10.3. АГРЕГИРОВАНИЕ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ПРЕДПОЧТЕНИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

В этом параграфе мы рассмотрим структуризацию функции полезности ЛПР и через ее компоненты — функции полезности выражающие предпочтения заинтересованных лиц. Таким образом, на протяжении всего этого параграфа мы будем исходить из существования такой функции что

10.3.1. Аддитивные групповые функции полезности. Харшаньи (1955) сформулировал совокупность необходимых и достаточных условий для того, чтобы групповая функция полезности могла

быть выражена в виде взвешенной суммы функций полезности от до

Подход Харшаньи очень близок .к нашей модели с вышестоящей ЛПР. Помимо (10.7) принципиальную роль в рассуждениях Харшаньи играет следующее допущение.

Допущение Н. Если две альтернативы, определяемые распределениями вероятностей реализации последствий х, одинаковы по их предпочтительности для каждого индивида, то они одинаковы по предпочтительности и для всей группы.

Допущение Н не затрагивает «баланс» между индивидами, оно относится лишь к мнениям отдельно взятых индивидов. Заметим, что допущение Н очень близко по своему смыслу основному допущению, использованному Фишберном (1965 а) при получении аддитивных функций полезности для многомерных последствий при индивидуальном принятии решений (см. §§ 5.3 и 6.5). Учитывая это, обратимся к анализу следующих двух допущений, сформулированных с использованием нашей терминологии из предыдущих глав.

Допущение 3 (аддитивная независимость). Множество критериев аддитивно независимо.

Допущение 4 (стратегическая эквивалентность). Условная функция полезности ЛПР для критерия представляющего собой полезность для индивида стратегически эквивалентна функции полезности индивида

Связь между допущением 3 и допущением Н Харшаньи станет ясным из нашего доказательства теоремы 10.3. Поэтому кратко остановимся на допущении 4. Это — допущение относительно «честности». Полагая, что индивид честно выразил свои предпочтения, ЛПР далее использует его функцию полезности как свою собственную функцию полезности для оценки своих решений с точки зрения их желательности для этого индивида.

Теорема 10.3. При допущение 3 (аддитивная независимость) и допущение 4 (стратегическая эквивалентность) справедливы тогда и только тогда, когда

где функция полезности индивида со шкалой от 0 до положительные шкалирующие коэффициенты и последствие.

Доказательство. Если выполняется допущение 3, то из теоремы 6.4 следует, что

где функция полезности ЛПР для со шкалой измерения от 0 до 1. Если шкалы для измерения

индивидуальных функций полезности выбраны так, что значения лежат в диапазоне от 0 до 1, то из допущения 4 вытекает, что

откуда непосредственно следует утверждение, сформулированное в теореме.

При сравнении (10.8) и (10.9) различие между допущением об аддитивной независимости и допущением Я Харшаньи становится очевидным. Фактически, теорема 10.3 показывает, что допущения Я и 3 и 4. вместе, эквивалентны. Сравнение со стороны ЛПР предпочтений индивидов необходимо для нахождения значений шкалирующих коэффициентов Тот факт, что положительны, обеспечивает положительную связь предпочтений ЛПР и индивидов в смысле допущения 2. В действительности из (10.8) следует наличие более сильной положительной связи, как будет показано в следующем пункте.

10.3.2. Более общие групповые функции полезности. Рассмотрим следующее допущение, более слабое, чем допущение 3, которое представляется оправданным для определенных задач, связанных с принятием решений (см. гл. 6).

Допущение 5 (независимость по полезности).

Каждый из критериев не зависит по полезности от остальных критериев

Согласно определению независимости по полезности, из допущения 5 следует

где

все положительны, а условная функция полезности ЛПР для критерия

Теорема 10.4. При из допущения 4 (стратегическая эквивалентность) и допущения 5 (независимость по полезности) следует, что

где шкалы для измерения и и выбраны так, чтобы значения этих функций лежали в диапазоне от 0 до 1; X — шкалирующие коэффициенты и для всех

Доказательство. При справедливости допущения 4 выражение (10.11) непосредственно вытекает из теоремы 6.3. Для этого нужно лишь подставить (функцию полезности ЛПР для вместо Далее согласно допущению 4

поскольку и шкалированы от 0 до 1. Отсюда непосредственно следует

Альтернативное условие — более сильная положительная связь, о которой говорилось в последнем пункте, и из которого следует (10.11), — целесообразно рассмотреть отдельно.

