Главная > Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

10.3. АГРЕГИРОВАНИЕ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ПРЕДПОЧТЕНИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

В этом параграфе мы рассмотрим структуризацию функции полезности ЛПР и через ее компоненты — функции полезности выражающие предпочтения заинтересованных лиц. Таким образом, на протяжении всего этого параграфа мы будем исходить из существования такой функции что

10.3.1. Аддитивные групповые функции полезности. Харшаньи (1955) сформулировал совокупность необходимых и достаточных условий для того, чтобы групповая функция полезности могла

быть выражена в виде взвешенной суммы функций полезности от до

Подход Харшаньи очень близок .к нашей модели с вышестоящей ЛПР. Помимо (10.7) принципиальную роль в рассуждениях Харшаньи играет следующее допущение.

Допущение Н. Если две альтернативы, определяемые распределениями вероятностей реализации последствий х, одинаковы по их предпочтительности для каждого индивида, то они одинаковы по предпочтительности и для всей группы.

Допущение Н не затрагивает «баланс» между индивидами, оно относится лишь к мнениям отдельно взятых индивидов. Заметим, что допущение Н очень близко по своему смыслу основному допущению, использованному Фишберном (1965 а) при получении аддитивных функций полезности для многомерных последствий при индивидуальном принятии решений (см. §§ 5.3 и 6.5). Учитывая это, обратимся к анализу следующих двух допущений, сформулированных с использованием нашей терминологии из предыдущих глав.

Допущение 3 (аддитивная независимость). Множество критериев аддитивно независимо.

Допущение 4 (стратегическая эквивалентность). Условная функция полезности ЛПР для критерия представляющего собой полезность для индивида стратегически эквивалентна функции полезности индивида

Связь между допущением 3 и допущением Н Харшаньи станет ясным из нашего доказательства теоремы 10.3. Поэтому кратко остановимся на допущении 4. Это — допущение относительно «честности». Полагая, что индивид честно выразил свои предпочтения, ЛПР далее использует его функцию полезности как свою собственную функцию полезности для оценки своих решений с точки зрения их желательности для этого индивида.

Теорема 10.3. При допущение 3 (аддитивная независимость) и допущение 4 (стратегическая эквивалентность) справедливы тогда и только тогда, когда

где функция полезности индивида со шкалой от 0 до положительные шкалирующие коэффициенты и последствие.

Доказательство. Если выполняется допущение 3, то из теоремы 6.4 следует, что

где функция полезности ЛПР для со шкалой измерения от 0 до 1. Если шкалы для измерения

индивидуальных функций полезности выбраны так, что значения лежат в диапазоне от 0 до 1, то из допущения 4 вытекает, что

откуда непосредственно следует утверждение, сформулированное в теореме.

При сравнении (10.8) и (10.9) различие между допущением об аддитивной независимости и допущением Я Харшаньи становится очевидным. Фактически, теорема 10.3 показывает, что допущения Я и 3 и 4. вместе, эквивалентны. Сравнение со стороны ЛПР предпочтений индивидов необходимо для нахождения значений шкалирующих коэффициентов Тот факт, что положительны, обеспечивает положительную связь предпочтений ЛПР и индивидов в смысле допущения 2. В действительности из (10.8) следует наличие более сильной положительной связи, как будет показано в следующем пункте.

10.3.2. Более общие групповые функции полезности. Рассмотрим следующее допущение, более слабое, чем допущение 3, которое представляется оправданным для определенных задач, связанных с принятием решений (см. гл. 6).

Допущение 5 (независимость по полезности).

Каждый из критериев не зависит по полезности от остальных критериев

Согласно определению независимости по полезности, из допущения 5 следует

где

все положительны, а условная функция полезности ЛПР для критерия

Теорема 10.4. При из допущения 4 (стратегическая эквивалентность) и допущения 5 (независимость по полезности) следует, что

где шкалы для измерения и и выбраны так, чтобы значения этих функций лежали в диапазоне от 0 до 1; X — шкалирующие коэффициенты и для всех

Доказательство. При справедливости допущения 4 выражение (10.11) непосредственно вытекает из теоремы 6.3. Для этого нужно лишь подставить (функцию полезности ЛПР для вместо Далее согласно допущению 4

поскольку и шкалированы от 0 до 1. Отсюда непосредственно следует

Альтернативное условие — более сильная положительная связь, о которой говорилось в последнем пункте, и из которого следует (10.11), — целесообразно рассмотреть отдельно.

