10.2. АГРЕГИРОВАНИЕ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ПРЕДПОЧТЕНИЙ В УСЛОВИЯХ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ

Большинство работ, посвященных разработке моделей агрегирования предпочтений нескольких лиц, ограничиваются рассмотрением принятия решений в условиях определенности, опуская, как правило, случай неопределенных последствий. В этом параграфе мы сначала кратко сформулируем теорему Эрроу о невозможности, которая, пожалуй, является самым известным результатом в области групповых предпочтений. Результаты, полученные Эрроу, существенно повлияли практически на все работы по групповым предпочтениям в последние два десятилетия. Затем мы дадим интерпретацию результатов гл. 3 в контексте задачи, стоящей перед ЛПР, и от решения которой зависит «благополучие» членов ее группы.

10.2.1. Теорема Эрроу о невозможности. Проблема, сформулированная Эрроу, состоит в общих чертах в следующем: если известны ранжирования множества альтернатив, произведенные каждым членом группы, то каким должно быть групповое ранжирование этих альтернатив? Эрроу выдвинул весьма разумные допущения, касающиеся агрегирования индивидуальных ранжирований, а затем исследовал ряд следствий, вытекающих из этих

допущений, и пришел к довольно неожиданным и странным результатам. Эти допущения таковы.

Допущение А (универсальность). Группа состоит по меньшей мере из двух членов, число альтернатив больше или равно трем, групповое упорядочение (ранжирование) альтернатив должно быть определено для всех возможных упорядочений, производимых различными членами группы.

Допущение В (положительная связь группового и индивидуальных упорядочений). Если групповое упорядочение свидетельствует о том, что альтернатива А предпочтительнее альтернативы В при определенной совокупности индивидуальных упорядочений, ,и если эти индивидуальные упорядочения изменяются так, что 1) для всех индивидов результаты попарных сравнений всех альтернатив, за исключением А, остаются неизменными, а 2) результаты попарных сравнений между А и любой другой альтернативой либо меняются в пользу А, либо остаются неизменными, — то тогда групповое упорядочение должно указывать, что А по-прежнему предпочтительнее В.

Допущение С (независимость несвязанных альтернатив). Если некоторая альтернатива исключается из рассмотрения, а отношения предпочтения для остающихся альтернатив по мнению всех членов группы сохраняются неизменными, то новое групповое упорядочение этих остающихся альтернатив должно быть идентичным первоначальному групповому упорядочению этих же альтернатив.

Допущение (суверенность членов группы). Для любой пары альтернатив существует такая совокупность индивидуальных упорядочений, что, согласно групповому упорядочению, альтернатива А предпочтительнее альтернативы В.

Допущение Е (отсутствие диктатора). В группе не должно быть такого члена, что когда он предпочитает альтернативу А альтернативе В, то и группа предпочтет А альтернативе В, независимо от предпочтений всех остальных членов группы. Эрроу (1951) доказал, что не существует такое правило объединения индивидуальных упорядочений, которое удовлетворяло бы безобидным на первый взгляд допущениям . Иными словами, справедлива следующая теорема.

Теорема 10.1. (теорема Эрроу о невозможности). Допущения несовместны. Отсюда следует, что наша ЛПР не может рассчитывать на такую процедуру, которая позволяла бы объединить индивидуальные ранжирования в одно итоговое ранжирование самой ЛПР и при этом удовлетворяла бы этим пяти допущениям.

Один из выводов из теоремы о невозможности состоит в том, что в общем случае не существует такой процедуры агрегирования индивидуальных ранжирований, используя которую можно было бы обойтись без явного (эксплицитного) сравнения предпочтений различных членов группы. Этот результат обобщен в работе Сена (1970), где доказано, что нет такой процедуры

квантификации структуры групповых предпочтений, которая была бы согласована как с допущениями Эрроу, так и с любым формальным представлением типа (10.1) или (10.2) .и при этом не включала бы в себя сравнение индивидуальных предпочтений. Результаты, изложенные в следующем пункте и § 10.3, основаны на введении «степени предпочтений» индивидов. Кроме того, в них также указаны те сравнения индивидуальных предпочтений, которые необходимо произвести.

10.2.2. Аддитивные групповые функции ценности. Вернемся к проблеме (10.1), в которой нам необходимо получить функцию ценности для ЛПР, имеющую в качестве своих аргументов индивидуальные функции ценности где Мы исходим из тот, что существует такая функция что

и сделаем два дальнейших допущения.

Допущение 1 (независимость по предпочтению). Критерии

независимы по предпочтению от своих дополнений для всех

Допущение 2 (положительная связь упорядочений). Пусть некоторые альтернативы будут для группы одинаковы по предпочтительности. Если А изменяется и превращается в альтернативу А таким образом, что какой-либо индивид С предпочитает альтернативу А альтернативе А, в то время как все остальные лица считают их равноценными, то тогда А предпочитается альтернативе В всей группой.