Допущение 6 (положительная функциональная связь). Пусть А, В, С будут такие три определенные последствия, что все индивиды, кроме I, безразличны к выбору между этими последствиями. Предпочтения ЛПР относительно лотереи с исходами по сравнению с С определяется оцениваемыми ею самой вероятностями и полезностями этих альтернатив для индивида

Пример. Пусть будут полезности последствий А, В, С соответственно, с точки зрения индивида и пусть для всех (предпочитает а не С при условии, что

Из допущения 6 следует, что как функция своего аргумента есть положительное линейное преобразование функции , т. е.

Для всех где определяются так же, как и в выражении (10.10).

Если выражение (10.13) было бы неверно, то мы тотчас же пришли бы к противоречию с допущением 6. Чтобы показать это, допустим, что (10.13) не имеет места для некоторого

Тогда мы могли бы подобрать лотерею вида

и последствие

такие, что предпочтение индивида не будет совпадать с предпочтением, вытекающим из функции

Из сравнения выражений (10.10), (10.12) и (10.13) следует, что допущение о функциональной положительной связи эквивалентно допущениям о независимости по полезности и стратегической эквивалентности.

Рассмотрим допущение 1 (см. § 10.2), согласно которому все пары критериев независимы по предпочтению от своих дополнений. Отметим, что в соответствии с определениями функций ценности и полезности, это равносильно следующему утверждению:

Допущение (независимость по предпочтению). Критерии независимы по предпочтению от своих дополнений для всех .

Теперь мы можем сформулировать очень важный результат.

Теорема 10.5. При из допущений 1 или 1А (независимость по предпочтению), 4 (стратегическая эквивалентность) и 5 (независимость по полезности) следует, что

где шкалы измерения и выбраны так, чтобы значения этих функций лежали в диапазоне от 0 до шкалирующие коэффициенты, для всех

Доказательство. Если справедливы допущения 1 и 5, то (см. теорему 6.1) функция имеет вид (10.14) только в том случае, когда функция полезности ЛПР для может быть заменена на Из допущения 4 следует, что

Этим завершается доказательство.

Заметим, что, если группа состоит только из двух лиц, допущение 1 не имеет смысла. Однако в этом случае (см. теорему 10.4) выражение (10.14) непосредственно вытекает из допущений 4 и 5.

Выражение (10.14), согласно сделанным допущениям, представляет собой особый случай (10.11). Более того, отметим, что особые случаи (10.11) и (10.14) ведут к аддитивной групповой функции полезности

В частности, это вытекает из (10.14), когда Если мы можем умножить обе части (10.14) на Я и добавить 1, в результате получаем мультипликативную групповую функцию полезности

Свойства, которыми обладают аддитивная и мультипликативная функции полезности, рассматриваются в §§ 10.4, 10.5.

10.3.3. Особый случай: аддитивная функция полезности. При структуризации определенных видов групповых функций полезности могут оказаться приемлемыми следующие допущения.

Допущение 7 (всеобщее согласие). Если все члены группы имеют одну и ту же функцию полезности, то тогда групповая функция полезности должна быть функцией полезности, общей для всех членов.

Объединив это с предыдущими допущениями, получаем следующую тёорему.

Теорема 10.6. При допущения 1 или (независимость по предпочтению), 4 (стратегическая эквивалентность), 5 (независимость

по полезности) и 7 (всеобщее согласие) справедливы тогда и только тогда, когда групповая функция полезности является аддитивной-.

Докажем сначала аддитивность

Доказательство. Поскольку предполагается, что допущения 4 и 5 справедливы, групповая функция полезности может быть представлена в виде (10.14). Теперь рассмотрим особый случай, когда

и обозначим общую для всех членов группы функцию полезности через Подставляя ее в (10.14), получаем

Но, вследствие допущения 7,

где неизвестные константы. Выражения (10.18) и (10.19) совместны, только если представима. в аддитивной форме (10.17). И наоборот, допущения 1, 4, 5, 7 непосредственно следуют из (10.17).