, зависящие от одной переменной, например условную полезность в предположении, что «совокупный» показатель находится на уровне

Таким образом, одномерные функции полезности будут являться необходимым элементом в многомерной теории, которая будет развита в следующих главах.

4.1.4. Примеры одномерных задач. Приведем несколько примеров, в которых при принятии решения исходы можно адекватно охарактеризовать одним критерием. Пусть цель компании состоит в максимизации прибыли. В этом случае критерием, выбранным для описания исходов, может быть нарастающий итог денежных поступлений, денежная оценка положения, чистый денежный доход или что-либо подобное. Выбор критерия, который будет использован, является, очевидно, субъективным и делается по усмотрению аналитика, консультирующегося с лицом, принимающим решение. Вопрос о том, как выбрать критерий, позволяет ли он достаточно полно охарактеризовать исходы или нет, и т. д., был подробно обсужден в гл. 2.

Многие идеи, развитые в этой главе, используют деньги в роли одномерного фактора. Основные причины этого в том, что: 1) многие полученные ранее результаты теории полезности связаны с этим специальным случаем и 2) многие читатели уже думали или могли думать о своих предпочтениях относительно различных денежных сумм. Поэтому понятия предпочтения и риска, вводимые в этой главе, будут интуитивно лучше поняты, если в качестве первичного критерия в иллюстративных целях использовать денежные величины, а не какой-то другой, менее (привычный критерий. Однако понятия, которые будут введены, пригодны и для других одномерных задач. Приведем несколько примеров.

Рассчитанные на непредвиденные случаи службы, такие, как скорая (помощь, полиция, пожарная служба, отвечают на запросы о помощи, высылая служебный транспорт (машины скорой помощи и т. п.) к месту происшествия «как можно быстрее». В этом случае естественной мерой эффективности является «период реагирования», т. е. период времени от момента получения запроса о помощи до момента прибытия служебного транспорта на место происшествия. Ларсон (1972) и Савас (1969) выбрали этот критерий в своих работах, поовященных соответственно полицейской службе и службе скорой помощи. Во многих ситуациях, характерных для систем массового обслуживания: очереди машин у пункта оплаты проезда или покупателей у контрольной кассы — целью исследования является улучшение обслуживания, которое может быть охарактеризовано критерием «время задержки». Другие задачи массового обслуживания связаны, с перегрузками, возникающими в большинстве аэропортов. Здесь главной целью персонала, ответственного за работу этих аэропортов, является высокая эффективность взлетно-посадочных операций. Блюмштейя (1959), Оудони (1972) и другие построили аналитические модели операций по приему и отправке самолетов; эти авторы оценивали эффективность различных вариантов проведения операций «числом взлетно-посадочных операций в час», и этот показатель был единственным принятым во внимание критерием.

В медицинских задачах основными одномерными критериями могут быть стоимость лечения по некоторому лечебному курсу, число серьезных-побочных эффектов от применения лекарства и т. п.

В качестве последнего примера рассмотрим следующую сложную ситуацию. Допустим, что страна охвачена эпидемией, и медицинское руководство страны должно выбрать способ сокращения смертности от этой эпидемии. Критерием, которым будут характеризоваться результаты его действий, может быть число жизней, унесенных эпидемией. В другом варианте этой задачи подходящим критерием может быть вероятность появления «серьезных последствий».

4.1.5. План этой главы. В следующем параграфе изложен «прямой» метод определения значений полезности для рассматриваемых исходов. Этот метод при большом числе исходов нерационален, так как он основан на обращении к лицу, принимающему решение, за субъективной информацией относительно каждого исхода, и практически таких обращений может оказаться слишком много. В подобных ситуациях может быть, подходящим и даже необходимым построение функции полезности и, которая приписывает полезность каждому возможному исходу х на непрерывном интервале возможных результатов. В § 4.3-4.7 излагаются основы исследования монотонно возрастающих функций полезности действительной переменной, т. е. рассматривается случай, когда большее значение переменной предпочтительнее, чем меньшее. Эти результаты обобщаются на убывающие и немонотонные

функции полезности в § 4.8. В следующих двух параграфах соответственно предлагаются метод построения одномерных функций полезности и примеры таких построений. В § 4.11 и 4.12 излагаются исходные идеи теории условной одномерной полезности и тем самым обосновывается переход к многомерному случаю, рассмотренному в гл. 5 и 6.