Попробуем разъяснить смысл этих допущений. Допущение 1 для любых двух индивидов означает, что если остальные индивидов безразличны к выбору между парой последствий, то предпочтения ЛПР относительно этих последствий должны определяться только предпочтениями индивидов и не зависеть от степени предпочтений остальных индивидов. Для конкретности рассмотрим группу из трех лиц и начнем с последствий Предположим теперь, что индивид 3 считает эти последствия одинаковыми по предпочтительности. Допущение 1 говорит, помимо всего прочего, о том, что групповое предпочтение для формируемое ЛПР, не должно зависеть от того, считает индивид 3 эти катастрофическими или же, напротив, превосходными. Ранжирование ЛПР последствий должно зависеть только от мнений индивидов 1 и 2.

Из допущения 2 вытекает, что в (10.1) есть положительная монотонная функция каждого из ее аргументов. Это значит, что если функция ценности индивидов возрастает, в то время как значений остаются неизменными, то функция ценности ЛПР также возрастает. Отметим, что это

согласуется с допущением В Эрроу о положительной связи группового и индивидуальных упорядочений. Сделанные допущения наводят нас на мысль (исходя из результатов гл. 3), что здесь также должна иметь место аддитивная функция ценности.

Теорема 10.2. При допущение 1 (независимость по предпочтению) и допущение 2 (положительная связь упорядочений) справедливы тогда и только тогда, когда

где, для всех

1) есть функция ценности для индивида со шкалой измерения от 0 до 1.

2) функция представляющая собой положительное монотонное преобразование аргумента является функцией ценности ЛПР для и отражает результаты сравнения со стороны ЛПР предпочтений индивидов.

3) , определяемая как есть другая функция ценности для индивида шкалированная так, чтобы она отражала результаты сравнения со стороны ЛПР предпочтений индивидов.

Доказательство. Допустим, что функция ценности последствий х для индивида Функции могут быть шкалированы независимо друг от друга и притом так, чтобы их значения лежали в интервале от 0 до 1.

Из теоремы 3.6 следует, что при справедливости допущения 1

где есть функция ценности ЛПР для критерия измерения по которому проводятся с помощью величины Из допущения 2 вытекает, что — положительная монотонная функция, откуда следует

где должны быть согласованно шкалированы с позиций ЛПР. Объединяя (10.5) и (10.6), получаем искомый результат. Обратное утверждение непосредственно следует из (10.4).

Результат теоремы 10.2 может показаться в некотором смысле противоречащим результату Эрроу, сформулированному в теореме 10.1. Действительно, если построена аддитивная функция ценности (10.4), то, по-видимому, будут справедливы пять допущений, аналогичных допущениям Эрроу. При этом те индивидуальные предпочтения альтернатив, о которых говорится у Эрроу, легко могут быть получены на основании значений индивидуальных функций ценности для этих альтернатив. Все это верно. Однако при нашей формулировке проблемы мы в неявном виде добавили еще один элемент, который Эрроу хотел исключить. Это сравнение предпочтений индивидов, роторое было введено при

помощи функции в (10.4). В работе Эрроу эти соображения были исключены самой его постановкой проблемы.

Степень предпочтения получает в нашей модели формальное выражение в результате совместного шкалирования, которое выполняется ЛПР. ЛПР приходится заниматься не только подбором соответствующих шкал для измерения степени предпочтений каждого индивида, но также производить и согласование этих шкал. Отсюда возникает необходимость (внешних) сравнений предпочтений различных индивидов. Идя по этому пути, мы можем получить интересные и, возможно, полезные способы агрегирования предпочтений отдельных лиц, но, как правило, для этого требуется производить сравнения индивидуальных предпочтений. Более подробно об этом говорится в связи с теоремой Эрроу в книге Льюса и Райфы (1957).

Из результатов гл. 3 также следует, что если не зависит по предпочтению от и если не зависит по предпочтению от то тогда не зависит по предпочтению от Последовательно используя это обстоятельство, мы можем сократить число условий, выполнение которых необходимо для справедливости допущения 1, до . Например, если не зависит по предпочтению от для то допущение 1 является полностью оправданным.

Совокупность допущений (из которых наиболее существенным было допущение, аналогично нашему допущению 1), влекущих за собой существование аддитивной функции ценности (10.4), была исследована Флемингом (1952).

Позднее Фишберн (1969) также сформулировал необходимые и достаточные условия справедливости этого результата. Построение аддитивных функций ценности будет рассмотрено в контекстах моделей с вышестоящей ЛПР и групповых решений в § 10.6.