4.12. УСЛОВНЫЕ ОДНОМЕРНЫЕ ПОЛЕЗНОСТИ

В этом параграфе показывается применимость теории одномерной полезности к многокритериальным задачам и, по существу, делается переход к последующим главам.

4.12.1. Предпочтения, зависящие от состояния. Как и раньше, предположим, что выбор лицом, принимающим решение, действия а определяет вероятностное распределение неопределенного выигрыша х. Но теперь будем считать, что, рассматривая простые лотереи с различными выигрышами х, принимающий решение интересуется, в каком из состояний будет находиться «окружающая среда». Рассмотрим простой пример, в котором х представляет денежные средства лица, принимающего решение, при выходе на пенсию через 20 лет от настоящего момента. Его детерминированный эквивалент для лотереи 50—50 с выигрышами может зависеть от состояния здоровья его самого и его жены. Он может, разумеется, ответить на вопрос, мысленно учтя возможные состояния здоровья и их вероятности. Однако, вместо того, чтобы давать ответ на вопрос в безусловном виде, ему может оказаться удобнее обдумать вопрос условно для каждого состояния, а затем скомбинировать эти условные оценки для получения безусловной оценки.

Для простоты допустим, что выбор действия а изменяет вероятностное распределение х, но не Положим

Будем, однако, считать, что функция полезности и лица, принимающего решение, зависит и от и от Оно хочет выбрать действие а, чтобы обеспечить

где оператор взятия математического ожидания зависит от а, так как вероятностное распределение х (но не зависит от а. Как лицо, принимающее решение, может (систематизировать процесс построения функции двух переменных? Это спорный вопрос. Мы хотим показать целесообразность применения теории одномерной полезности для решения этой задачи.

Рассмотрим нашу задачу при помощи дерева решений, изображенного на рис. 4.27. Ход 1 делает принимающий решение,

Рис. 4.27. Дерево (решений, иллюстрирующее предпочтения, зависящие от состояний

выбирая действие а из А. Ход 2 делает случай, (выбирая х в соответствии с распределением, зависящим от а. На третьем ходе случай выбирает с вероятностью независимо от выборов на первых двух ходах. Исход, к которому приводит путь имеет полезность

Мы определяем безусловную полезность х как

Для принятия решения на первом ходу нужно знать лишь одномерную безусловную функцию полезности Хорошо, если принимающий решение может построить сразу . Однако он может предпочесть найти косвенным путем, через совокупность условных оценок.

4.12.2. Условные оценки. Допустим, что интересующая нас область значений х попадает в интервал от до х. Предположим, что лицо, принимающее решение, знает, что должно реализоваться и безразлично к выбору между получением х наверняка и участием в лотерее, дающей х с вероятностью с вероятностью Схематически это можно изобразить следующим образом:

Другими словами, это условная функция полезности лица, принимающего решение, для значений х при заданном состоянии нормализованная ограничениями Ясно, что — одномерная функция полезности.

По крайней мере в принципе мы можем ввести двумерную функцию полезности (учитывающую одновременное изменение значений двух критериев), и она должна быть такой, чтобы для любых существовали постоянные такие, чтобы

Таким образом, для построения недостаточно построить функций условной полезности Мы должны также как-то подобрать шкалирующие постоянные Это — наша очередная задача.

Из (4.55) и (4.57) мы видим, что

для принятая решения нам нет необходимости знать величину постоянного члена в правой части (4.58) и, следовательно, мам не нужно определять постоянные Это очень большое облегчение, так как иначе нам пришлось бы задавать вопросы типа: «Предположим, что Вы находитесь в положении сколько. единиц критерия X Вы бы уступили, чтобы изменить до» на К счастью, мы можем избежать таких вопросов.

4.12.3. Условные детерминированные эквиваленты. Для произвольного действия а представим получаемый выигрыш три помощи неопределенной переменной Детерминированный эквивалент для при заданном состоянии до, обозначаемый через определяется из соотношения

Следовательно, любое действие а можно охарактеризовать набором значений условных детерминированных эквивалентов Если выбор нужно осуществить среди небольшого числа действий, то практически мы можем непосредственно установить значения для всех, и о без построения условных функций полезности для Но тогда задача сводится к определению коэффициентов замещения для компонент, являющихся детерминированными эквивалентами для различных состояний.

Рис. 4.28. Лотерея, в которой исходы зависят от состояния

Рассмотрим теперь изображенную на рис. 4.28 лотерею, которая приводит к получению наверняка если имеет место

Обозначим эту лотерею через Наша задача заключается в структуризации предпочтений лица, принимающего решение, в этом пространстве оценок. Если мы положим

то из (4.58) увидим, что

Вспомним, однако, что мы еще должны разработать метод определения подходящих значений Сравним следующие две лотереи:

прибыль равна для каждого состояния от до 1 до

прибыль равна для каждого состояния от до за исключением состояний прибыль для , равна для равна

Предположим теперь, что лицо, принимающее решение, так подобрало что ему стал безразличен выбор между . Тогда из (4.60) имеем

Поскольку в равенстве (4.61) известные величины, его легко разрешить относительно дроби

Если же мы последовательно будем повторять эту процедуру попарного установления отношения безразличия, полагая то сможем определить значения

Поскольку шкала для и в (4.57) может быть выбрана произвольно, без потери общности можно принять Используя это равенство и величины (4.62), мы можем определить подходящие шкалирующие константы Заметим также, что если мы хотим действовать указанным образом, то всегда сможем избежать формального определения вероятностей Но, разумеется, вопрос о замещении (о коэффициентах замещения) для лотерей, изображенных на рис. 4.28, неявно требует, чтобы принимающий решение мысленно сопоставлял шансы за

Существуют и другие процедуры, которые можно использовать для получения информации о Конечно, на практике желательно задавать зондирующие вопросы различного характера и проводить исследование согласованности и чувствительности. Наша цель состояла здесь не в том, чтобы детально рассмотреть эту задачу, а в том, чтобы привести нетривиальный пример, в котором вводятся и объединяются условные функции одномерной полезности.

4.13. ГДЕ МЫ НАХОДИМСЯ?

В этой главе мы коснулись многих важных аспектов теории полезности. Были детально рассмотрены теоретические положения, необходимые для того, чтобы сделать понятие полезности операциональным, описаны методы построения функций одномерной полезности, и приведены примеры, иллюстрирующие построение функций полезности в реальных ситуациях. Далее, для того чтобы перекинуть мост между теориями одномерной и многомерной полезности, было введено понятие условной одномерной полезности. Только хорошо поняв основные положения этой главы, мы можем взяться за решение главной задачи, разбираемой в гл. 5 и 6, — задачи структуризации и построения функций многомерной полезности.