Допущение 6 (положительная функциональная связь). Пусть А, В, С будут такие три определенные последствия, что все индивиды, кроме I, безразличны к выбору между этими последствиями. Предпочтения ЛПР относительно лотереи с исходами по сравнению с С определяется оцениваемыми ею самой вероятностями и полезностями этих альтернатив для индивида

Пример. Пусть будут полезности последствий А, В, С соответственно, с точки зрения индивида и пусть для всех (предпочитает а не С при условии, что

Из допущения 6 следует, что как функция своего аргумента есть положительное линейное преобразование функции , т. е.

Для всех где определяются так же, как и в выражении (10.10).

Если выражение (10.13) было бы неверно, то мы тотчас же пришли бы к противоречию с допущением 6. Чтобы показать это, допустим, что (10.13) не имеет места для некоторого

Тогда мы могли бы подобрать лотерею вида

и последствие

такие, что предпочтение индивида не будет совпадать с предпочтением, вытекающим из функции

Из сравнения выражений (10.10), (10.12) и (10.13) следует, что допущение о функциональной положительной связи эквивалентно допущениям о независимости по полезности и стратегической эквивалентности.

Рассмотрим допущение 1 (см. § 10.2), согласно которому все пары критериев независимы по предпочтению от своих дополнений. Отметим, что в соответствии с определениями функций ценности и полезности, это равносильно следующему утверждению:

Допущение (независимость по предпочтению). Критерии независимы по предпочтению от своих дополнений для всех .

Теперь мы можем сформулировать очень важный результат.

Теорема 10.5. При из допущений 1 или 1А (независимость по предпочтению), 4 (стратегическая эквивалентность) и 5 (независимость по полезности) следует, что

где шкалы измерения и выбраны так, чтобы значения этих функций лежали в диапазоне от 0 до шкалирующие коэффициенты, для всех

Доказательство. Если справедливы допущения 1 и 5, то (см. теорему 6.1) функция имеет вид (10.14) только в том случае, когда функция полезности ЛПР для может быть заменена на Из допущения 4 следует, что

Этим завершается доказательство.

Заметим, что, если группа состоит только из двух лиц, допущение 1 не имеет смысла. Однако в этом случае (см. теорему 10.4) выражение (10.14) непосредственно вытекает из допущений 4 и 5.

Выражение (10.14), согласно сделанным допущениям, представляет собой особый случай (10.11). Более того, отметим, что особые случаи (10.11) и (10.14) ведут к аддитивной групповой функции полезности

В частности, это вытекает из (10.14), когда Если мы можем умножить обе части (10.14) на Я и добавить 1, в результате получаем мультипликативную групповую функцию полезности

Свойства, которыми обладают аддитивная и мультипликативная функции полезности, рассматриваются в §§ 10.4, 10.5.

10.3.3. Особый случай: аддитивная функция полезности. При структуризации определенных видов групповых функций полезности могут оказаться приемлемыми следующие допущения.

Допущение 7 (всеобщее согласие). Если все члены группы имеют одну и ту же функцию полезности, то тогда групповая функция полезности должна быть функцией полезности, общей для всех членов.

Объединив это с предыдущими допущениями, получаем следующую тёорему.

Теорема 10.6. При допущения 1 или (независимость по предпочтению), 4 (стратегическая эквивалентность), 5 (независимость

по полезности) и 7 (всеобщее согласие) справедливы тогда и только тогда, когда групповая функция полезности является аддитивной-.

Докажем сначала аддитивность

Доказательство. Поскольку предполагается, что допущения 4 и 5 справедливы, групповая функция полезности может быть представлена в виде (10.14). Теперь рассмотрим особый случай, когда

и обозначим общую для всех членов группы функцию полезности через Подставляя ее в (10.14), получаем

Но, вследствие допущения 7,

где неизвестные константы. Выражения (10.18) и (10.19) совместны, только если представима. в аддитивной форме (10.17). И наоборот, допущения 1, 4, 5, 7 непосредственно следуют из (10.17).

1
Оглавление
email@scask.ru